Cursos deReforzamiento UNI 2009-1

Autor : Instituto de Ciencias y Humanidades

Editor : Asociación Fondo de Investigadores y Editores

Diseño gráfico : Área de cómputo y publicaciones de la Asociación Fondo

de Investigadores y Editores

© A sociación Fondo de Investigadores y EditoresJr. República de Portugal N.° 187 - Breña. Lima-Perú

Para su sello editorial Lumbreras Editores Primera edición: mayo de 2009

Tiraje: 1050 ejemplares

ISBN: 978-612-4036-33-0

Registro del proyecto editorial N.° 31501130900003

“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú”N.° 2009-05583

Prohibida su reproducción total o parcial derechos reservados D. LEG. N.° 822

Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de mayo de 2009 - Calle de las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perú Telefax: 332-3786

Cursos de Reforzamiento UNI N.° 2 - 2009-1

Í J \ e ó e n l a c i e n

El Instituto de Ciencias y Humanidades, institución con más de cuatro décadas de experiencia en la labor educativa y cultural, saluda a los estudiantes que se incorporan a los Cursos de Reforzamiento UNI y a los padres de familia.

El presente material didáctico está dirigido principalmente a los estudiantes que aspiran a una vacante en la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) y otras afines.

En cada uno de los cursos se abordan los temas más importantes y recurrentes de la Universidad Nacional de Ingeniería, por lo cual el estudiante tiene la oportunidad de consolidar y profundizar sus conocimientos para afrontar adecuadamente un examen de admisión.

La profundidad con la que serán desarrollados los cursos en cada una de las clases garantiza un aprendizaje adecuado de los distintos temas, tanto en estudiantes que tienen experiencia y buen desarrollo académico como en aquellos que desean complementar sus conocimientos y alcanzar solidez académica.

Los objetivos propuestos en estos cursos son los siguientes:

• Superar las limitaciones académicas de cursos cuyo dominio es importante para el ingreso a la Universidad.

• Desarrollar un conjunto de temas de acuerdo al prospecto de la UNI.

• Desarrollar la capacidad de análisis, interpretación y solución de preguntas tipo examen de admisión.

• Valorar el conocimiento científico.

Este texto complementa las clases teórico-prácticas desarrolladas con criterio pedagógico a lo largo de doce semanas; asimismo, contiene preguntas dirigidas y domiciliarias que apuntan al logro de los objetivos específicos de los estudiantes.

Con el presente trabajo reafirmamos nuestro compromiso de servicio a la sociedad en general, mediante una educación integral que aborde los conocimientos científicos de manera didáctica y permita el desarrollo de la capacidad de análisis y crítica de la realidad, así como el planteamiento de alternativas de solución.

I n s tit u t o de C iencias y H u m a n id a d e s

Jndice

M a t e m á t i c a

Aritm éticaÁlgebraGeometríaTrigonometría

11243955

C i e n c i a s N a t u r a l e s

Física Química

MCD - MCM

I ¿( 'i lál es la cantidad de divisores com unes de los núm eros 1 760 913 y 83 853?

A) 20 B) 23 C) 24D) 27 E) 18

I Al calcular el MCD de los núm eros

(2u)'Kht) y (IMf )(2a_2)m ediante el algoritm o d e Euclides, se obtuvo por cocien tes sucesivos 2; 3; 4;

y 3. D eterm ine a 2+ b2 si la tercera di­visión se hizo por exceso.

A) 99 B) 77 C) 70D) 88 E) 90

I I .ii una em presa de transportes, de la i uta Lim a-Callao, salen 31 unidades en dos horas, pero d e la ru ta L im a-San Juan salen 37 un idades en tres horas. SI el lunes a las 8:00 a .m . coinciden en salir las dos rutas, ¿cuántas veces m ás coincidirán en salir hasta las 4:00 p.m.?

A) 23 B) 24 C) 25D) 26 E) 27

4 Koxana quiere em paquetar en cajas cú­bicas idénticas 12 000 barras de jabón, cuyas dim ensiones son 20 cm, 15 cm y 12 cm , de m odo que todas estén com ­pletam ente llenas. ¿Cuántas cajas cúbi­cas, com o máximo, se podrán utilizar?

5. Se sabe que la sum a del MCD y el MCM de 2 núm eros e s 703. Halle la sum a de estos núm eros, si se sabe que el MCD es el mayor posible y los núm eros no son divisibles entre sí.

A) 327 B) 407 C) 409 D) 410 E) 408

G. Si MCM^ Q L q MCD(P; Q)

y MCM(Q; P)+M CD(P; Q )=b

halle MCM(P, Q).

