UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA DE SANTA ELENA

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

TÍTULO DEL PROYECTO

“Ecuaciones Trigonométricas’’

AUTORES: FIERRO HERRERA FERNANDO FRANCISCO MONGE LOOR JESÚS ANDRÉS SABANDO MORÁN LORENA PAOLA

CARRERA: INGENIERÍA EN PETRÓLEO

PET 20

DOCENTE: Ing. Carlos Malavé Carrera.

SANTA ELENA Agosto 2015.

2

ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL. ...................................................................................................... ..2

INTRODUCCION………………………………………………………………………………………………….……...3

OBJETIVOS……………………………………………………………………………......................................3

ESQUEMA DE CONTENIDOS……………………………………………………………………………………….4

CAPÍTULO I ................................................................................................................. 5

TRIGONOMETRIA……………………………………………………………………………………………………….5

Ramas de la Trigonometria: ..................................................................................... 6

CAPÍTULO II ................................................................................................................ 7

RADIANES Y GRADOS SEXAGESIMALES .............................................................. 7

Radian…………………………………………………………………………………………………………………….7

Grados Sexagesimales……………………………………………………………………………………………..7

Conversión de radianes a grados sexagesimales y viceversa……………………………………8-9

CAPTULO III……………………………………………………………………………………………………10

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES…………………………..……10-11

CAPITULO IV……………………………………………………………………………………………………12

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS……………………………………………………………………12

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Trigonométricas…………………………..…13-14-15

BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………………………16

ANEXOS………………………………………………………………………………………………………….17

3

INTRODUCCIÓN

Las matemáticas mejoran el pensamiento crítico y las habilidades de resolución de

problemas. Proporciona una perspectiva de los acontecimientos de la vida real. La

trigonometría es un área de las matemáticas que prueba la propiedad de los

triángulos. Se utiliza en los sistemas de satélites y la astronomía, aviación,

ingeniería, topografía, la geografía y muchos otros campos. Precisamente, la

trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de triángulos,

círculos, ondas y oscilaciones.

OBJETIVOS

Conocer los ángulos notables y su transformación

Usar de manera correcta las identidades trigonométricas

Aplicar los conocimientos para la correcta resolución de las de diferentes

ejercicios de Ecuaciones trigonométricas propuestas

4

ESQUEMA DE CONTENIDOS:

5

CAPITULO I

TRIGONOMETRIA.

Decimos que trigonometría es literalmente el estudio de las relaciones existentes

entre todas las medidas (de lados y ángulos) de un triángulo. Cabe señalar, no

obstante que el enfoque meramente triangular de trigonometría es antiguo, ya que

actualmente se considera o prefiere un enfoque circular a la hora de enseñar este

estudio en nuestras escuelas, por ello habrás escuchado hablar del famoso círculo

trigonométrico.

Originalmente se utilizaba la trigonometría para definir las relaciones entre los

elementos básicos de un triángulo, esto es los seis elementos principales: los 3

lados y 3 ángulos. No cualesquiera tres segmentos pueden servir como los lados

de un triángulo (han de cumplir una cierta relación para que el triángulo “cierre”).

Por otra parte, no cualquieras tres ángulos pueden ser los ángulos de un

triángulo: los tres ángulos de un triángulo suman un ángulo llano, es decir 180º.

6

RAMAS DE LA TRIGONOMETRÍA

El estudio de la trigonometría se divide en dos enfoques claramente diferentes:

El estudio de las figuras en el plano, esto es las que comúnmente

llamamos bidimensionales (dos dimensiones = plano). Esta es la rama

llamada: trigonometría plana.

El estudio de las figuras que forman parte de la superficie de una esférica. Esta es

la rama llamada: trigonometría esférica.

La trigonometría Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las

técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para

medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre

puntos geográficos, y en sistemas global de navegación por satélites.

7

CAPITULO II

RADIANES Y GRADOS SEXAGESIMALES.

Radian

Un radian es la unidad del Sistema Internacional de medida del ángulo plano y se

define como el ángulo central cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual al

radio. El ángulo θ en radianes equivale a decir cuántas veces está contenido el

radio R en la porción de arco d-s correspondiente: d-s=R·dθ. La magnitud de un

ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia

que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es

independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes

iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es

pequeña, normal o familiar.

