Proposiciones

Sthefany León

Proposiciones Es todo aquel enunciado que solo puede ser calificado

como verdadero o falso pero no verdadero y falso a la vez. Este resultado tiene un valor lógico que son 1 y 0, diremos que es verdadero cuando le ponemos un 1 y diremos que es falso cuando se representa con 0. Las proposiciones son denotadas siempre por letras minúsculas, generalmente son usadas las letras p,q,r,s.

Ejemplos. p= Barquisimeto es la capital del estado lara q= Los humanos necesitan oxigeno para vivir r= La araña es un insectoEn estos 3 ejemplos vemos que le damos una letra minúscula a cadaproposición y así sabremos que si vemos p sabremos que estamoshablando de que Barquisimeto es la capital del estado Lara. Ahorapara calcular el valor lógico se denotaría de esta manera VL(p)= 1 sabemos que la capital del estado Lara es Barquisimeto por lo

tanto es verdadero y se denotara con el numero 1 VL(q)= 1 los seres humanos no pueden vivir sin oxígeno así que

pondremos 1 ya que es verdad VL(r)= 0 las arañas cuentan con 8 patas por lo que pertenecen a el

grupo de los arácnidos por lo tanto es falso y lo denotamos con un 0.

Operaciones veritativas.Los operadores lógicos o también llamados conectivos son símbolos

que se emplean para unir 2 o mas proposiciones, de aquí sale los tipos de proposiciones que pueden ser simples o atómicas o pueden ser moleculares o compuestas. Los conectivos lógicos son los siguientes:

Estos son los conectivos lógicos que se usaran y las operaciones a usar con cada uno de ellos las llamaremos operaciones veritativas

Conectivos lógicosLa negación: su símbolo es ~ y ~p se lee como “no p” o “no es cierto que p” esto quiere decir que el resultado de esta operación veritativas es lo contrario al valor lógico de la proposición y su tabla de la verdad seria la siguiente:

p ~q

1 0

0 1

Aquí vemos que cuando p es verdadero la negación de p es falsa y cuando p es falso la negación de p es verdadera.Ejemplop= El 7 es un número primo ~p= no es cierto que 7 es un numero primoq= 2 es un número impar~p= 2 no es un numero par

La conjunción Se usa para unir las proposiciones y viene dada por el

símbolo “^” y p^q se lee “p y q” su tabla de la verdad viene dada de la siguiente manera.

p q p^q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Aquí observamos que la única manera de que el valor lógico de p y q sea 1 debe cumplirse que p sea verdad y q sea verdad y en el resto de los casos es falso, esto se debe a que cuando uno lee la conjunción la lee como p y q al estar la “y” ahí se entiende que las 2 proposiciones deben ser ciertas para que la conjunción sea verdad. Ej.:p= 3 es un numero par VL(p)= 0q= 2 es un numero primo VL(q)= 1r=4 es divisible entre 2 VL(r)= 1p^q se lee “3 es un numero par y 2 es un numero primo”. VL(p^q)=0r^q se lee “2 es un numero primo y 4 es divisible entre 2” VL(q^r)=1

Disyunción inclusiva.Se usa al igual que la conjunción para unir 2 o mas

proposiciones y su símbolo es “v” y pvq se lee como “pvq”

y su tabla de la verdad viene dada de la siguiente manera:

p q p^q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

En esta tabla de la verdad observamos que la única manera de que el valor logico de p y q sea 0 debe cumplirse que p sea falso y q sea falso y en el resto de los casos es verdadero, esto se debe a que cuando uno lee la disyuncion se lee como p o q al estar la “o” ahí se entiende que solo hace falta que una proposición sea cierta para que se cumpla. Ej.:p= 3 es un numero entero VL(p)= 1q= 4 es un numero primo VL(q)= 0r=-6 es un numero natural VL(r)= 0p v q se lee “3 es un numero entero 0 4 es un número primo”. VL(p^q)=1r v q se lee “-6 es un numero natural o 4 es un número primo” VL(q^r)=0

Disyunción exclusiva.Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la

proposición pvq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla. En otras palabras, la disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales.

VL(pv q) = 0 si VL (p) = VL ( q )

EjemploSi, p: 17 es un número primo.q: 17 es un número par.r: 17 es mayor que 2.Entonces1.p v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par VL(p v q) = 1, ya queVL(p) = 1 y VL(q) = 0.

p v r: ó 17 es un número primo ó 17 es mayor que 2 VL(p Ú r) = 0, ya que VL(p) = 1 y VL(r) = 1

El condicional Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y

consecuente q es la proposición p ® q, que se lee "si p, entonces q”.

Ejemplo

a. Observe las proposiciones condicionales siguientes:

1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).

2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).

3. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).

4. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Verdadera).

Condición Necesaria y Condición Suficiente

El condicional es una de las proposiciones más importantes en la matemática, ya que la mayoría de teoremas vienen dados en esa forma. En los teoremas, el antecedente es llamado hipótesis y el consecuente tesis. Un condicional puede ser expresado también con las llamadas condiciones necesarias y suficientes. El antecedente es la condición suficiente y el consecuente la condición necesaria.