A) o x í) B ) — O — b + 1 6 -1

D ) ^ E) - £2+ I b

7. SiM CM C4;B)=abx(M CDC4;B)]2 adem ás, A x B = 18 144 halle el MCM04; B).

A) 3020 B) 3200 D) 3131

8. Si MCD(104; 15B)=625 MCMC14A; 21B)= 31 500 halle A xB.

A) 93 750 B) 4360D) 9600

9. Si A!+B2=3185, adem ás MCDG4; B )+ A = 2\, halleA +B .

C) 3024 E) 3240

C) 3200 E) 8720

A) 200 B) 210 C) 240I» 260 E) 180

A) 18D) 14

C) 27E) 35

11

/ -* Academia César Vallejo ^ _ Material Didáctico N.° 5 i-^

10. Dos núm eros al m ultiplicarse por un tercero se obtiene que su MCD es Ai, y cuando se divide por d icho tercer n ú ­m ero el MCD es M2. Halle el MCD de dichos núm eros.

A) M\M¿ B) M2/M t C) M ] +M.¿

Í KD V J - r r

Números avales

1. ¿En qué cifra decim al term ina E al ex­presarlo en el sistem a decim al?

215 x 7 x 1326E = -

524 x ! 4 x 4 8

A) 6 D) 9

B) 4 C )8 E) 2

2. Si ^— a = 0 ,x (x + \)(x + 2 );(.m < x)m n

calcule a + m + n + x .

A) 20 B) 15 C )17 D) 16 E) 18

3. Si a = = 6 - a ,d b cbe

calcule N + a+ b+ c+ d.

A) 32 B) 40 C) 26D) 52 E) 18

4. Se sabe que 0, abbn- 0, (n + 6)6 n 2

. abCalcule x + y s i ^ = 0,...xy.bn

A) 12D) 10

B) 11 C )9E) 13

5. Se cum ple que = = 0,dcb-, (c > d ) cd ab

Calcule a+ b+ c+ d . C onsidere que =cd

es irreductible.

A) 19 D) 16

B) 18 C) 15 E) 17

1 be '— be -— Se cumple que = £>,c02; = = 0,jf...y

be cbCalcule x+y.

A) 9 D) 6

B) 4 C) 5E) 8

abLa fracción irreductible genera al decim al 0,b 074. caCalcule a+ b+ c.

A) 21 D) 18

B) 15 C) 20 E) 16

Se cum ple que 0, m ns = 0,(2m )n 7.

Calcule la cantidad de cifras periódicas

que genera f = m

A) 28D) 15

B) 30 C) 60 E) 45

9. Se cum ple que

0, obc(o + b + c) =6(£> + c)b

cOOOCalcule a x b x c si la fracción es irre­ductible.

A) 5 D) 6

B) 14 C) 30 E) 15

10. Se cum ple queabe, 328=425, x y zm n 6 adem ás, 0 ,ab^x0 ,xy6= 0 ,pqr^2y Calcule p+ q+ r.

A) 16D) 18

B) 15 C) 12E) 20

12

i Hoforzamiento UNI _ A ritm ética

Magnitudes proporcionales

Tres ruedas engranan. La prim era y la segunda tienen dientes en la relación de 7 a 9; la segunda y la tercera tienen dientes en la relación de 5 a 4. Si en total han dado 1188 vueltas en una hora, ¿cuántas vueltas da la m ás pequeña en 45 minutos?

A) 324 B) 320 C )310I)) 200 E) 308

1 Una bom ba dem ora 10 h 25 m in para llenar un reservorio. C uando el tanque está lleno hasta 1/5 se m alogra y su rendim iento dism inuye en 1/3. ¿Cuánto tiem po tardará la bo m b a p ara llenar el reservorio?

A) 12 h y 35 minH) 14 h y 35 min ( ') II h y 12 m inI)) 14 h y 25 min K) 13 h y 25 min

1 Veinte obreros pueden hacer una obra en 50 días. Si luego de 30 días de inicia­da se informa que la obra debe aum en­tar en su quinta parte, ¿cuántos obreros adicionales se deb en contratar para ter­m inar la obra en el plazo fijado?

A) II B) 12 C) 14D) 10 E) 9

1 lln regim iento de 200 soldados tenía víveres para 45 días. Al cabo de 15 días llegan 40 soldados de refuerzo y 5 días después m ueren 90 soldados en cóm ­bale. ¿Para cuántos días m ás alcanza­ron los víveres?

A) 5 B) 6 C) 7l » 8 E) 9

5. Una carretera iba a ser construida por 20 obreros en 30 días. Luego de avan­zada la décim a parte, se d ispone in­crem en tar la longitud en la m itad delo que faltaba, para lo cual se contrata diez obreros m ás. Doce días m ás tarde la m itad de los que estaban se enfer­m an pero siguen trabajando con los dos tercios de la eficiencia norm al. Si trabajan así durante 17 días y quedan, fi­nalm ente, 5 obreros de eficiencia nor­mal hasta terminar, ¿en cuán tos días se term inará la obra?