Grado Sexagesimal

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos

sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados

sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal,

están definidos del siguiente modo:

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).

1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).

1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales)

8

Conversión de Radian a Sexagesimal y Viceversa.

Conversión de Radianes a Grados Sexagesimales:

Veamos un ejemplo:

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 5𝜋

22 𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠

1. Lo describimos de la siguiente manera:

5𝜋

22×

180

𝜋= 40° 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠𝑆𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠

Lo que se hizo en éste primer paso, fue convertir los radianes a grados,

multiplicando los (5 π x 180 = 2827.4334) recordemos que se multiplica la función

π en la calculadora o ya que sabemos que es equivalente a 3.1415927. Luego

multiplicamos los (22 x π = 69.115038).

Ahora dividimos los resultados: 2827.4334 ÷ 69.115038, teniendo como respuesta

40.909091.

9

Conversión de Grados Sexagesimales a Radianes

38.2544 ° a Radianes.

38.25 ×𝜋

180°= 0,6676 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

La respuesta es 0.6676 Radianes.

EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

Despejamos x, también simplificamos.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 0.6632 radianes

EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

Despejamos x.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 137.5099o

10

CAPITULO III

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES.

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que

contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo

en los que están definidas las funciones y las operaciones aritméticas

involucradas.

Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo se aplica a las demás

funciones trigonométricas.

11

1 Relación seno coseno 2 Relación secante tangente

𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 1 𝑠𝑒𝑐2𝛼 = 1 + 𝑡𝑔2 ∝

3 Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α sec α = 1

𝑐𝑜𝑠∝

cosec α = 1

𝑠𝑒𝑛∝ cotg α =

1

𝑡𝑔 ∝ =

cos 𝛼

𝑠𝑒𝑛 𝛼

IDENTIDAD ANGULO MITAD

𝒔𝒆𝒏𝝓

𝟐= ±√

𝟏−𝒄𝒐𝒔𝝓

𝟐 𝒕𝒂𝒏

𝝓

𝟐= ±√

𝟏+𝒄𝒐𝒔𝝓

𝟏+𝒄𝒐𝒔𝝓

𝒄𝒐𝒔𝝓

𝟐= ±√

𝟏+𝒄𝒐𝒔𝝓

𝟐 𝒕𝒂𝒏

𝝓

𝟐=

𝟏−𝒄𝒐𝒔𝝓

𝒔𝒆𝒏𝝓

𝒔𝒆𝒏𝝓

𝟐= ±√

𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝝓

𝟐 𝒕𝒂𝒏

𝝓

𝟐=

𝒔𝒆𝒏𝝓

𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝝓

IDENTIT IDAD ANGULO DOBLE

𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜶) = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜶

𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜶) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶

𝒕𝒂𝒏(𝟐𝜶) =𝟐𝒕𝒈𝜶

𝟏 − 𝒕𝒈𝟐𝜶

12

CAPITULO IV

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más

funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el

ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un

método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin

embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas

consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas,

todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable

pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos

de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de

ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte

trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un

ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

Para resolver las ecuaciones trigonométricas no existen procedimientos

específicos. A veces tendremos que:

a) Factorizar utilizando adecuadamente las fórmulas que conocemos. Veamos

algunos ejemplos:

b) Intentar que en la ecuación trigonométrica, tan solo aparezca una sola razón

trigonométrica del mismo ·ángulo

c) Aislar una razón trigonométrica y elevar al cuadrado. Cuando utilicemos este

procedimiento; es conveniente comprobar las soluciones (alguna puede que no lo

sea).

d) Combinando los procedimientos explicados con anterioridad.

