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República Bolivariana de VenezuelaMinisterio de Educación Superior
Universidad Fermín ToroCabudare, Edo-Lara
Facultad de Ingeniería
Interpolación
Integrantes:
Iraima Sandoval
C.I: 24.394.478
Cabudare, Julio 2015
1. Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de valores, e interpolar en el punto x = 1.
xi -4 -3 2 -6
yi -16 -5 -10
-50
li (x )= Πi≠ j
x−xix j−x i
p ( x )=∑j=0
n
y i ∙li (x )
l0 ( x )=(x−x1 ) (x−x2) (x− x3 )
(x0−x1 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )=
( x+3 ) ( x−2 ) ( x+6 )(−4+3 ) (−4−2 ) (−4+6 )
l0 ( x )= 112x3+ 7
12x2−3
l1 ( x )=(x− x0 ) (x−x2 ) (x−x3 )
(x1−x0 ) (x1−x2 ) (x1−x3 )=
( x+4 ) ( x−2 ) (x+6 )(−3+4 ) (−3−2 ) (−3+6 )
l1 ( x )=−115x3− 8
15x2− 4
15x+ 16
5
l2 ( x )=(x−x0 ) (x−x1 ) (x−x3 )
(x2−x0 ) (x2−x1 ) ( x2− x3 )=
( x+4 ) (x+3 ) ( x+6 )(2+4 ) (2+3 ) (2+6 )
l2 ( x )= 1240
x3+ 13240
x2+ 940x+ 3
10
l3 (x )=(x−x0 ) ( x−x1) (x−x2 )
(x3−x0 ) (x3−x1 ) (x3−x2 )=
( x+4 ) ( x+3 ) ( x−2 )(−6+4 ) (−6+3 ) (−6−2 )
l3 (x )=−148x3− 5
48x2+ 1
24x+1
2
p ( x )= y0 l0 ( x )+ y1l1 ( x )+ y2l2 ( x )+ y3 l3 ( x )
Sustituyendo:
p ( x )=−16 ∙( 112x3+ 7
12x2−3)−5 ∙(−1
15x3− 8
15x2− 4
15x+ 16
5 )−10∙( 1240
x3+ 13240
x2+ 940x+ 3
10 )−50∙ (−148x3− 5
48x2+ 1
24x+ 1
2 )p ( x )=−2 x2−3x+4
2. Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Newton en diferencias divididas con los datos de la tabla que aparece a continuación, e interpolar en el punto x= 3 (DIFERENCIAS DIVIDIDAS)
xi
-4 6 2
yi
-20 -30 -2
Por diferencias divididas:
xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2]-4 -20
-16 -30 -1
-72 -2
Luego:
P2 (x )=f [ x0 ]+f [ x0 , x1 ] ∙ (x−x0 )+ f [ x0 , x1, x2 ] ∙ (x−x0 ) ∙ (x−x1 )
P2 (x )=−20−1 ∙ ( x+4 )−1∙ ( x+4 ) ∙ ( x−6 )
P2 (x )=x−x2
3. Se quiere aproximar la función f(x) = −seno( 6 x ) en el intervalo [−1,1] utilizando interpolación polinómica con 5 puntos dados por el vector x=[ .8,.5, .3, .9, -.9]. ¿Cuál es el error máximo teórico que se cometería en el punto −0.5? ¿Y cuál el error real?
Por diferencias divididas:
x f [x0] f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[xi, xi+1, xi+2, xi+] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3, xi+4]0,8 0,99616461
3,79094872
0,5-
0,14112001 18,9547436-
5,68642308 -56,69519740,3 0,99616461 13,2852239 -39,3631516
-0,37233354 10,2221604
0,9 0,77276449-
1,025800620,85862721
-0,9
-0,77276449
Luego:
P4 ( x )=f [ x0 ]+ f [ x0 , x1 ] ∙ (x−x0 )+ f [ x0 , x1 , x2 ] ∙ (x−x0 )∙ (x−x1 )+ f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] ∙ (x−x0 )∙ (x−x1 ) ∙ (x−x2 )+ f [ x0 , x1, x2 , x3 , x4 ] ∙ (x−x0 ) ∙ (x−x1 ) ∙ (x−x2 )∙ (x−x3 )
P4 ( x )=0,99616461+3,79094872 ∙ ( x−0,8 )+18,9547436 ∙ ( x−0,8 ) ∙ (x−0,5 )−56,6951974 ∙ ( x−0,8 ) ∙ ( x−0,5 ) ∙ ( x−0,3 )−39,3631516∙ ( x−0,8 ) ∙ ( x−0,5 ) ∙ ( x−0,3 ) ∙ ( x−0,9 )
Para x = - 0,5
P4 (−0,5 )=0,99616461+3,79094872 ∙ (−0,5−0,8 )+18,9547436∙ (−0,5−0,8 ) ∙ (−0,5−0,5 )−56,6951974 ∙ (−0,5−0,8 ) ∙ (−0,5−0,5 ) ∙ (−0,5−0,3 )−39,3631516 ∙ (−0,5−0,8 ) ∙ (−0,5−0,5 ) ∙ (−0,5−0,3 ) ∙ (−0,5−0,9 )
P4 (−0,5 )=22,35935452
Error=|V real+V aproximado
V real |er=|sen(−0.5 ∙6)+22,35935452
sen (−0.5) |er=46,932156