A) 30 B) 31 C) 37D) 32 E) 35

6. Se em plearon m obreros para e jecutar una obra y al cabo de a días hicieron Mn de aquella. ¿Cuántos obreros hubo que aum entar en ese m om ento para term inar lo que faltaba en b días?

A) — (a n - a - b ) b

B) —(a m - a - b ) a

C) —(a n - a - b )o

D) —(a n - a - b ) b

E) — (a n - a - b ) a

7. Un grupo de obreros debe hacer una obra en 15 días trabajando 7 h/d. Al cabo de 7 días, 12 obreros se retiran y luego de 4 días m ás se exige que la obra sea en tregada en el plazo fijado. Si por ello se contratan N obreros adicio­nales que van a trabajar 1 hora por día, halle N.

A) 20 B) 21 C) 22D) 23 E) 24

13

Academia César Vallejo _ Material Didáctico N.° 2

8. Se reparten una gratificación en tre tres trabajadores de acuerdo a la inform a­ción del siguiente cuadro.

N.° de años de servicio

N.°detardanzas

N.° de horas

16 24 60

12 30 50

20 18 10

Si sabe que uno de ellos recibió S/.108 m ás que los otros dos juntos, halle el im porte de la gratificación.

A) S/.840 B) S/.864 C) S/.888D) S/.912 E) S/.816

9. Dos agricultores A y B tienen, resp ec­tivam ente, 9 y 5 hec tá reas de terreno que d esean sem brar. C uando ya h a ­bían sem brado 2/7 de cad a propiedad, contratan a un peón y, a partir de enton­ces, los agricultores y el peón trabajan en partes iguales. ¿Cuántos soles debe aportar cada agricultor para pagar al peón, si en total deben pagarle S/.140?

A) 130,10 B) 120,20 C) 110,30D) 135,5 E) 90,50

10. Juan inicia un negocio con S/.400 y lue­go de 3 m eses increm en ta su capital en su cuarta parte. Un m es después de esto, ingresa Natalia con S/.600, quien increm enta su capital en su quinta par­te cuando faltaban 4 m eses para el fin del negocio. Si al cabo de 15 m eses de iniciado se liquida el negocio con un beneficio total de S/.10 710, ¿cuál es la diferencia de las ganancias?

Regla de interés

1. Una persona vende su casa ganandf S/.13 000 y el dinero obtenido lo depo sita en un ban co al 5% trim estral. Si a cabo de un año retira la cuenta y gasti el 20%, luego pone el resto en un banc< al 2% m ensual, el cual luego de 2 año genera S/. 17 280 de interés, calcul» cuánto le costó la casa.

A) S/.37 500B) S/.24 500C) S/.28 000D) S/.32 500E) S/.27 500

2. Enrique divide su fortuna en tres pa¡ tes para depositarlas en un banco de 1( siguiente m anera: los 3/5 al 5% trimei tral, los 2/7 del resto al 10% cuatrim ei tral y el resto al 8% bim estral. C alcu ll el m onto total que obtendría luego d1 año, si el interés ob tenido en es tiem po es de S/.2448.

A) S/. 12 840B) S/.9840C )S/. 11 348D) S/. 10 848E) S/.14 820

3. Ornar va al banco y pide un préstami en dólares, por cierta cantidad al 8( anual, y 4 m eses m ás tarde p ide otn i préstam o, por otra cantidad, pero í 5% anual. D espués de 5 m eses, Orna en trega al banco , por los capitales los intereses producidos, la cantidad d $1800. Si los in tereses producidos po cada p réstam o son iguales, determ in el valor del prim er préstam o.

A) S/.90 B) S/.92 C) S/.93 A) $450 B) $480 C) $520D) S/.85 E) S/.88 D) $640 E) $720

14

Mnlorzamiento UNI _ A ritm ética i-.

I I papá de Josué quiere com prar un nndador para trasladarlo, pero le falta Ionio com o lo que tiene para com prar- li >. h ir ello decidió com prarlo dentro de10 m eses y depositó lo que tenía en un I M i l i c o al 15% sem estral y después de 4 m eses depositó S/. 115 m ás. Si cuando H'llra su dinero para com prar el artícu­lo el precio de este había increm en ta­do en 20% su valor, halle el precio final del artículo.

AIS/. 200 B) S/. 180 C) S/.360 11) S/.240 E) S/.276

11 !•.('• im pone el dinero que tiene en un Ii.iiico , por 1 año y 8 m eses, al 12%. Si el m onto que se obtiene al final lo re- I'•ule 1)1’ a las ed ad es de sus tres hijos que son 18; 24; y 30 años, luego estos lo< li I >« >silan en bancos diferentes que le oliet en una tasa del 10%, 20% y 30%, o".|lectivam ente, ganando en un año mi loi.il (le S/.2080, ¿cuánto tenía ini- i lilimente José?