13

1. EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES TRIGONOMETRICAS.

Ejercicio# 1

𝟐𝑺𝒆𝒏𝑿 − 𝟏 = 𝟎

𝟐𝑺𝒆𝒏𝑿 = 𝟏

𝑺𝒆𝒏𝑿 =𝟏

𝟐

𝑿 = 𝟑𝟎°

𝟑𝟎° ∗𝝅

𝟏𝟖𝟎°=

𝝅

𝟑

Ejercicio# 2 HALLAR LASUMA DE LAS SOLUCIONES DE LA SIGUIENTE ECUACIÓN TRIGONOMETRICA:

A) 𝝅 B)𝟐𝝅 C)𝟑𝝅 D)𝟒𝝅 E)𝝅

𝟐

𝒔𝒆𝒏𝟒 ∝ −𝒄𝒐𝒔𝟒 ∝=𝟏

𝟐

(𝒔𝒆𝒏𝟐 ∝ +𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝)(𝒔𝒆𝒏𝟐 ∝ +𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝) =𝟏

𝟐

(𝟏)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝ +𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝) =𝟏

𝟐

14

𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝=𝟏

𝟐

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝=𝟏

𝟐− 𝟏

𝟐𝑪𝑶𝑺𝟐 ∝=−𝟏

𝟐

𝑪𝑶𝑺𝟐 ∝=−𝟏

−𝟒

√𝑪𝑶𝑺𝟐 ∝= √𝟏

𝟒

𝑪𝑶𝑺 ∝= ±𝟏

𝟐 + 𝟔𝟎°, 𝟑𝟎𝟎° − 𝟐𝟒𝟎°, 𝟏𝟐𝟎°

TRANSFORMANDO LOS GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES

Y PROCEDIENDO A SUMAR LAS SOLUCIONES:

𝝅

𝟑+

𝟐𝝅

𝟑+

𝟒𝝅

𝟑+

𝟓𝝅

𝟑=

𝟏𝟐𝝅

𝟑= 𝟒𝝅 SOLUCIÓN

Ejercicio #3 HALLAR LASUMA DE LAS SOLUCIONES DE LA SIGUIENTE ECUACIÓN TRIGONOMETRICA:

15

A) 𝝅 B)𝟐𝝅 C)𝟑𝝅

𝟐 D)𝟕

𝝅

𝟔 E)𝟑𝝅

𝟐𝑪𝒔𝒄𝝓 + 𝟒 = 𝟎

Pasamos el 4 a otro lado de la ecuación a restar y el 2 que está

mult ipl icando a div idir:

𝑪𝒔𝒄𝝓 = −𝟒

𝟐

𝑪𝒔𝒄𝝓 = −𝟐

𝑪𝒔𝒄𝝓 =𝟏

𝒔𝒆𝒏𝝓

𝟏

𝒔𝒆𝒏𝝓= −𝟐

𝒔𝒆𝒏𝝓 = −𝟏

𝟐 𝟐𝟏𝟎°, 𝟑𝟑𝟎°

TRANSFORMANDO LOS GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES

Y PROCEDIENDO A SUMAR LAS SOLUCIONES:

𝟕𝝅

𝟔+

𝟏𝟏𝝅

𝟔=

𝟏𝟖𝝅

𝟔= 𝟑𝝅

16

Bibliografía

La metria de los angulos. (2012). Obtenido de http://lametriadelostrigonos.blogspot.com/2012/02/concepto-de-trigonometria.html

MatematicasXV. (1 de octubre de 2009). Obtenido de http://sureyma.blogspot.com/2009/10/33-clasificacion-de-la-matrices.html

Parra, S. (2007). WSL WeblogsSL . Obtenido de Weblogs SL: http://www.xatakaciencia.com/matematicas/definicion-y-algunos-tipos-de-matrices

Vitutor, SLU. (2010). Vitutor. Obtenido de Vitutor: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/las_matrices.html

Ehowenespanol. (2013). Obtenido de: http://www.ehowenespanol.com/cuales-son-aplicaciones-vida-real-trigonometria-

lista_152637/ Aulafacil. (2015). Obtenido de: http://www.aulafacil.com/cursos/l10044/ciencia/fisica/fisica-general-i-notaciones-

cientificas-funciones-trigonometricas/conversion-de-radianes-a-grados-y-grados-a-radianes

17

ANEXOS

Links Ecuaciones Trigonométricas: YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=0gt2iTmQ7fI