Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño Escuela: Electrónica

Sede: Barcelona- Estado Anzoátegui

Medidas de Dispersión

PROFESOR: ALUMNO:

Carlos Hernández Marcos Rodríguez 26346784

Barcelona, Diciembre del 2015.

Medidas de dispersión

También llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, y cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).

Características

En secciones anteriores se ha discutido sobre tres medidas descriptivas del centro. Sin embargo, estas medidas no son suficientes para caracterizar la distribución, puesto que otro aspecto que debe se tomar en cuenta es la variabilidad de las observaciones.

Con el propósito de medir la dispersión o variabilidad, se discutirán en este apartado las medidas de: Amplitud (llamada también rango o recorrido), Desviación media, Varianza, Desviación Estándar (también llamada desviación típica) y Coeficiente de Variación.

Usos de las Medidas de Dispersión

Tanto las unas como las otras, son medidas que se toman para tener la posibilidad de establecer comparaciones de diferentes muestras, para las cuales son conocidas ya medidas que se tienen como típicas en su clase. Por ejemplo: Si se conoce el valor promedio de los aprobados en las universidades venezolanas, y al estudiar una muestra de los resultados de los exámenes de alguna Universidad en particular, se encuentra un promedio mayor, o menor, del ya establecido; se podrá juzgar el rendimiento de dicha institución.

  Rango

Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como la diferencia entre el valor más alto (Xn ó Xmax.) y el mas bajo(X1 ó Xmin) en un conjunto de datos. 

Rango para datos no agrupados;   R = Xmáx.-Xmín= Xn-X1 

 Ejemplo:

 Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, asaber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio delas edades, se tiene que:y R = Xn-X1 ) = 34-18 = 16 años

Desviación típica

Es sin duda la medida de dispersión más importante, ya que además sirve como medida previa al cálculo de otros valores estadísticos.

La desviación típica se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media de la distribución. Es decir,

S=√∑ ( x−x )2

N

Para datos sin agrupar, o bien:

S=√∑|x−x|2

N

Cálculo de la desviación típica para datos no agrupados en clases

Veamos la fórmula anterior aplicada a un caso concreto.

Hallar la desviación típica de la serie: 5, 8, 10, 12, 16.

x |x−x| |x−x|2

5 -5,2 27,04

8 -2,2 4,84

10 -0,2 0,04

12 1,8 3,24

16 5,8 33,64

Primero hallamos x = 10,2

Luego S = √13 ,76=3 ,71

Cálculo de la desviación típica para datos agrupados en clases y agrupados por frecuencias

Método largo: Se aplica la siguiente fórmula

S=√∑ fx2

N

Donde x=xm−x y f es la frecuencia absoluta de cada intervalo.

Método abreviado o corto: La fórmula a utilizar es:

S=I √∑ fd 2

N −(∑ fdN )

2

Donde:

I: amplitud de la clase

D: distancia en clases desde cada una en concreto a la clase que contiene a la media supuesta A.

Ejemplo: Las alturas en cm de un grupo de 103 personas se distribuyen así:

Clases f

150 – 155

155 – 160

160 – 165

3

6

12

165 – 170

170 – 175

175 – 180

180 – 185

185 – 190

190 – 195

195 – 200

18

25

17

10

7

4

1

103

Resp: S = 9,56

Varianza

La varianza (que suele representarse como ) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.

Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.

Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas.

El término varianza fue acuñado por Ronald Fisher en un artículo publicado en enero de 1919 con el título The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.[1]

Características

Cabe destacar que las medidas de dispersión (también identificadas con el nombre de medidas de variabilidad) se encargan de expresar la variabilidad de una distribución por medio de un número, en los casos en que las diferentes puntuaciones de la variable están muy alejadas de la media. A mayor valor de la medida de dispersión, mayor variabilidad. En cambio, a menor valor, más homogeneidad.Lo que hace la varianza es establecer la variabilidad de la variable aleatoria. Es importante tener en cuenta que, en ciertos casos, es preferible emplear otras medidas de dispersión ante las características de las distribuciones.

Coeficiente de variación

En estadística, cuando se desea hacer referencia a la relación entre el tamaño de la media y la variabilidad de la variable, se utiliza el coeficiente de variación.

Su fórmula expresa la desviación estándar como porcentaje de la media aritmética, mostrando una mejor interpretación porcentual del grado de variabilidad que la desviación típica o estándar. Por otro lado presenta problemas ya que a diferencia de la desviación típica este coeficiente es variable ante cambios de origen. Por ello es importante que todos los valores sean positivos y su media dé, por tanto, un valor positivo. A mayor valor del coeficiente de variación mayor heterogeneidad de los valores de la variable; y a menor C.V., mayor homogeneidad en los valores de la variable. Suele representarse por medio de las siglas C.V.

Se calcula:

Donde es la desviación típica, y es la Media. Se puede dar en porcentaje calculando:

Los coeficientes de variación tienen las siguientes características:

Puesto que tanto la desviación estándar como la media se miden en las unidades originales, el CV es una medida independiente de las unidades de medición.

Debido a la propiedad anterior el CV es la cantidad más adecuada para comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos.

En áreas de investigación donde se tienen datos de experimentos previos, el CV es muy usado para evaluar la precisión de un experimento, comparando en CV del experimento en cuestión con los valores del mismo en experiencias anteriores.

Bibliografía

https://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_dispersi%C3%B3n

http://colposfesz.galeon.com/est501/distfrec/meddisp/meddisp.htm

http://html.rincondelvago.com/medidas-de-dispersion.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_variaci%C3%B3n

http://definicion.de/varianza/