3.4. PRODUCTOS NOTABLES VS FACTORIZACIÓN

PRODUCTOS NOTABLES

Son productos entre expresiones algebraicas que pueden ser generalizados y cuyo desarrollo se puede hacer por simple inspección.

BINOMIO AL CUADRADO

A. El cuadrado de la suma de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del primer término mas el duplo del producto del primer término por el segundo más el segundo al cuadrado.

(a+b )2=a2+2ab+b2

Ejemplo:

(3 x3+2 y2)2=( 3x3 )2+2 (3 x3) (2 y2)+(2 y2 )2=9x6+123 x3 y2+4 y4

B. El cuadrado de la resta de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del primer término menos el duplo del producto del primer término por el segundo más el segundo al cuadrado.

(a−b )2=a2−2ab+b2

Ejemplo:( x−5 )2=x2−2 ( x ) (5 )+(5 )2=x2−10 x+25(2 x2 y3−1 )2=( 2x2 y3 )2−2 (2 x2 y3) (1 )+(1 )2=4 x 4 y6−4 x2 y3+1

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS ALGEBRAICOS

El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual a al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

(a+b ) (a−b )=a2−b2

Ejemplo:( x−7 ) ( x+7 )=( x )2−(7 )2=x2−49(3 x2−9 ) (3 x2+9 )=(3 x2)2−(9 )2=9 x4−81

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA ( x+a ) ( x−b )

El producto de dos binomios de esta forma es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.

( x+a ) ( x+b )=x2+ (a+b )+abEjemplo:( x+5 ) ( x+6 )=x2+(5+6 ) x+5 . 6=x2+11 x+30( x−3 ) ( x−2 )=x2+( (−3 )+(−2 )) x+(−3 ) (−2 )=x2−5 x+6( x+5 ) ( x−4 )=x2+( (5 )+ (−4 ) ) x+(5 ) (−4 )=x2+x−20( x−7 ) ( x+5 )=x2+ ( (−7 )+(5 )) x+(−7 ) (5 )=x2−2 x−35

BINOMIO AL CUBO

A. El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

(a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3

Ejemplo:( x+5 )3=x3+3 ( x )2 (5 )+3 ( x ) (5 )2+ (5 )3=x3+15 ( x )2+3 ( x ) (25 )+125=x3+15 x2+75 x+125(2 x3+5 y )3=(2 x3)3+3 (2x3 )2 (5 y )+3 (2x3 ) (5 y )2+ (5 y )3

¿8 x9+3 ( 4 x6) (5 y )+3 (2 x3 ) (25 y2)+(125 y3 )¿8 x9+60 x6 y+150 x3 y2+125 y3

b. El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

(a−b )3=a3−3a2b+3ab2−b3

Ejemplo:

( y−3 )3= y3−3 ( y )2 (3 )+3 ( y ) (3 )2−(3 )3

¿ y3−9 ( y )2+3 ( y ) (9 )−27¿ y3−9 y2+27 y+27

(5a2−2b5 )3=(5a2)3−3 (5a2 )2 (2b5 )+3 (5a2 ) ( 2b5)2−(2b5 )3=125 x6−3 ( 25a4 ) (2b5 )+3 (5a2) ( 4b10 )−8b15

¿125 x6−150 a4 b5+60 a2b10−8b15

FACTORIZACION

La factorización es expresar un término algebraico como el producto de otros términos llamados factores. En el caso de números reales utilizamos los números primos que, al multiplicarlos resulta el termino original. Por ejemplo, el número 20 se factoriza en números primos de la siguiente manera 2x2x5, y a² se factoriza a x a. Cuando se

factoriza un polinomio comox2−5x+6 su resultado es ( x−3 ) ( x−2 ) .

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO

FACTOR COMUN

Se determinar el factor común es extraer el divisor común de los coeficientes y la parte literal con menor exponente común de un polinomio.

Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.

Ejemplos

8a2b+4 ab2 ↓Factor comun4 ab(2a+b)

3by−9 ya ↓Factor comun3 y (b−3a )

TRINOMIO CUADRADO PERFECTOx2+2 xy+ y2=( x± y )2

Se identifican los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.Y se calculan sus raíces cuadradas, dichas raíces serán los términos de la factorización.

Luego calculo el doble producto de los términos de las raíces; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado, Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichos términos que surgen de las raíces.

Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las raíces del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.

Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las raíces del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.

Ejemplos:1.

4 x2+12 xz+9 z2

√4 x2=2x ¿} √9 z2=3 z ¿ }¿¿

⇒Es un Trinomio Cuadrado Perfecto ¿Entonces: 4 x2+12 xz+9 z2=(2x+3 z )2 ¿¿

2.