A) S/.6000II) 5/.8000 ( ')S /. 10 000 l» S /. 1200 I ) S/. 12 000

1 -ii los deposita un capital en una en- llil.nl financiera al 5% trim estral con■ fipltíilización anual; luego de tres...... observa que el in terés que se ge-nei.i en el prim er periodo es excedido i-ii S/.374 por el interés que se genera en el tercer periodo. Calcule el m onto que se genera al depositar el capital a l.i m ism a lasa duran te 3 años a interés «Imple.

A) S/.4250 B) S/.8500 C) S/.7800 D) S/.6800 E) S/.4200

7. Sandra deposita la quinta parte de su dinero en un banco que paga una tasa de interés del 20% anual capitalizable sem estralm ente , y se observa que el interés obtenido en el tercer periodo excede al interés que ese obtiene en el prim er periodo de capitalización en S/.126. Calcule la sum a de cifras del capital que disponía Sandra al inicio.

A) 8 B) 12 C )24D )3 E) 6

8. Se deposita S/.240 000 duran te un año en un banco A que paga un interés del 10%, capitalizable sem estralm ente, y el interés obtenido se deposita en un ban­co B que paga un in terés del r% anual, capitalizable sem estra lm en te . Si en1 año y m edio en el banco B se obtiene un m onto de S/.32 742,6, calcule r.

A) 30 B) 15 C) 20D) 10 E) 24

9. A C arm en se le p resen tan 2 opciones para depositar su dinero; la prim era paga el 20% sem estral, capitalizable trim estralm ente, y la segunda paga el 38% a interés sim ple, y se da cuen ta de que en 6 m eses una produciría S/.60 m ás que la otra. ¿Cuál es el m onto que p roduce su dinero si lo depositara a la m ejor opción duran te 1 año?

A) S/,4392,3B) S/.2442.3C) S/,6369,5D) S/,2368,2E) S/,4872,3

15

f - \ Academia César Vallejo

10. Maricela deposita en una financiera un capital C] a una tasa del 10% por 4 años y otro C2 a una tasa del 1,25% trim estral al m ism o tiem po del prim ero, en am bos casos con capitalización continua. Si la sum a de los capitales e s S/.18 760 y los in tereses obtenidos están en la razón de 34 a 15, calcule el m ayor capital. C onsidere A/e=l ,2.

A) S/.9520B) S/.8540C) S/.9670D) S/.9240E) S/.9800

Análisis combinatorio

1. Se tiene en una caja lapiceros de 4 colo­res distintos: 6 azules, 4 rojos, 5 negros y 3 verdes. ¿De cuán tas form as se puede tom ar 3 lapiceros de colores diferentes, si siem pre se elige el de color azul?

A) 200 D) 257

B) 282 C) 232 E) 277

Karín tiene 10 am igas y d esea hacer una reunión. ¿De cuántas m aneras pue­de invitar a 7 de ellas, si dos am igas en particular no pueden asistir juntas?

A) 177 D) 66

B) 64 C) 178 E) 67

Para elegir un presidente , un tesorero y un vocal se tiene 10 participantes, de los cuales 6 son varones. Si tiene que h ab er solo una m ujer en la com isión, ¿de cuán tas m aneras se podrá elegir a los representantes?

A) 180D) 360

B) 240 C) 720E) 60

__Material Didáctico N.° 2

4. Dos varones y tres chicas van al cin y encuen tran 5 asientos juntos en un m ism a fila. ¿De cuán tas m aneras dife ren tes se p u ed en ub icar si las chica no quieren esta r una al lado de la otra

A) 10D) 15

B) 16 C) 18 E) 12

Si hay 7 alum nos que d esean ir a 1q servicios higiénicos para lavarse la m anos pero se cuen ta con solo 3 c< ños, ¿de cuántas m aneras pu ed e si c ed e r ello? C onsidere que los alum no en tran o rdenadam en te de 3 en 3 y el gen el caño que quieran.

A) 7640D) 12 420

B) 16 480 C) 15 120 E) 1260

liiEn un país, las p lacas de un au to tiene2 letras y 3 dígitos, com enzando pe letras; adem ás, se utilizan solo dígitc im pares para la últim a cifra de la num< ración y cuando em piece con la letr “A” la prim era cifra del núm ero es p¿o cero, en los d em ás casos la primer cifra será impar. ¿Cuántas p lacas dif< rentes se p u ed en fabricar?C onsidere 25 letras incluyendo la “A”.

A) 150 250B) 294 000C) 300 000D) 156 250E) 306 250

Seis amigos van de cam pam ento y ¡ ubican alrededor de una fogata. ¿D cuántas m aneras se pueden distribuir Ana y José nunca se sientan juntos?

