1. En el sistema de control que se muestra en la figura 2, la planta tiene como respuesta temporal a un escalón unitario la siguiente (figura 1):

Figura 1. Respuesta del sistema a un escalón unitario

Figura 2. Sistema de Control

Tiempo de respuesta del sistema de 20 s.

Primero determinamos un modelo aproximado de la planta de la forma:

Donde K es la ganancia en regimen estacionario, T el polo de primer orden del sistema y Td el retardo.

Para el calculo de esas constantes procedemos a calcular para que tiempo ocurre el 63% y el 28% del valor final:

63% Vf = 0.63*10 = 6.3 y ocurre para un t2 = 10 seg 28% Vf = 0.28*10 = 2.8 y ocurre para un t1= 5 seg

Donde t1 y t2 son valores aproximados

Por lo tanto,

T = 3/2 * (t2 - t1) = 7.5 seg

K es la ganancia en regimen estacionario:

Lim S 1 K e-TdS

S0 * ---- * ---------------- = 10

S S (TS + 1)

Por lo tanto, K = 10

El retraso es :

Td = t2 – T = 2.5 seg

Por lo cual obtenemos el modelo aproximado de la planta como:

G(s) = 10 e-2.5S

----------------

7.5S +1

Con estos valores proseguimos a obtener los PID pedidos:

1. Zieguer y Nichols:

El PID deseado es serie, tal que:

Calculando las constantes tenemos que:

TN = Td / T = 0.3333

Kc = 1.2/KTN = 0.36

Ti = 2Td = 5

Td = 0.5Td = 1.25

Por lo tanto el PID pedido es:

PID = 0.36 * ( 1 + 1/ 5S) * (1.25S +1) ------------------------

(0.125S+1)

Por lo tanto, la planta con el PID será:

P(s) = G(s) * PID = 0.36 * (1 + 1/ 5S) * (1.25S +1) * e-2.5S

---------------------------------------------------

(0.125S+1) * (7.5S + 1)2. Lugar de las raices:

El PID deseado es de la forma:

PID = Kc * (t1S + 1) * (t2S + 1) -----------------------------------------------

S * (Tf + 1)

Donde t1 = T y t2 = Td/2

El modelo de la planta es diferente al anterior ya que aproximan: e-TdS = 1 – TdS

G(s) = -K * ((Td/2)S – 1) ---------------------------------------

(TS+1) * ((Td/2)S + 1)

Se pide tss = 20s, esto quiere decir que el polo deseado debe ser:

a = 4 / tss = 0.2

Para determinar los valores de Tf y Kc tenemos que:

2 Tf = -------------------------------------- = 2.2222

a * ( 4 + a * Td)

a2 * Tf Kc = ----------------- = 0.0089

K

Con estos valores tenemos que el PID es:

0.0089 * (7.5S + 1) * (1.25S + 1)PID = -----------------------------------------------------------

S * (2.222S+1)

Por lo tanto la planta con el PID es:

-0.089 * (1.25S – 1)P(s) = G(s) * PID = -------------------------

S * (2.222S+1)

3. IMC – PI:

El PI deseado viene dado por:

Calculando las constantes tenemos que:

TN = 0.3333

Kc = [1.279(TN)-0.945]/K = 0.3612

Ti = [T(TN)-0.586]/0.535 = 26.6886

Con estos valores tenemos que el PID es:

0.3612S + 0.0135PI = -------------------------------

S

Por lo tanto, la planta con el PID es:

0.3612S + 0.0135 e-2.5S

P(s) = G(s) * PID = ----------------------------------------------

S * (7.5S + 1)4. IMC – PI:

Este metodo consiste en determiner el PID a traves de la function de transferencia a lazo cerrado. En este metodo asumimos un T(s) cuyas caracteristicas son las deseadas por el diseñador. Por lo tanto:

e-2.5S

T(s) = ---------------------

TmS+1

Donde:

4 * Tm = tss = 20s Tm = 5

El PID deseado es de la forma:

TS + 1 7.5S + 1

PID = ------------------------------------- = -----------------------

K * (Tm + Td) * S 75 * S

Por lo tanto, la planta con el PID es:

e-2.5S

P(s) = G(s) * PID = --------- 7.5S

Comparando los PID estudiados tenemos que:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5

1

1.5

2

PID LGR

PID ZIEGLER-NICHOLS

PI ITSE

PI IMC

De la grafica tenemos que el PID que mejor responde es el IMC que trabaja sin oscilaciones y con un tss deseado. Para el ITSE, trabaja con pocas oscilaciones en un intervalo corto de tiempo pero tarda en llegar al valor deseado.

El PID de Z-N tiene sobrepicos muy bruscos, aunque el tiempo de respuesta es muy cercano al deseado. Para el PID del L-R es una respuesta suave aunque el tiempo de respuesta no se ajusta al deseado.

De la grafica se observa la influencia del retardo en los PIDs ya que ninguno responde a un tiempo de t= 0 seg

Por lo tanto, la planta responde mejor a un controlador definido a lazo cerrado con un funcion de transferencia definida por el diseñador.