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MATEMÁTICA DISCRETA Y PROBABILIDADES
*COLEGIO COMPUINFORMAT
ICA
Tutor: Lic. Jayro Aguirre
*Autor: Daniela Facunda
JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA
Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.
La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.
OBJETIVO GENERAL Aplicar los diferentes conceptos de la matemática discreta y las probabilidades en la resolución de problemas matemáticos aplicados a diferentes áreas de estudio, bajo un enfoque didáctico. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Utilizar las matemáticas discretas para plantear y solucionar problemas
reales que tengan relación con otras disciplinas.
2. Aplicar los conceptos de la estadística inferencial para presentar información sobre datos en diferentes contextos.
3. Identificar los elementos básicos de la teoría de probabilidad con énfasis en el modelado de los fenómenos aleatorios. Reconocer situaciones prácticas en las que las principales distribuciones de probabilidad, discretas y continuas pueden presentarse.
4. Introducir las técnicas más básicas de la Matemática Discreta, fundamentalmente Combinatoria Enumerativa y Teoría de Grafos.
MATEMÁTICA DISCRETA
Parte de la matemática que estudia los objetos Discretos (distintos o no conectados) Son usadas en donde los objetos son contados, cuando las relaciones entre conjuntos finitos son estudiadas y cuando los procesos que involucran un número finito de pasos son analizados.
FINITOS
Lo discreto es lo finito o lo que, si no es finito, presenta el aspecto de los números naturales, objetos bien separados entre sí
INFINITOS
como los números reales, y de ahí el concepto de límite y las ideas que de dicho concepto se derivan.
OBJETIVOS
Introducir algunos
métodos y
conceptos básicos
de la matemática
discreta
Describir algunas
de sus
aplicaciones a
la informática.
ntroducir el
programa MAPLE
en sus
aplicaciones a la
matemática
discreta.
RAZONES
Desarrollar su madurez matemática (habilidad para entender y crear argumentos matemáticos)
Es el inicio de más cursos avanzados del plan de estudio (Flp, Fada, Criptografía,
BD, SO, Detección y Corrección de errores, entre otros)
La matemática discreta surge como una disciplina que unifica diversas áreas tradicionales de las Matemáticas:
Combinatoria
probabilidad
geometría de polígonosLógica
grafos
DISCIPLINAS DE LAS MATEMÁTICAS DISCRETAS
Lógica .- Es el estudio del razonamiento; en particular, se analiza si un razonamiento es correcto.
AP
LIC
AC
ION
ES
DE
LA
LÓ
GIC
A
En programación para construir expresiones lógicas.
Para escribir pre y postcondiciones que describen el comportamiento de losprogramas.
Como fundamento para el diseño del computador.
Ejemplos
Todos los matemáticos utilizan
sandalias
Cualquier persona que utilice
sandalias es algebrista.
Por lo tanto, todos los matemáticos son
algebrista.
CARACTERÍSTICAS
La Lógica se centra en
las relaciones entre los
enunciados y no en el
contenido de un
enunciado en
particular.
El tipo de expresiones que interesan a
la lógica son aquellas cuyo contenido
puede ser evaluado como falso o
verdadero. A este tipo de expresiones
se le denomina proposición, sentencia
o enunciado.
Existen diversos tipos de lógica, pero en este
curso en particular se explorarán las Lógica
Proposicional y la Lógica de Predicados
TIPOS DE LÓGICAS
LÓGICA PROPOSICIONAL
Bogota es la capital de Colombia.
Madrid es la capital de España.
La tierra es el único planeta en el universo que tiene vida.
es un enunciado, declaración, sentencia que puede tomar valores de verdadero o falso.
Para representar las proposiciones se utilizan letras mayúsculas tales como
P
Q
R
Por ejemplo, sea:P: Hoy es martes.Q: Hay clase de matemáticas
PROPOSICIONES
SIMPLES
se identifican porque no contienen otras afirmaciones que la
compongan (átomos)
COMPUESTAS
se obtienen al combinar proposiciones simples para
expresar afirmaciones más complejas
COMBINATORIA
Estudia la forma en que las estructuras discretas se pueden combinar o dispuestos.