A) 120 D) 20

B) 72 C) 36 E) 48

16

l M ui zumiento UNI _ A ritm ética i

I ti un m ercado, donde trabajan 12 Hu.irdianes, se deb en program ar ron-• 1.1•• diarias de 3 personas. Si dicho HHipo no debe repetirse, calcule de• ii,mías form as puede realizarse dicha lnnHiamación en una sem ana.

A) 2201

213!

r¡H i

B) 90!83!

C)

E)

23!214!

97!90!

i ii.míos num erales existen de 6 cifras....... I sistem a quinario de m odo que elIHinliK lo de sus cifras sea 12?

A) (10 10 72

B) 30 C) 90 E) 24

i n.i persona quiere com prar 10 panta- liiiirs v « lienta con tres m arcas A, ñ , y C............ipciones en una tienda en la quei' nipio com pra. ¿De cuántas m aneras

puede icalizar la com pra?

A) 120 id 240

B) 132 C) 66 E) 140

Probabilidades

• ii exam en tiene 10 preguntas y un 'him no tiene que contestar 6 de ellas.

| iilcule la probabilidad de que siem pre m".ponda las dos prim eras.

A) 1/2 I» l/<¡

B) 1/4 C) 1/3E) 1/5

I n una i .ija se tienen 8 tizas blancas y 4ii i|.i -, se extrae una tiza y se reem plazaI ii ii del otro color, luego se extrae otraII i II,ille la probabilidad de que en la p ilm era y segunda extracción las tizas .ean de colores diferentes.

A) 7/39 D) 11/39

B) 10/13 C )4/13 E) 22/39

Al lanzar un dado donde la probabili­dad de ob tener un puntaje es IP a la cantidad de divisores que este tiene. ¿Cuál será la probabilidad de ob tener un puntaje m ayor de 4?

A) 15/37 D) 9/37

B) 19/27 C) 19/37 E) 13/37

Si se elige al azar un num eral de 3 cifras del sistem a octanario, ¿cuál es la probabilidad de que resulte capicúa?

A) 0,25 D) 0,15

B) 0,125 C) 0,20

E) 0,375

En una línea de producción hay dos procesos A y B, en el p roceso A hay un 2% de defectuosos y en B hay 21%. En una m uestra d e 300 productos hay 200 del p roceso A y 100 de B. Si se extrae un artículo al azar y resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea del proceso A?

A) 0,16 D) 0,20

B) 0,25 C) 0,04 E) 0,15

Se tiene dos urnas que contienen fi­chas rojas y azules, en la prim era hay5 rojas y 7 azules, en la segunda 9 ro­jas y 3 azules. Si se extrae al azar una ficha de cada urna, ¿cuál es la probabi­lidad de que sean del m ism o color?

A) 11/24D) 29/73

B) 7/12 C) 13/24E) 5/24

f - \ Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 2 h

De un grupo de personas se observa que de los varones 40 son peruanos y 60 extranjeros. De las m ujeres se ob ­serva que 50 son peruanas y 20 extran­jeras. Calcule la probabilidad de que al elegir u n a persona esta sea de nacio­nalidad peruana.

Un cazador h ace en prom edio 4 blan eos con 5 disparos. ¿Cuál es la probabi lidad de que haga exactam en te 9 blan' eos con 10 disparos?

A) 3/17 D) 9/17

B) 11/19 C) 7/17 E) 17/19

A)2(líD)(lí

49B ) 5H> c,5(j)

E>(iJ10.

Calcule la probabilidad de ob tener nú ­m eros consecutivos en el lanzam iento de tres dados.

Se tienen figuras enum eradas de 1 a 2C y se extraen al azar dos d e ellas. ¿Cuá es la probabilidad de que al multiplica

o

los resultados se ob tenga un 20?

A) 1/6 D) 1/3

B) 1/9 C) 2/9 E) 1/4

A) 7/38 D) 19/210

B) 1/5 C) 27/190 E) 18/95

PRACTICA DOMICILIARIA

MCM - MCM

Si MCM[a(¿>+2); o(£>-2)]=728, calcule a+ b.

Sean los núm eros A y B donde MCM04; B) =2A

MCD04; f í )= —

Calcule la sum a de dichos núm erosA) 10 D) 12

B) 9 C) 8 E) 7

su diferencia es 6.

2. Si MCM(a£>; b a )= 403, halle a+ b.A) 4 D) 24

B) 6 C) 30 E) 18

A) 7 D) 8

B) C) 9 E) 4

Si el MCMC4; B; C )= l 182, adem ás MCD (B; C)=591 y MCD (-4; C)=394 halle C -A -B .

6. El MCM de 4 núm eros consecutivos e 5460. Halle la sum a de cifras del mayo de ellos si el m en o r núm ero es divisibli por 3.

