Probabilidad

Introducción• En la vida diaria se utilizan a menudo las palabras probable y probabilidad. Así, es común decir : “ Es probable que me vaya a Europa” y “existe una gran probabilidad de que lo asciendan”, “hay anuncio de probabilidad de chaparrones”, etc.

• Es decir, que de acuerdo con la acepción que se le da a la palabra probabilidad en el lenguaje corriente, se refiere siempre a acontecimientos que pueden ocurrir con mayor o menor frecuencia, pero que no se puede asegurar si van a ocurrir o no .

El cálculo de probabilidades tuvo un

notable desarrollo con el trabajo del matemático

suizo Jacob Bernoulli (1654-1705)

Definición• La probabilidad es una medición

numérica que va de 0 a 1, de que la posibilidad de que un evento ocurra .Si da cerca de 0 es improbable que ocurra el evento y si da cerca de 1,es casi seguro que ocurra.

P(a):

nº de resultados que ocurra “a”Nº de resultados posibles

• La probabilidad de un acontecimiento es igual

al cociente entre el numero de casos

favorables y el numero de casos igualmente

posibles .

¿Cómo se calcula una probabilidad?

FORMULA :P= Probabilidad de que “pase algo”

Casos favorables Casos totales

P=

Ejemplo :supongamos que vamos a sacar un caramelo ,sin mirar ,de una bolsa de 7 caramelos de frutillas y 3 de limón. ¿Cual es la probabilidad de que el caramelo que saque sea de frutilla?

Los casos favorables son 7 P= (que es la cantidad de caramelos de frutilla)

Los casos TOTALES son 10 (que es la cantidad TOTAL de caramelos )

P= P= 0,7

Casos favorablesCasos totales

710

La probabilidad de que el caramelo que sacamos sea de frutilla es de 0,7…

¿Qué pasa cuando la probabilidad da 1?

Ejemplo :Calcular la probabilidad de que al arrojar un dado salga un numero menor a 10.

Cualquier número que salga va a ser menor a 10.

Entonces la probabilidad de que el número sea menor que diez es 1.

• Si quisiera usar la formula pasaría esto:

Los casos favorables son 6. ( Los números menores a 10 de un dado son los 6)

Los casos totales son 6. (Que es la cantidad de números que tiene el dado)

Probabilidad de que el numero sea menor que 10.

66 P= 1

Tipos de sucesos Eventos mutuamente excluyentes: Dos o más

eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).

Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga

cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.

Ej.: hombres , mujeres

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Ejemplo: Si consideramos en un juego de domino sacar al

menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco. Otro ej.: hombres, ojos café.

Independientes: Sucesos cuya probabilidad no se ve afectada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro :

P ( AI B ) = P ( A ); P ( BIA ) = P (B) Y P (A Y B) = P(A) P(B) Ejemplo: lanzar al aire dos veces una moneda son eventos

independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento. Otro ej: sexo y color de ojos

• Dependientes: sucesos cuya probabilidad cambia dependiendo de la ocurrencia o no ocurrencia del otro:

P ( AI B ) difiere de p (A); P ( BIA ) difiere de P(B); Y P (A Y B)= P ( A ) P ( BIA )= P (B) P ( AI B )• Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el

concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

• Ejemplo: raza y color de ojos.

• Exhaustivo: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.

Simbólicamente: p (A o B o...) = 1

• No exhaustivos: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si no cubren todos los posibles resultados.

La probabilidad como porcentaje.

• Muchas veces habrán escuchado estimar una probabilidad como un porcentaje. Por ejemplo: “hay un 20% de probabilidades de que mañana llueva”

• ¿ Y como puede ser que sea mayor a 1? En verdad una probabilidad de 20% no es mayor a 1.

Las probabilidades expresadas como porcentaje nunca son mayores a 100%.

¿ Como expresar la probabilidad en

porcentaje?Lo multiplico por 100%Ejemplo :supongamos que una probabilidad me dio 0,45¿Cómo seria si la expreso como porcentaje?

P=0,45 P= 0,45 . 100% P= 45%Multiplico por 100%

Regla de adición.• La regla de adición o regla de la suma

establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

• Ejemplo: En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV y 100 dijeron tener ambos. Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sólo un estéreo, sólo una TV y uno de cada uno?

• P(S) = 320 /500 = 64• P(T) = 175 /500 = 35 • P(S y T) = 100 /500 = 20 Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente,

¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su habitación?

• P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T) = 64 +35 - 20 = 79

Regla de multiplicación.

• La regla de multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o mas eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

• Ejemplo: Un Club esta en el período de elecciones de la nueva Comisión Directiva. Hay tres candidatos a presidente, cuatro a vicepresidente, cinco para secretario y dos para tesorero. ¿Cuántos resultados diferentes puede tener la elección?

Respuesta: El número total de resultados distintos en que

puede terminar la elección es igual a: 3 x 4 x 5 x 2 = 120

AplicacionesDos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el

día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercado de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama “análisis de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales.

• Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad. Muchos bienes de consumo, como los automóviles y la electrónica de consumo, utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente relacionada con la garantía del producto.

Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para calcular y combinar los cálculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. Por consiguiente, puede ser de alguna importancia para la mayoría de los ciudadanos entender cómo se calculan los pronósticos y las probabilidades, y cómo contribuyen a la reputación y a las decisiones, especialmente en una democracia.

BibliografíaLibro: LógicamentePáginas Webs:• www.monografías.com• www.mitecnologico.com/.../

ReglasDeMultiplicacionProbabilidad • www.wikipedia.org

Trabajo PrácticoMATEMATICA

Integrantes:Castro Camila.-Fermani, Florencia.-Sanmillán, Milagro.-Calderón, Alejandro.-Ríos, Matías.-

Col. J. M. Estrada 2° 1° Economía.-