Luis Miguel Brito Terán

UFT-Barquisimeto

Una proposición es un juicio declarativo, que es verdadero o falso pero no

ambos. Las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas, como lo son:

p, q, r, s, t,…,etc.

Son ejemplos de proposiciones:

p: Mi nombre es Luis Miguel.

q: 3<5+2.

Una o varias proposiciones se pueden combinar para formar otras, mediante el

empleo de los conectivos, esto son operadores matemáticos como los siguientes:

Negación: ∼: 𝑁𝑜

~𝑝: Cambia el valor lógico de la proposición negada.

Conjunción: ∧: 𝑦

𝑝 ∧ 𝑞: Esta proposición es verdadera solo cuando ambas proposiciones p y q son

verdaderas.

Disyunción: ∨: 𝑜

𝑝 ∨ 𝑞: Esta proposición es verdadera cuando al menos una de las proposiciones p o q

son verdaderas.

Disyunción exclusiva: ∨: 𝑜 … 𝑜

𝑝 ∨ 𝑞: Esta proposición es verdadera cuando solo una de las proposiciones p o q es

verdaderas, pero no ambas.

Condicional: ⟶: 𝑠𝑖, … , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑝 ⟶ 𝑞: Esta proposición es verdadera para casi todos los valores lógicos de p y q

excepto cuando la proposición p (antecedente) es verdadera y el consecuente q es

falso.

BIcondicional: ⟷: 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠í

𝑝 ⟷ 𝑞: Esta proposición es verdadera cuando los valores lógicos de p y q son iguales

(ambos verdaderos o ambos falsos).

Con las proposiciones y los conectivos se pueden crear proposiciones más

complejas, llamadas proposiciones moleculares o compuestas. Aquellas proposiciones

que no tienen conectivos se les llaman atómicas o simples.

Para analizar la veracidad de las proposiciones compuestas se emplea lo dicho

anterior mente tomando en cuenta la veracidad de cada proposición simple y la forma

que interactúan con los conectivos.

Una proposición compuesta que es VERDADERA para todo valor lógico de las

proposiciones que la forman se les llama TAUTOLOGIA.

Una proposición compuesta que es FALSA para todo valor lógico de las

proposiciones que la forman se les llama CONTRADICCIÓN.

Una proposición compuesta que es VERADERA Y FALSA para todo valor lógico

de las proposiciones que la forman se les llama CONTINGENCIA.

Una proposición compuesta formada por un bicondicional como conectivo

principal, tal que la proposición es una tautología se le llana EQUIVALENCIA

LÓGICA(⇔ 𝑜 ≡).

Por otro lado, una proposición compuesta formada por un condicional como

conectivo principal, tal que la proposición es una tautología se le llana IMPLICACIÓN

LÓGICA (⇒).

Existen un grupo de proposiciones tautológicas, que se emplean para analizar

otras proposiciones estas proposiciones se les llama leyes del algebra proposicional.

LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

En el cálculo o análisis proposicional se utilizan ciertas leyes lógicas o

tautológicas que veremos a continuación.

INVOLUCIÓN (Doble negación)

~ (~ p) ≡ p

IDEMPOTENCIA

p Λ p ≡ p

p v p ≡ p

CONMUTATIVA

p Λ q ≡ q Λ p

p v q ≡ q v p

ASOCIATIVA

p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ r

p v (q v r) ≡ (p v q) v r

DISTRIBUTIVA

p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) v (p Λ r)

p v (q Λ r) ≡ (p v q) Λ (p v r)

DE DE-MORGAN

~ (p Λ q) ≡ ~ p v ~ q

~ (p v q) ≡ ~ p Λ ~ q

ABSORCIÓN

p Λ (p v q) ≡ p

p v (p Λ q) ≡ p

DEL CONDICIONAL

p → q ≡ ~ p v q

~ (p → q) ≡ p Λ ~ q

p → q ≡ ~ q → ~ p

DEL BICONDICIONAL

p ↔ q ≡ (p → q) Λ (q → p)

p ↔ q ≡ (p Λ q) v (~ p Λ ~ q)

p ↔ q ≡ ~ (p ∨ q)

Para los razonamientos se tienen La leyes de inferencia:

Pontificia Universidad Católica del Ecuador

“Sede de Ibarra”

Francisco Aguilar

Paralelo “B”

ESCUELA: Arquitectura

METODOS DE DEMOSTRACIÓN

La demostración es un razonamiento o serie de razonamiento que prueba la validez

de un nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros

conocimientos.

Cuando un conocimiento queda demostrado, entonces se le reconoce como válido y es

admitido dentro de la disciplina correspondiente.

La demostración es el enlace, entre los conocimientos recién adquiridos y el conjunto

de los conocimientos anteriores.

El enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los anteriores está constituidos

por una sucesión finita de proposiciones que o bien son postulados o bien son

conocimientos cuya validez se ha inferido de otras proposiciones, mediante

operaciones lógicas perfectamente coordinadas.

La demostración permite explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una

prueba rigurosamente racional.

Sabemos que todas las proposiciones de una teoría matemática se clasifican en dos

tipos: las aceptadas sin demostración que son las definiciones (donde no hay nada por

demostrar) y los o

(que se toman como proposiciones de partida) y las deducidas, llamadas (que son

proposiciones cuya validez ha sido probada).

No siempre tenemos evidencia directa de la validez de un teorema. Eso depende en

parte su grado de complejidad y de nuestra mayor o menor familiaridad con su

contenido.

Un teorema requiere demostración cuando no hay evidencia de su validez.

Estructura de la demostración

La demostración consta de tres partes:

a) El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposició (teorema) cuya

validez se trata de probar.

b) Los fundamentos empleados como base de la demostración.

c) El procedimiento usado para lograr que el conocimiento quede demostrado.

Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre los

fundamentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar como conclusión final a la

tesis que así se demuestra. Una tesis puede ser demostrada mediante distintos

procedimientos.

Tipos de demostración

Consideremos una demostración como un argumento que nos muestra que una

proposición condicional de la forma es lógicamente verdadera (es decir, verdadera en

todos los cosos posibles) donde es la o conjunción de las premisas y es la conclusión

del argumento.

Luego, si en el enunciado de un teorema se incluyen explícitamente las proposiciones

de partida, éste afirma que partiendo de cierta hipótesis se puede demostrar otra

proposición llamada.

Los procedimientos utilizados en la demostración están constituidos por distintas

formas de deducción o inferencia y se puede clasificar en varios tipos los cuales serán

estudiados

Métodos Deductivos de demostración.

Según el sistema aristotélico,el método deductivo es un proceso que parte de un

conocimiento general, y arriba a uno particular. La aplicación del método deductivo

nos lleva a un conocimiento con grado de certeza absoluta, y esta cimentado en

proposiciones llamadas SILOGISMOS.

He aquí un ejemplo:

“Todos las venezolanas son bellas” , (Este es el conocimiento general)

“Marta es venezolana”

luego:

“Marta es bella”

Se puede observar que partiendo de dos premisas, una de las cuales es una

hipótesis general se llega a una conclusión particular. También es de hacer notar que

en este ejemplo las premisas pueden ser verdaderas o pueden ser falsas, y por

consiguiente la conclusión puede ser igualmente verdadera o falsa.

En la lógica formal y sobre todo en el universo matemático, el proceso

deductivo tiene un significado un poco diferente, pues está basado en AXIOMAS, o

proposiciones que son verdaderas por definición.

Por ejemplo, un axioma es:

“EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE”, otro axioma es

“DOS COSAS IGUALES A UNA TERCERA SON IGUALES ENTRE SI”.

El primer axioma define el concepto de MAYOR, y el segundo el concepto de

IGUAL.

El método deductivo nos permite partir de un conjunto de hipótesis y llegara

una conclusión, pudiendo ser esta inclusive que el conjunto de hipótesis sea inválido.

Generalmente, en matemáticas, la deducción es un proceso concatenado del

tipo "si A entonces B, si B entonces C, si C entonces Al conjunto de HIPOTESIS +

DEMOSTRACION + CONCLUSIÖN se denomina TEOREMA.

La práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo del

pensamiento lógico matemático es muy importante. Constituye una herramienta

fundamental para el trabajo en la matemática y otras ciencias..

Demostración por el método directo.

Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo:

P⇒ Q

Que podemos analizar como “si se cumple P entonces se cumple

Q”.

Esto lo hacemos de forma natural sin complicarnos en hacer análisis más intensivos o

más extensivos pues lo hacemos de una forma innata.

Si decimos: “El cielo esta encapotado, va a llover” estamos realizando una asociación

de causa y efecto. En la cual “el cielo esta encapotado” es la causa y el efecto lógico es

que, “va a llover”.

Desde el punto de vista de la lógica esta relación es irrevocable.

Así mismo en una relación matemática se puede verificar esta sencilla relación en la

cual si se cumple la premisa P entonces se puede decir que se cumplira la

consecuencia Q.

A este proceso formal se le denomina “demostración mediante el método directo” es

innecesario decir que si no se cumple o verifica P entoces su consecuencia tampoco se

verificará.

¬P ⇒ ¬Q

Supóngase que P⇒ Q es una tautología, en donde P y Q pueden ser proposiciones

compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositivas, se

dice que q se desprende lógicamente de p.

Supóngase una implicación de la forma.

(P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn)⇒Q

Es una tautología.

Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de

cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente

de P1,P2,......,Pn. Se escribe.

El camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el

método directo.

Significa que sí se sabe que P1 es verdadera, P2 es verdadera,...... y Pn también es

verdadera, entonces se sabe que Q es verdadera.

La mayoría de los teoremas matemáticos cumplen con esta estructura básica:

(P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn)⇒Q

Donde las Pi condiciones son llamadas hipótesis o premisas, y Q es la conclusión.

“Demostrar un teorema” es demostrar que la condicional es una tautología.

Ojo, no se pide demostrar que la conclusión es verdadera, lo que se quiere es

demostrar que Q es verdadera siempre y cuando todas las Pi condiciones son

verdaderas.

En conclusión podemos decir que:

Cualquier demostración, sea de enunciados o matemática debe:

a. Comenzar con las hipótesis.

b. Debe seguir con las tautologías y reglas de inferencias necesarias para.

c. Llegar a la conclusión.

A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las

tautologías como de las reglas de inferencia

Sean

p: Trabajo

q: Ahorro.

r: Compraré una casa.

s: Podré guardar el automóvil en mi casa.

Analizar el siguiente argumento:

"Si trabajo y ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces

podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche

en mi casa, entonces no ahorro".

El enunciado anterior se puede representar como:

p∧ q⇒ r;

y

r⇒ s; entonces

s'⇒ q'

Equivale también a probar el siguiente teorema:

[(p∧ q)⇒ r]∧ [r⇒ s]; [s'⇒ q']

Como se trata de probar un teorema de la forma general:

p1∧ p2∧...... ∧ pn entonces q

Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos.

A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en

tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

1.- (p∧ q)⇒ r Hipótesis

2.- r⇒ s Hipótesis

3.- p⇒ q Silogismo Hipotético

4.- q⇒r Silogismo Hipotético

5.- q⇒ s

6.- ¬s ⇒ ¬q Conclusión