A) 190 D) 394

B) 195 C) 197 E) 591

A) 5 D) 9

B) 3 C )6 E) 12

El MCD de -4 y B es 36 y el MCM d e A y B es 4320. Si A = 11+ 2, calcule el residuo de dividir B en tre 11.

El MCD de 2 núm eros A y B es 248 y í m eno r de ellos es 2976. Si el MCM est com prendido en tre 59 520 y 89 50( ¿cuántas soluciones hay para el mayo de dichos núm eros?

A) 3D) 8

B) 5 C) 6E) 1

A) 5 D) 2

B) 8 C )3 E) 7

III

18

I Iwtuí’/omiento UNI* ■ __________ /"

SI A y B son núm eros que adm iten los m ism os divisores primos, A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores, ¿cuán­tos divisores, com o m áxim o, tendrá el M< 'I) de /45 y B5?

A)i>) :m i

B) 310 C) 231 E) 319

Si MCI) (/V; 22050)=225 y la cantidad ilc divisores de N es 15, en tonces, ¿cuál r» la sum a de cifras del m eno r valord«* /V?

A) 13 II) i)

B) 12 C) 11E) 15

N úm eros avales

i .ilculo ol valor de E.

.. 0,32 + 0,43 + 0,541,1+ 2,2+ 3,3

C) 0,195

E) 0,201

A) 0,185 B) 0,185

II) 0,195

SIA - 7 f 0,278 + 0,000278 + 0,0000278+...II I i(),34+0,214+0,1234+,0,1 1014+. i rtln ilr A+B.

A)

I')

71 (i(13

I7(i63

B)76163

C)61763

67163

■ i ni» es la sum a de los térm inos de

una fracción equivalente a 76/133, tal

qiM* el MCM de sus térm inos sea 980, determ ine la sum a de todas las bases

di los sistem as de num eración en el

«uní iihc genera un aval periódico mixto.

A) 575 D) 385

225

B) 178 C) 190 E) 320

13. Si = 1,/nn pqr\ MCD (2225; A0=1

calcule m +n +p+q+r.

A) 13 D) 16

B) 14 C) 15 E) 17

14. Calcule la sum a de las tres últimas cifras

periódicas que genera la fracción

A) 4 D) 7

B) 6 C) 5 E) 9

15. Calcule la sum a de cifras de la parte

no periódica del decim al 0 ,xyza b cd e f

cuya fracción generatriz tiene com o ra­

zón aritm ética de sus térm inos 10878.

A) 13 D) 11

B) 12 C )9 E) 18

16. D eterm ine la cantidad de cifras no p e ­riódicas que genera la fracción

25 600f = -641-32!

A) 29 D) 21

B) 22 C) 20 E) 31

17. Se cum ple que

10, abcd 66 = — + =

d m m

adem ás, = = 0tnpm cd

Calcule a+ b+ c+ d+ n+ p+ m .

A) 22D) 20

B) 26 C) 24E) 18

19

f - \ Academia César Vallejo

18.

19.

Magnitudes proporcionales

Una guarnición de 400 soldados situa­dos en un fuerte tienen víveres para 180 días y consum en 900 g por hom bre y por día. Si reciben un refuerzo de 100 soldados pero no recibirán víveres a n ­tes de 240 días, ¿cuál deb e rá ser la ra­ción de un hom bre por día para que los víveres pu ed an alcanzarles?

A) 540 g D) 675 g

B) 520 g O 720 g E) 480 g

Una rueda A de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes; adem ás, fija al eje B hay otra ru ed a C de 15 dientes que engrana con una ru ed a D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por m inuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda D por minuto?

A) 62 D) 86

B) 70 C) 72 E) 80

20 . Un reservorio de form a cilindrica de6 m de radio y 6 m de profundidad abastece a 36 personas para 45 días. Si se quiere construir otro reservorio similar para ab astecer 50 personas por15 días, pero cuya profundidad sea 4 m, ¿cuál d eb e ser el d iám etro del nuevo reservorio?

A) 10 m D) 15 m

B) 8 m C) 5 m E) 16 m

21. Seis obreros se com prom eten a hacer una obra en 6 días y después de 2 días de trabajo se retiran 2 obreros. ¿En qué tanto por ciento d ebe aum en tar la efi­ciencia de los obreros restan tes para entregar la obra en el plazo fijado?

A) 25%D) 100%

B) 50% C) 75%E) 175%

Material Didáctico N.° 2 v-

22 . Se está construyendo un puen te que se d eb e term inar dentro de 18 días, paralo cual se em plean 24 obreros que tie­nen una jo rnada de 8 h. Si al cabo de 9 días se enferm an 3 obreros y faltan al trabajo por 3 días, ¿cuántas horas m ás por día deb en trabajar estos 3 obreros duran te los días restan tes para culmi nar el puen te en el plazo fijado?