4 x6+116

+x3

√4 x6=2 x3 ¿ }√116

=14

¿}¿¿

⇒Es un Trinomio Cuadrado Perfecto ¿Entonces: 4 x6+116

+x3=(2 x3+14

)2 ¿¿

CUBO PERFECTOx3+3 x2 y+3 xy2+ y3=( x+ y )3

Se identifican los cubos perfectosY calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán los términos de la factorización.

Luego calculo:El triple producto del cuadrado del primer término de la factorización por el segundo.El triple producto de la primer término de la factorización por el cuadrado de la segundaLuego nos fijamos si estos cálculos figuran en el polinomio dado,

Si estos cálculos figuran en el polinomio dado, entonces decimos que es un Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas raíces.

Las raíces que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.

Ejemplos:

1.

8a3+36a2b+54ab2−27b3

3√8a3=2a ¿} 3√−27b3=−3b ¿} 3 .(2a )2.(−3b )=−36 a2b ¿}¿¿

⇒Es un Cubo Perfecto ¿Entonces: 8a3+36 a2b+54 ab2−27b3=(2a -3b )3 ¿¿

2.

18x3−3

4x2+3

2x−1

3√18x3=1

2x ¿} 3√−1=−1 ¿} 3 .(1

2x )2 .(−1 )=−3

4x2¿}¿

¿

⇒Es un Cubo Perfecto ¿Entonces: 18x3−3

4x2+3

2x−1=(1

2x−1)3 ¿¿

DIFERENCIA DE CUADRADOSx2− y2=( x− y )( x+ y )

Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.Calculo los términos de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)

Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichos términos.

Ejemplos:

1.

9 x2−25 y2

√9 x2=3 x ¿ }¿¿

Entonces: 9 x2−25 y2=(3 x+5 y )(3x−5 y ) ¿

2.49x6−z4 y2

√49x6=2

3x3 ¿}¿

¿

Entonces :49x6−z 4 y2=(23 x3+ z2 y)(23 x3−z2 y) ¿

TRINOMIO DE LA FORMA DE LA FORMA x2+ax+b

Se le calcula la raíz cuadrado al primer término.

Se buscan dos números que multiplicados den el tercer termino y sumados el segundo termino del trinomio

x2+cx+d=x2+(a+b ) x+ab=( x+a ) ( x+b )

Ejemplos:x2+11 x+30=x2+ (5+6 ) x+5 . 6=( x+5 ) ( x+6 )x2−5x+6=x2+( (−3 )+ (−2 ) )x+(−3 ) (−2 )=( x−3 ) ( x−2 )x2+x−20=x2+( (5 )+ (−4 ) )x+(5 ) (−4 )= (x+5 ) ( x−4 )x2−2x−35=( x−7 ) ( x+5 )

SUMA DE CUBOSa3+b3= (a+b ) (a2−ab+b2)

El procedimiento de factorización en este caso es: Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio.El primer factor de la solución es un binomio conformado por la suma de las raíces cubicas.El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cubica de primer término menos el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cubica del segundo término.

Ejemplo:

Factorizar x3+1

Aplicando el caso de factorización x3+1=( x+1 ) (( x )2−( x ) (1 )+(1 )2 )

Se obtiene como resultado: x3+1=( x+1 ) (x2−x+1 )RESTA DE CUBOSa3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )

El procedimiento de factorización en este caso es:

Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio.El primer factor de la solución es un binomio conformado por la resta de las raíces cubicas.El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cubica de primer término más el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cubica del segundo término.

Ejemplo:

Factorizar x3−1

Aplicando el caso de factorización x3−1=( x−1 ) (( x )2+ ( x ) (1 )+ (1 )2)

Se obtiene como resultado: x3+1=( x−1 ) (x2+ x+1 )

TRINOMIO DE LA FORMA ax 2+bx+c

Este trinomio se diferencia de los anteriores casos en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.

Se factoriza de la siguiente manera:

Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, dejando indicado el producto en el segundo término. Convirtiéndolo así en un trinomio de la forma: x2+ax+b

Se cambian posición los coeficientes del producto del segundo término.

Se factoriza el trinomio utilizando el caso del trinomio de la forma x2+ax+b

Se extrae factor común de cada uno de los binomios de la factorización.Se divide por el coeficiente por el cual se multiplico en el primer paso, y se simplifica.

Ejemplo:

Factorizar 6 x2+x−26 x2+x−2

Se obtiene como resultado: 6 x2+x−2=(3 x+2 )(2 x−1)