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En principio, luego de haber leído el problema, me fui a googlear para saber o profundizar acerca del

contenido en cuestión: Expansión Decimal. Ello es debido a que ya hace muchos años que he egresado

de profesorado y este tipo de contenido no la he utilizado en mis clases.

Marco teórico:

Del sitio obtuve: http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-

expresionesalgebraicas/T1-1-numeros-reales-julioetall/node6.html

Expansión decimal de un número racional

Sea y .

Si para un número representado como se realiza la división de por , se obtiene otra representación para dicho número la cual recibe el nombre de expansión decimal.

Una vez en claro la consigna, empiezo a generar estrategias para obtener la anticipación de la expansión

decimal.

Aclaración: Para demostrar fehacientemente estas propiedades debo utilizar el Principio de Inducción

Completa (PIC), ya que estamos trabajando con el conjunto de los Naturales. Por ello, son solo hipótesis.

Estrategia 1: Aplicación de Análisis Matemático

Llego a que: Lim (1/2n)= 0

n-> ∞

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Lim (1/5m)=0

m-> ∞

Conclusión 1: Observo que solo llego a ver que a medida de los valores de m y n aumentan la expansión

decimal tiende a cero.

Estrategia 2: aplicación de propiedades de producto, cociente y potencia

1/(2n.5m)= 1/2n.1/5m

1/2n=

1/5m=

Conclusión 2: No llego a observar ninguna propiedad respecto a la expansión decimal.

Estrategia 3: Análisis por carácter de par o impar

1/(2n)=1/(2k) => Siempre termina en múltiplos de 2, es decir: 2m-n.10-m

1/(5m)= 1/5q ᴠ 1/(5m)= 1/10p => Los múltiplos de 5 terminan en 5 o 0.

Entonces los posibles resultados son:

Múltiplos de 5: 5m=5.q (cuando termina en 5) o 5m= 10.p (cuando termina en 0)

Múltiplos de 2: 2n= 2.k.

Múltiplos de 10: 10n= (5.2)n=5n.2n => Es múltiplo de 2 y de 5.

a) 1/(2n). 1/(5m) = 1/(2k). 1/5q = 1/(10.k.q) = 1/(10.r) = 1/(2.5.r)

b) 1/(2n). 1/(5m) = 1/(2k). 1/10p = 1/(20.k.p)= 1/(10.2.k.p) = 1/(2.5.s)

k.q=r , 2.k.p=s

c) 1/(2n)* 1/(5m) = 1/(2k)* 1/5q = 1/10.1/(k.q)

d) 1/(2n)* 1/(5m) = 1/(2k)* 1/10p = 1/(20.k.p)= 1/(10.2.k.p) = 1/10.1/2.1/(k.p)

Conclusión 3: La expansión decimal será:

1/(2n)=1/(2k) => La expresión decimal siempre termina en múltiplos de 2, es decir: 2m-n.10-m

No llego a comprender las propiedades de expansión decimal.

Estrategia 4: Análisis de valores en tabla

Aclaración: Para demostrar fehacientemente estas propiedades debo utilizar el Principio de Inducción

Completa (PIC), ya que estamos trabajando con el conjunto de los Naturales. Por ello, son solo hipótesis.

Tabla 1: donde m=n

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n= 1/2n= 5n/10n m= 1/5m= 2m/10m 1/2n.1/5m m=n

1 1/2=0,5 5/10 1 1/5=0,2 21/10

1 0,1 1/10

1

2 1/4=0,25 52/10

2 2 1/5

2=0,04 2

2/10

2 0,01 1/10

2

3 1/8=0,125 53/10

3 3 1/53= 0,008 2

3/10

3 0,001 1/10

3

4 1/16=0,0625 54/10

4 4 1/54=0,0016 2

4/10

4 0,0001 1/10

4

5 1/32=0,03125 55/10

5 5 1/55= 0,032 2

5/10

5 0,00001 1/10

5

6 1/64=0,015625 52/10

2 6 1/56=0,000064 2

6/10

6 0,000001 1/10

6

7 1/128=0,0078125 52/10

2 7 1/57= 0,0000128 2

7/10

7 0,0000001 1/10

7

8 1/256=0,00390625 52/10

2 8 1/58=0,00000256 2

8/10

8 0,00000001 1/10

8

9 1/512=0,001953125 52/10

2 9 1/59= 0,000000512 2

9/10

9 0,000000001 1/10

9

10 1/1024=0,0009765625 52/10

2 10 1/510

=0,0000001024 210

/1010

0,0000000001 1/1010

Conclusión 4-a: m=n

El cociente 1/2n, siempre termina en potencia de cinco, o bien en 1/2n = 5n/10n.

El cociente 1/5m, siempre termina en potencia de base 2, más exactamente 1/5m =2m/10m.

El producto 1/2n.1/5m, si m=n, siempre termina en la unidad, es decir 1/10n.

El producto 1/2n.1/5m= (1/2n).(2m/10m)= 2m-n/10m.

El producto 1/2n.1/5m= 5n/10n. 2m/10m= 5n.2m/10n+m = 2m.(5n/10n+m)= 2m.(5n/5n+m.1/2n+m) = 2m.( 5-m.