A) 6 D )4

B) 2 C )3 E) 5

23. Veinte obreros con una eficiencia de 3 pu ed en hacer una obra en 30 días. Si luego de 5 días se retiran 5 obreros y los restan tes au m en tan su eficiencia en su tercera parte, luego de 5 días se retiran 5 obreros m ás y los restan tes aum en tan su eficiencia, ¿cuánto d eb e ser la eficiencia de estos últim as para termi nar la obra con 5 días de anticipo?

A) 7 D) 10

B) 8 Q 9 E) 11

24. Tres albañiles y cuatro ayudantes pue den hacer una obra en 50 días. ¿Er cuán tos días harán la m ism a obra ayudantes y 2 albañiles, si el trabajo que hace un ayudante en 5 horas lo hace el albañil en 3 horas?

A) 36 D) 56

B) 72 O 48 E) 54

25. Dos socios reunieron un capital de S/. 10 000 para hace r un negocio, El prim ero dejó su capital durant*3 m eses y el otro du ran te 2 m eses. En cuen tre la sum a d e las cifras de la dife­rencia de los capitales aportados, si 1a: ganancias fueron iguales.

A) 3 D) 5

B) 2 Q 4 E) 6

20

i Mníor/fimionto UNI _Aritmética »-v

Regla de interés

,'li Ne presta S/.4200 a! 30% anual durante ’> m eses. ¿Qué capital genera el m ism o Interés, si se presta al 21% duran te 15m a n e s?

A) S/.3500 B) S/.2500 C) S/.3000D) S/.2000 E) S/.4000

II .A (|ué tasa m ensual debo im poner mi dinero si tengo S/.1200 y dentro de H m eses debo com prar un artefacto (|iie actualm ente cuesta S/. 1400, y que iil cabo de d icho tiem po su precio aum entará en un 20%?

A) :')% B) 17,5% C)8%I)) 15% E) 12%

H Un negociante com pra con los 3/5 de m i capital un terreno a $800 la hectá- ie.i I ,o que queda le p roduce una renta de $4400 al año, por estar co locada la mil.id al 5% anual y la o tra parte al 1% bimestral. Calcule la extensión del te ­rreno.

A) 80 ha B) 160 ha C) 140 haI)) 75 ha E) 150 ha

>*'l I In capital es depositado en una entidad H ilandera a interés sim ple duran te 4 m eses. Si la diferencia de los in tereses generada por d icho capital a las tasas del 5% sem estral y 5% m ensual es de S/.276,5, calcule la sum a de cifras de dicho capital.

30. Dos capitales están en la relación de 3 a 5 depositados a tasas de 15% trim es­tral y 8% cuatrim estral, respectivam en­te; al cabo de cierto tiem po los m ontos producidos estarán en la relación de 2 a 3, respectivam ente. ¿Durante cuánto tiem po m ás el interés producido por el prim er capital será el triple del segundo capital?

A) 56 m esesB) 30 m esesC) 40 m esesD) 25 m esesE) 96 m eses

31. Un capital se divide en dos partes colocándolas al 30% y 40% durante 5 y 3 años, respectivam ente, los m ontos que p roducen al cabo de este tiem po y en ese orden están en la relación de 5 a 2. Calcule la diferencia de dichas partes si todo el capital produce un interés anual de S/.400, y m ás cuando se coloca al 25% en lugar de 20%.

A) S/. 1800 B) S/.3200 C) S/.2800 D) S/.3000 E) S/.3460

32. Hace 4 años, Mónica le prestó a Rober­to cierta cantidad de d inero al 25% de interés com puesto capitalizable anual­m ente. Para ob tener una ganancia, el m ism o día que recibió el dinero Rober­to lo depositó en u n a entidad financie­ra que le paga el 32,5% sem estral. Si hoy al devolver el d inero Roberto ha obtenido una ganancia de ganancia de S/.4449, de term ine la cantidad de d ine­ro prestado.

A ) 18 B) 12 C) 14 A) S/.3640 B) S/.2056 C) S/.2560D)21 E) 22 D) S/.3840 E) S/.2800

21

f - \ Academia César Vallejo ^ _ Material Didáctico N.° 2 h

33. Se considera un valor aproxim ado de e para el cálculo de interés continuo de S/.5200 a! 4% cuatrim estral por 5 años y de S/.2800 al 15% sem estral por3 años, y se obtuvo m ontos que están en la razón de 10 a 7. Si con la m ism a aproxim ación se calcula el interés con ­tinuo que genera S/.3000 al 3% durante4 años, ¿cuánto se obtiene?

A) S/,426,3 B) S/.352.8 C)S/.331,95 D) S/,382,52 E) S/,632,42

Análisis combinatorio

34. ¿De cuán tas m aneras se pu ed e ir d e A hacia C siem pre pasando po rB y sin re­troceder?

