TRIGONOMETRIA

1) Escribir las razones trigonométricas del ángulo de 3456º en función de las de

un ángulo positivo menor que 45º.

SOLUCION: Al representar el ángulo de 3456º en la circunferencia unidad, después de haber dado varias vueltas completas a la circunferencia, su segundo

lado corresponderá con el segundo lado de un ángulo menor de 360º. Dicho ángulo es el resto obtenido al dividir 3456º entre 360º y el cociente es el número de vueltas

que se dan a la circunferencia. Realizando la división se obtiene que 3456 = 9·360 + 216 y, por tanto, las razones trigonométricas de 3456º coinciden con las de 216º.

Teniendo en cuenta lo anterior y que 216º-180º= 36º o lo que es lo mismo 216º = 180º + 36º se tiene:

Sen 3456º = sen 216º = -sen 36º cos 3456º = cos 216º = -cos 36º

Por otra parte: Tg 3456o= tg 216o= 𝑠𝑒𝑛 216

cos 216 =

−𝑠𝑒𝑛 216

− cos 216 = tg 36o

2) Resolver el triángulo rectángulo ABC sabiendo que el lado b= 102.4 m y el

ángulo B=55

B

c=?? a=??

A C

b=102.4 m

C=90-55=35o

TgB = b/c ---- c = b/tgB = 102.4/ tg55 = 71.7 m=c

Sen =b/a---- a = b/senB = 102.4/ sen55 = 125 m= a

3) Compruebe la siguiente identidad:

𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝐜𝐨𝐬 𝐱

𝐬𝐞𝐧𝐱= 𝟏 +

𝟏

𝐭𝐠𝐱

SOLUCIÓN:

216o 36o

𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥= 1 +

1

𝑡𝑔𝑥− − −

𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥= 1 +

𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥− − −

𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥=

𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥

4) Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo

son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b están a 275 km

entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos ,con el mismo plano

vertical calcula la altura de h del globo sobre el suelo

C

A B

SOLUCION:

H

Ao = 30o Bo = 40o AB = 275 km CD = H =? En el triángulo recto CDA se aplica tangente de Aº

TgA0 = (cateta opuesta) / (hipotenusa) TgA0 = CD / AD tg300 = H / AD ----> AD = H/ tan300 (1)

En el triángulo recto CDB se aplica tangente de B0 tgB0 = CD / DB tg 400 = H / DB ----> DB = H/ tan400(2)

Se resuelve (1) y (2) resulta AD + DB = H/tan300 + H/tan400

pero AD + DB = AB = 275 km 275 = (H tan40º + H tan30º) / tan30º tan40º 275 = H (tan40º + tan30º) / tan30º tan40º H = (275 tan30º tan40º) / (tan 30º + tan 40º) H = 133.22495936 / 1.4164499= 94.06 km=H

5) Un faro está situado a 18 km de y a 450 al norte del oeste de un muelle. Un

barco sale del muelle a las 10 a.m. y navega a razón de 24 km/h ¿a qué hora se

encontrara a 14 km del faro?

N

Faro

Barco Muelle

S

SOLUCION:

MF= 18 km (distancia del muelle al faro)

BF= 14 km (distancia del barco al faro) BM= x km (distancia del barco al muelle)

Angulo M= 450 (formado por el barco-muelle-faro) Angulo B: formado por el faro-barco-muelle Angulo F: formado por el barco-faro –muelle

De la ley de senos se tiene que 𝑠𝑒𝑛𝐵

18=

𝑠𝑒𝑛45

14

Despejando para B B= Sen-1(0.9091)=65.380=B

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 1800 se tiene que:

Angulo F=180 – (45+65.38)=69.620 Al utilizar la ley de cosenos nuevamente se tiene que:

𝑥

𝑠𝑒𝑛69.62=

14

𝑠𝑒𝑛45− −𝑥 = 𝑠𝑒𝑛69.62

14

𝑠𝑒𝑛45

x=18.6km y v=24 km/h De la fórmula de la Velocidad se tiene que v = x/t se despeja el tiempo y se obtiene lo siguiente:

𝑡 =𝑥

𝑣=

18.6 𝑘𝑚

24 𝑘𝑚/ℎ= 0.775 ℎ

t= (0.775h) (60 min)=46.5 min

Respuesta: Por lo tanto el barco se encontrara a 14 km del faro aproximadamente a las 10:46 a.m.