¿Razonamiento matemático?

Hace mucho tiempo un joven solicito la mano de una de las tres hijas de un comerciante, a lo que

éste le respondió:

Obtendrás la mano de mi hija, si logras decirme sus edades. Para ello te informo que la suma de

las edades de mis hijas es 17.

Se fue el joven a su casa y al otro día regresó con el comerciante alegando que no podía saber

la respuesta. El viejo comerciante le dijo:

El producto de las edades de mis hijas es 144.

Nuevamente el joven regreso con el comerciante informándole que no podía saber cuáles eran

las edades de sus hijas. El comerciante le dijo:

La menor tiene los ojos azules.

Al otro día regresó el joven con la respuesta y obtuvo el permiso para casarse con la hija del

comerciante. ¿Podría usted calcular cuáles eran las edades de las tres hijas?

SOLUCIÓN

**Tenemos 2 ecuaciones iniciales:

1) X + Y + Z = 17

2)X*Y*Z = 144

**La otra ecuación la obtenemos cuando nos dice que la menor tiene los ojos azules; entonces

supongamos que "X" es la edad de la hija menor, lo que significa que:

X < Y y X < Z ; Si sumamos obtenemos 2X < Y + Z ; y despejamos X

** Ahora tendremos las 3 ecuaciones:

1) X + Y + Z = 17

2)X*Y*Z = 144

3) X = (Y + Z)/2

**Ahora incluimos la ecuación 3) en 2) y 1) , quedando lo siguiente:

1) (Y + Z)/2 + Y + Z = 17 → (Y + Z +2Y + 2Z)/2 = 17 → 4) 3Y + 3Z = 34

2) (Y + Z)/2*Y*Z = 144 → (Y²Z + YZ²)/2 = 144 → 5) Y²Z + YZ² = 288

**Despejamos "Y" de la ecuación 4) y lo reemplazamos en la ecuación 5):

4) 3Y + 3Z = 34 → Y = (34 - 3Z)/3 , ahora reemplazo Y = (34 - 3Z)/3 en ecuación 5):

5) [ (34 - 3Z)/3]² * Z + [(34 - 3Z)/3]* Z² = 288

→ [(1156 - 204Z + 9Z²)/9]* Z + [(34Z² - 3Z³)/3] = 288

→ [(1156Z - 204Z² + 9Z³)/9] + [(34Z² - 3Z³)/3] = 288 (amplificamos por 3 la segunda fracción)

→ [(1156Z - 204Z² + 9Z³)/9] + [(102Z² - 9Z³)/9] = 288 (ahora sumamos fracciones de igual

denominador)

→ [1156Z - 204Z² + 9Z³ + 102Z² - 9Z³]/9 = 288 (el 9 pasa multiplicando a la derecha)

→ 1156Z - 204Z² + 9Z³ + 102Z² - 9Z³ =2592 (reducimos términos semejantes)

→ 1156Z - 204Z² = 2592

→ 204Z² - 1156Z + 2592 = 0 (TENEMOS QUE RESOLVER ESTA ECUACIONE DE 2° GRADO,

CON LA FORMULA)

√

**Donde a=204 , b=-1156 y c=2592; reemplazas los valores y tendrás los 2

resultados.

→ OBTENEMOS QUE Z = 8 o Z = 3

***1)Si Z = 8 → Y = (34 - 3Z)/3 =(34 - 24)/3= 3 → X = (Y + Z)/2 = (3 + 8)/2 = 6

***2)Si Z = 3 → Y = (34 - 3Z)/3 =(34 - 9)/3= 8 → X = (Y + Z)/2 = (8 + 3)/2 = 6

**SE TIENE QUE CUMPLIR QUE X<Y o X<Z , POR LO TANRO LA OPCIÓN 1) CUMPLE QUE

X<Z Y LA OPCION 2) CUMPLE QUE X<Y. cualquiera de las 2 sirve.

Francisco Gaete Garrido. Estudiante de Ingeniería de Ejecución Industrial. Universidad de Santiago de Chile.

Francisco.gaeteg@usach.cl