TIPOS
enumerativa
concentrados en contar el número de ciertos objetos combinatorios - por ejemplo, la forma en que doce veces proporciona un marco unificado para contar permutaciones, combinaciones y particiones.
analíticas
se refiere a la enumeración de las estructuras combinatorias utilizando herramientas de análisis complejo y la teoría de la probabilidad.
análisis tiene como objetivo la obtención de fórmulas asintótica
TEORÍAS
dis
eño
• es un estudio de diseños combinatorias, que son colecciones de
subconjuntos con ciertas propiedades de intersección
rep
art
o
• estudia diversos enumeración y problemas relacionados con
asintóticas particiones enteras, y está estrechamente relacionado con
la serie Q, funciones especiales y polinomios ortogonales
par
tici
ón
• es considera una parte de la combinatoria o un campo independiente
ord
en
• es el estudio de los conjuntos parcialmente ordenados, tanto finitos e
infinito.
LA TEORÍA DE GRAFOS
La teoría de grafos algebraica tiene estrechos vínculos con la teoría de grupos. También hay gráficos continuos, sin embargo, para la mayoría de la investigación en teoría de grafos se inscribe en el ámbito de las matemáticas discretas.
MODELOS
naturales artificiales.
Se pueden modelar muchos tipos de relaciones y la dinámica de procesos en sistemas:
Físicos
biológicos
sociales
ÁlgebraEstructuras algebraicas se producen como ambos ejemplos discretos y ejemplos continuos.
Álgebras discretos son: álgebra
de Boole se utiliza en puertas
de la lógica y la programación
álgebra relacional utilizado en
las bases de datos
las versiones discretas y finito
de grupos, anillos y campos
son importantes en la teoría de
la codificación algebraica
semigrupos discretos y
monoides aparecen en la teoría
de lenguajes formales.
GEOMETRIA
DISCRETA
Un tema de larga data en la geometría discreta es suelo de baldosas del avión.
Geometría discreta y la geometría combinatoria unas propiedades combinatorias de colecciones discretas de objetos geométricos.
COMPUTACIONAL aplica algoritmos para problemas geométricos.
TEORÍA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia los conjuntos, que son colecciones de objetos, como {azul, blanco, rojo} o el conjunto de todos los números primos. Conjuntos parcialmente ordenados y conjuntos con otras relaciones tienen aplicaciones en diversas áreas.
CLASES
universo
finito
Conjunto de
potencia
infinitoConjunto
de conjunto
unitario
vacio
PROBABILIDADES
La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se dé.
Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.
TIPOS DE SUCESOS
Suceso posible
Es un resultado que se puede dar.
Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado.
Suceso imposible
Es un resultado que no se puede dar.
Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el número 7).
Suceso seguro
Es un resultado que siempre se va a dar.
Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).
PROBABILIDADES DE LOS SUCESOS
SUCESO IGUAL DE PROBABLE
• es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás:
• Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas probabilidades que el suceso "cruz".
SUCESO MUY PROBABLE
• es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse:
• Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de ocurrir.
SUCESO POCO PROBABLE
• es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse:
• Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bolsa negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.
CONCLUSIONES En esta forma las características más importantes de los datos se aproximan muy fácilmente, compensando así el hecho de que cuando los datos se agrupan de ese modo, la información inicial referente a las observaciones individuales de que antes se disponía se pierde a través del proceso de agrupamiento o condensación.
RECOMENDACIONES Establecer el modelo pedagógico del constructivismo, es la construcción del conocimiento. El tema de "lógica matemática", se presta para que el alumno pueda realizar los relacionamientos entre las distintas proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas, física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al fin de cuentas lo que importa es llegar al resultado.
