PRODUCTO

INTERNO

NORMA DE UN

VECTOR

Norma: Determina la longitud o magnitud del vector bajo consideración.

Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo:

Terminología: ǁuǁ se lee : “norma de u”.

Sea el espacio vectorial (V, K, +, *) , donde V es un espacio

vectorial en el campo K con producto interno (+) y externo (*),

se cumple:

ǁuǁ =

DEFINICION:

1.- Si µ ≠ 0v, II µ II > 0

2.- Si µ = 0v, II µ II = 0

3.- II kµ II = I k III µ II

4.- I (u/v) I ≤ Il u II II v II (desigualdad de Cauchy - Schwartz)

5.- II u + v II ≤ Il u II + II v II (desigualdad triangular)

Propiedades de la norma de un vector

* Siempre es positiva e independiente del sentido

(orientación) de la medición.

* Al referirse a los espacios euclidianos , la norma, es

un número real que representa la distancia entre el

origen y el extremo del vector.

* La longitud entre dos puntos será siempre menor o

igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos

puntos a un tercero diferente de ellos (desigualdad

triangular: la suma de dos lados de un triángulo nunca

es menor que el tercer lado, también generalizado en el

teorema algebraico de Schwarz).