Reflexiones Matemáticas Prof. Joel Amauris Gelabert S.

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Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a – 𝟏.

Demostración:

Puesto que las rectas pasan por el origen (0, 0), donde la abscisa así como la ordenada son cero, nos queda que: y = mx+0 o lo que es lo mismo y = mx.

Sustituyendo el valor de x en 𝑚1 y en 𝑚2 tenemos que:

Para 𝒎𝟏 Para 𝒎𝟐

y = (𝑚1)(1)=𝑚1 y = (𝑚2)(1)=𝑚1

y = 𝑚1 y = 𝑚2

Ahora se calcula la distancia de ambos puntos al origen y la distancia de P1 a P2

DP1 0 = √(𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑥1)2

DP1 0 = √(0 − 1)2 + (0 − 𝑚1)2

DP1 0 = √1 + 𝑚12

DP2 0 = √(𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑥1)2

DP2 0 = √(0 − 1)2 + (0 − 𝑚2)2

DP2 0 = √1 + 𝑚22

X

Y

•

L = 1

𝐋𝟐

𝐋𝟏

𝐏𝟏= (𝟏, 𝒎𝟏)

𝐏𝟐 = (𝟏, 𝒎𝟐)

0

Se trazan las rectas perpendiculares L1 y L2 y se traza la recta L =1 perpendicular al eje x

y = 𝒎𝟐𝒙 y = 𝒎𝟏𝒙

1

•

•

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DP1 p2 = √(y2 − y1)2 + (x2 − x1)2

DP1 p2 = √(1 − 1)2 + (m2 − 𝑚1)2

DP1 p2 = √02 + (m2 − 𝑚1)2

DP1 p2 = √(m2 − 𝑚1)2

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OP1P2 Tenemos que:

(DP1 p2)

2

= (DP1 0)2

+ (DP2 0)2

(√(m2 − 𝑚1)2 )2

= (√1 + 𝑚12 )

2

+ (√1 + 𝑚2 )2

(m2 − 𝑚1)2 = 1 + 𝑚12 + 1 + 𝑚2

2

(Se desarrolla el binomio m2 − 𝑚1)2 aplicando la regla del cuadrado de la diferencia de dos cantidades

𝑚22 − 2 𝑚2𝑚1 + 𝑚1

2 = 2 + 𝑚12 + 𝑚2

2

Simplificando nos queda que:

− 2 𝑚2𝑚1 = 2

Se aplica la propiedad del opuesto aditivo y se divide por 2.

− 2 𝑚2𝑚1

−2 =

2

−2

Luego de simplificar nos queda que:

𝒎𝟐𝒎𝟏 = −𝟏