Tabla 2: donde |m-n|=1

n= P/I 1/2n= 5

n/10

n m= P/I 1/5

m= 2

m/10

m 1/2

n.1/5

m = m≠n

1/(2n.5

m)

= 1/2

n.1/5

m

1 Impar 1/2=2-1

5/10 2 Par 1/52=2

2.10-

2 2

2/10

2 2.10

-2=2/10

2 n<m 2.10

-m

2 Par 1/4=2-2

52/10

2 1 Impar 1/5=5

1.10

-1 2

1/10

1 5.10

-2=5/10

2 n>m 5.10

-n

3 Impar 1/8=2-3

53/10

3 4 Par 1/5

4=2

4.10

-4 2

4/10

4 2.10

-4= 2/10

4 n<m 2.10

-m

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4 Par 1/16=2-4

54/10

4 3 Impar 1/5

3= 2

3.10

-3 2

3/10

3 5.10

-4=5/10

4 n>m 5.10

-n

5 Impar 1/32=2-5

55/10

5 6 Par 1/5

6= 2

6.10

-6 2

6/10

6 2.10

-6=2/10

6 n<m 2.10

-m

6 Par 1/64=2-6

52/10

2 5 Impar 1/5

5= 2

5.10

-5 2

5/10

5 5.10

-6=5/10

6 n>m 5.10

-n

7 Impar 1/128=2-7

52/10

2 8 Par 1/5

8=2

8.10

-8 2

8/10

8 2.10

-8=2/10

8 n<m 2.10

-m

8 Par 1/256=2-8

52/10

2 7 Impar 1/5

7= 2

7.10

-7 2

7/10

7 5.10

-7=5/10

7 n>m 5.10

-n

9 Impar 1/512=2-9

52/10

2 10 Par 1/5

10=2

10.10

-10 2

10/10

10 2.10

-10=2/10

10 n<m 2.10

-m

10 Par 1/1024=2-10

52/10

2 9 Impar 1/5

9= 2

9.10

-9 2

9/10

9 5.10

-10=5/10

10 n>m 5.10

-n

Conclusión 4-b: |m-n|=1

Si n>m, entonces 1/2n.1/5

m= 5.10

-n

Si m>n, entonces 1/2n.1/5

m= 2.10

-m

Tabla 3: donde m≠n ˄ n>m

n= P/I 1/2n= 5

n/10

n m= P/I 1/5

m= 2

m/10

m 1/2

n.1/5

m = m≠n

1/(2n.5

m) =

1/2n.1/5

m =

5 Impar (1/2)5 55.10-5 2 Par 1/52 22.10-2 5

3.10

-5 n>m 5n-m.10-n

4 Par (1/2)4 54.10-4 1 Impar 1/5 21.10-1 5

3.10

-4 n>m 5n-m.10-n

9 Impar (1/2)9 59.10-9 4 Par 1/54 24.10-4 5

5.10

-9 n>m 5n-m.10-n

10 Par (1/2)10 510.10-10 3 Impar 1/53 23.10-3 5

7.10

-8 n>m 5n-m.10-n

15 Impar (1/2)15 515.10-15 6 Par 1/56 26.10-6 5

9.10

n>m 5n-m.10-n

14 Par (1/2)14 514.10-14 5 Impar 1/55 25.10-5 5

9.10

n>m 5n-m.10-n

17 Impar (1/2)17 517.10-17 8 Par 1/58 28.10-8 5

9.10

n>m 5n-m.10-n

14 Par (1/2)14 514.10-14 7 Impar 1/57 27.10-7 5

7.10

n>m 5n-m.10-n

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20 Par (1/2)20 520.10-20 9 Impar 1/59 29.10-9 5

11.10

n>m 5n-m.10-n

Conclusión 4-c: Cuando n>m => 1/(2n.5m) = 1/2n.1/5m = 5n-m.10-n

Tabla 3: donde m≠n ˄ m>n

n= P/I 1/2n= 5

n/10

n m= P/I 1/5

m= 2

m/10

m 1/2

n.1/5

m = m≠n

1/(2n.5

m) =

1/2n.1/5

m =

5 Impar (1/2)5 55.10-5 6 Par 1/56 26.10-6 2

1.10

-6 m>n 2m-n.10-m

4 Par (1/2)4 54.10-4 5 Impar 1/55 25.10-5 2

1.10

-5 m>n 2m-n.10-m

9 Impar (1/2)9 59.10-9 10 Par 1/510 210.10-10 2

1.10

-10 m>n 2m-n.10-m

10 Par (1/2)10 510.10-10 11 Impar 1/511 211.10-11 2

1.10

-11 m>n 2m-n.10-m

15 Impar (1/2)15 515.10-15 18 Par 1/518 218.10-18 2

3.10

-18 m>n 2m-n.10-m

14 Par (1/2)14 514.10-14 19 Impar 1/519 219.10-19 2

5.10

-19 m>n 2m-n.10-m

17 Impar (1/2)17 517.10-17 22 Par 1/522 222.10-22 2

5.10

-22 m>n 2m-n.10-m

14 Par (1/2)14 514.10-14 21 Impar 1/521 221.10-21 2

7.10

-21 m>n 2m-n.10-m

20 Par (1/2)20 520.10-20 25 Impar 1/525 225.10-25 2

5.10

-25 m>n 2m-n.10-m

Conclusión 4-d: Cuando m>n => 1/(2n.5m) = 1/2n.1/5m = 2m-n.10-m

Aclaración: Para demostrar fehacientemente estas propiedades debo utilizar el Principio de Inducción

Completa (PIC), ya que estamos trabajando con el conjunto de los Naturales. Por ello, son solo hipótesis