PARTE C

APARTADO 1

3.181.

Dada la matriz A = a22 . . . a1n

. .

. . . . an1 . . . ann

Todo producto de n elementos tomados de A, sin que dos cualquiera provengan del mismo renglón o de la misma columna, se llama PRODUCTO ELEMENTAL TOMADO DE A. Así, a11 a22 ... ann. No es un producto elemental tomado de A a11 a12 a13

… a1n ni a21 a22 a23 … a2n ya que, como se observa en ambos casos, provienen del mismo renglón.

Si la matriz es 2x2, también 3x3, no resulta engorroso construir productos elementales; pero esa construcción se complica al aumentar el tamaño de A, haciéndose necesario pensar en un modo sistemático de construirlos. Luego, un método sistemático para construir productos elementales de A es tomar “ordenadamente” las filas entre la 1 la n y “permutar” las columnas. Así, en el producto de los n reales a1_a2_a3_ … an_

No habrá omisión ni repetición para las filas. Tampoco habrá omisión ni repetición para las columnas si los “-“, que representan el segundo subíndice de la entrada, están asociados a una permutación de las {1,2,3, …,n} columnas.

APARTADO 2

3.2.81.

Para Anxn, el menor del elemento ij se denota por Mij y se define como el determinante de la submatriz que se deja al eliminar de A la fila i y la columna j. el elemento: (-1)i+j Mij = Cij se conoce como el cofactor del elemento ij.

A partir de la deficiones tenemos:

M11 = a22 a23 = a22 a23 - a32 a33 , C11 = (-1)i+j M11 = a22 a23 - a32 a33

a32 a33

M21 = a12 a13

a32 a33 = a12 a33 - a32 a13 , C21 = (-1)2+1 M21 = -(a12 a33 - a32 a13) = a32 a13 - a12 a33

M31 = a12 a13

a22 a23 = a12 a23 - a22 a13 , C31 = (-1)3+1 M31 = a12 a23 - a22 a13

Las expresiones que figuran entre paréntesis son precisamente los cofactores C11, C21 y C31, luego:

Det(A) = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31

Ejemplo:

Para A3x3 = 1 2 34 5 67 8 9

Se tiene:

M11 = |5 68 9| = 45 – 48 = -3 , C11 = (-1)1+1 M11 = (1) (-3) = -3

M21 = |2 38 9| = 18 – 24 = -6 , C21 = (-1)2+1 M21 = - (-6) = 6

M31 = |2 35 6| = 12 – 15 = -3 , C31 = (-1)3+1 M31 = (1) (-3) = -3

Luego, Det(A) = 1(-3) + 4(6) + 7(-3) = 0

Este resultado puede ser ratificado usando regla nemotécnica para matrices de orden 3.

APARTADO 3

3.3.89.

Si A es invertible, A ≠ 0. Como A * B = AB = AC = A * C dividiendo esta última igualdad por A obtenemos B = C

APARTADO 4

3.4.06.

La ecuación lineal de la recta que pasa por los puntos (4,2) y (-2,-1) viene dada por:

x y 14 2 1

−2 −1 1 = 0, es decir 3x – 6y = 0.