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Sesión 1Descripción de datos, medidas de tendencia central
Objetivos: Al terminar esta sesión podrá:
1. Calcular la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda
2. Explicar las características, uso, ventajas y desventajas de cada medida de tendencia central.
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Características de la media
La media aritmética es, con mucho, la medida de localización más usada.
Es calculada sumando los valores y dividiendo entre el número de valores.
Las principales características de la media son:- Requiere de una escala de intervalo.
- Todos los valores son utilizados. - Es única. - La suma de las desviaciones con respecto a la media
es cero.
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Media poblacional
Para datos no agrupados, la media poblacional es la suma de todos los valores de la población divididos entre el número total de valores de la población: donde µ es la media poblacional, N es el total de observaciones de la población y X un valor particular.
N
X∑=µ
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Ejemplo 1
Un parámetro es una medida característica de la población.
Ejemplo 1: La familia Castro es propietaria de cuatro autos. Los siguientes datos corresponden al kilometraje de cada uno de ellos:56,000 23,000 42,000 73,000Encuentre la media aritmética del kilometraje de los autos:
µ = (56,000 + … + 73,000)/4 = 48,500
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Media muestral
Para datos no agrupados, la media muestral es la suma de todos los valores de la muestra dividida por el número de valores de la muestra. Donde n es el número total de valores en la muestra.
n
XX
Σ=
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Ejemplo 2
Un estadístico es una medida característica de una muestra.
Ejemplo 2: Una muestra de cinco ejecutivos recibió los siguientes bonos el último año ($000):
14.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0
4.155
77
5
0.15...0.14 ==++=Σ=n
XX
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Propiedades de la media aritmética
Todos los datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tienen una media.
Para evaluar la media se consideran todos los valores. Un conjunto de datos sólo tiene una media la cual es un
valor único. La media es afectada por valores inusualmente grandes
o pequeños. La media aritmética es la única medida de tendencia
central donde la suma de las desviaciones de cada valor, respecto de la media, siempre es igual a cero.
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Ejemplo 3
Considere el siguiente conjunto de valores: 3, 8, y 4. La media es 5. Ilustrando la quinta propiedad:
[ ] 0)54()58()53()( =−+−+−=−Σ XX
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Media ponderada
La media ponderada de un conjunto de números X1, X2, …,Xn con pesos correspondientes w1, w2, …,wn es calculada con la siguiente fórmula:
)21
)2211
...(
...(
n
nnw
www
XwXwXwX
+++++
=
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Ejemplo 6
Durante el periodo de una hora, en una tarde calurosa de sábado, Cristina sirvió 50 refrescos. Ella vendió 5 bebidas de $0.50, 15 de $0.75, 15 de $0.90, y 15 de $1.15. Calcule la media ponderada para el precio de estas bebidas.
89.0$50
50.44$1515155
)15.1($15)90.0($15)75.0($15)50.0($5
==
++++++=wX
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La mediana
La mediana es el valor que corresponde al punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor.
Cincuenta por ciento de las observaciones son mayores que la mediana, y 50% son menores que ella.
Para un conjunto par de valores, la mediana será el promedio aritmético de los dos valores centrales.
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Ejemplo 4
Las edades de una muestra de 5 estudiantes del colegio son:
21, 25, 19, 20, 22 Ordenando los datos en forma ascendente, tenemos: 19, 20, 21, 22, 25. Entonces la mediana es 21. Las estaturas de 4 jugadores de basquetbol, en
pulgadas, son: 76, 73, 80, 75 Entonces la mediana es 75.5
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Propiedades de la mediana
Es única; esto es, a semejanza de la media, sólo existe una mediana para un conjunto de datos.
No se ve afectada por valores extremadamente grandes o muy pequeños, y por tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando se presenta esta clase de valores.
Puede calcularse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal.
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La moda
La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia.
Ejemplo 5: Las calificaciones de 10 estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87
Dado que 81 es el dato que aparece con más frecuencia, éste es la moda.