Así el condicional A -> C puede ser leído de las siguientes maneras:

1. Si A entonces C

2. C es condición necesaria para A

3. Una condición necesaria para A es C

4. A es condición suficiente para C

5. Una condición suficiente para C es A

6. C si A

7. A sólo si C

8. A solamente si C

El bicondicional.

Sean p y q dos proposiciones. Se llama bicondicional de p y q a la

proposición p « q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.

O en otras palabras el VL (P « q ) = 1 si VL (p) = VL (q)

La tabla nos dice que p « q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa

cuando VL(p) ¹ VL(q)

p q p‹-›q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Formas ProposicionalesA las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar los conectivos lógicos a las variables proposicionales p, q, r, s, t, etc., se les llaman formas proposicionales, por ejemplo t® (q Ù ~ r) ~ [(p« s)Ù (r« q)] son formas proposicionales y podemos decir, para ser más preciso que las variables proposicionales también son formas proposicionales.

Tablas de Verdad de las formas proposicionales

Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan.

Es posible que no se conozca un valor de verdad específico para cada proposición; es este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que nos indique todas las diferentes combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse. Las posibilidades de combinar valores de verdad dependen del número de proposiciones dadas.

Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinaciones

Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinaciones

Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones

Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones

Tautologías y ContradiccionesTautologias: Es aquella proposición molecular que es verdadera (es decir, todos los

valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son 1) independientemente de los valores de sus variables.

Ejemplo: Probar que P Ú ~ P es una tautologíaP Ú ~ P

1 1 00 1 1

ContradicciónEs aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir cuando los valores

de verdad que aparecen en su tabla de verdad son todos 0) independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la forman. Por ejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguiente es una contradicción, p Ù ~ p, para chequearlo recurrimos al método de las tablas de verdad.

Ejemplo: Probar que p Ù ~ p es una contradicciónp Ù ~ p1 0 00 0 1

Leyes del Algebra de Proposiciones

Leyes Idempotente. p v p ≡pp v p ≡p

Leyes Asociativas(p v q) v r ≡ p v (q v r)(p v q) v r ≡ p v (q v r)

Leyes Conmutativasp v q ≡ q v pp ∧ q ≡ q ∧ p

Leyes DistributivasP v ( q ∧ r ) ≡ ( p v q ) ∧ (p v r)p v ( q v r ) ≡ ( p ∧ q ) v (p ∧ r)

Leyes de IdentidadP v F ≡ PP ∧ F ≡ FP v V ≡ VP ∧ V ≡ P

Leyes de ComplementaciónP v ~ P ≡ V (tercio excluido)P ∧~ P ≡ F (contradicción)~ ~ P ≡ P (doble negación)~ V ≡ F, ~ F ≡ V

Leyes De Morgan~ ( P v q ) ≡ ~ P ∧ ~ q~ ( P ∧ q )≡ ~ P v ~ q

Equivalencia e Implicación lógica

Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A Implica Lógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se escribe: AÞ B si el condicional A® B es una tautología

Proposiciones Equivalentes.

Sean A y B dos formas proporsicionales. Diremos que A es Lógicamente Equivalente a B, o simplemente que A es equivalente a B, y escribimos

A º B o A Û B,

Si y sólo si la forma bicondicional A Û B es una tautología.

RazonamientosUn razonamiento o una inferencia es la aseveración de que una proposición,

llamada conclusión es consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas premisas.Forma Proposicional de un RazonamientoUn razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C lo escribiremos en forma

proposicional como:P1P2P3P4..Pn----CDiremos que un razonamiento es válido o correcto si la conjunción de premisas implica

lógicamente la conclusión, en otro caso se dice que es no válido.Un razonamiento que no es válido es llamado falacia.Para saber si un razonamiento es válido utilizaremos una serie de pasos lógicos, tomando en cuenta

las premisas para llegar a la conclusión. Este procedimiento es llamado demostración.En general, llamaremos demostración al encadenamiento de proposiciones que nos permitan

obtener otra proposición llamada conclusión, a partir de ciertas proposiciones iníciales supuestas verdaderas. Las proposiciones iniciales las llamaremos premisas y constituyen las hipótesis de la demostración.

Demostraciones.

Métodos de DemostraciónDemostración DirectaEn la demostración directa debemos probar una implicación:P Þ q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una

secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas previamente.

Demostración IndirectaDentro de este método veremos dos formas de demostración:Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p® C nos

proporciona la Ley del contrarrecíproco: P ® C º ~ C ® ~ P.Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado el método

del contrarrecíproco, según el cual, para demostrar que pÞ C, se prueba que ~ C Þ ~ P.

Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la proposición p Þ q es tautológicamente equivalente a la proposición (p Ù ~ q) Þ (r Ù ~ r) siendo r una proposición cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.

Inferencia

Circuitos lógicos.Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función que el original. Veamos los siguientes interruptores en conexión:

Conexión en serie

>la cual se representa como p ∧ q

Conexión en paralelo la cual se representa como p v q

Estas representaciones nos servirán de base para la

correspondencia entre los circuitos y las proposiciones.