A____________________

B

C

A) 56 B) 72 C) 60D) 40 E) 78

35. Un estud ian te d ebe con testar 5 p re­guntas de un exam en que consta de 8 preguntas. ¿De cuán tas m aneras dife­ren tes pu ed e con testar las 5 preguntas, si obligatoriam ente d eb e contestar 2 de las tres prim eras?

A) 20 B) 30 C) 25D) 36 E) 28

36. D eterm ine de cuán tas form as se p u e ­d en acom odar y viajar 5 personas de un grupo de 6, en un au to de 6 asientos, si solo 3 saben m anejar.

A) 48 B) 240 C) 76D) 120 E) 360

37. Se quiere formar com isiones integrada por un varón y una mujer, para ello haj 5 varones y 8 m ujeres. Si cierto varói se rehúsa a trabajar con dos m ujeres ¿cuántas com isiones se pueden form aí

A) 32 B) 38 C) 40D) 44 E) 36

38. ¿Cuántos num erales de 4 cifras dife rentes existen en base 7 que tengan a m enos un cero en su escritura?

A) 720 B) 360 C) 240D) 480 E) 700

39. De la palabra eucalipto se escogen ! consonan tes y 3 vocales diferentes ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden form arse sin que las palabras tengan necesariam en te significados?

A) 5!B) 10x6!C) 6!D) 10x5!E) 60x6!

40. De un grupo de 20 personas que e s tudian solo dos idiom as cad a uno, se sabe que 6 de ellos estudian inglés y francés, 5 francés y quechua, y los otro; quechua e inglés. Si se quieren escoge2 personas que hagan juntas la traduc ción de una lectura a cualqu iera de los tres idiom as m encionados, ¿de cuántas form as se pu ed e h ace r la elección? 1

A) 120 B) 15 C) 150D) 60 E) 129

22

, I lufi i' /n m ie n to U N I ^ _ A ritm ética k

I n i i i i . i reunión hay 12 varones y 8 mu- |e ies si se form an grupos de 6 personas donde a lo m ás 2 deb en ser m ujeres, . i ...... grupos se p u ed en formar?

A) 8910 I» 16 170

B) 6336 C) 21 120 E) 15246

4/ h llene un papel publicitario en forma ■ li pentágono regular en cuyos vértices '■ llene tres focos (rojo, azul y verde) y ili i se enciende uno. ¿Cuántas señales

i Hiélenles se pu ed en observan si se en- i leude al m enos 2 vértices?

A ) 100» h i 1324

B) 3421

Probabilidad

C ) 1228 E) 5040

O i i i.iin i autos van a ser distribuidos en tres I il>i\ • i s de estacionam iento que están \ .!• i.is ¿Cuál es la probabilidad de que > >li i una de las playas se quede vacía?

A) 1/27 I») 2/!)

B) 5/9 C) 14/27 E) 4/9

l i probabilidad de que Juan ap rendá■ I i í i iso de Física es 0,80 y que aprue- i " lisie a y Q uím ica es 0,60. ¿Cuál es la I >i ■ il labilidad de que ap ruebe solo uno di estos cursos, si la probabilidad de 'iiii1 no apruebe ninguno es la m ism a■ le que ap ruebe solo Química?

A) 0,40 11)0,50

B) 0,30 C) 0,20 E) 0,25

41 '>ii|>onga que en una rifa consiste de '(KM) boletos, en los cuales hay un

I>■ etnio de S/.1000, dos de S/.500, cinco ile S/.200 y cien de S/.10. Calcule la pro- I mi illldad de ganar a lo m ás S/.200 en la em npra de una rifa.

A) 0,0005D) 0,250

15) 0,125 C) 0,0025E) 0,0525

46. Seis personas van al cine y encuentran 6 asientos libres. Si entre las personas se encuen tran los esposos José y Ma­ría, ¿cuál es la probabilidad de que se sienten juntos?

A) 3/5 D) 2/3

47.

B) 1/2 C) 1/4 E) 1/3

Juan y Mario realizan disparos al blanco; las probabilidades de acertar el blanco son 7/9 y 3/4, respectivam ente. Calcule la probabilidad de que al hacer un dis­paro, cada uno, al m enos uno acierte.

A) 16/17 D) 19/20

B) 21/24 C) 17/18 E) 29/30

48. Al lanzar tres dados sim ultáneam ente, ¿cuál será la probabilidad de ob tener una sum a m ayor de 15?

A) 141/08 D) 1/54

B) 2/27 C) 1/24 E) 5/108

49. En una urna se tiene bolas enum eradas del 1 al 10. Si extraem os al azar dos de ellas, ¿cuál es la probabilidad de que la sum a de la num eración de las bolillas obtenidas sea im par m ayor de 9?

A) 0,33 D) 0,60

B) 0,475 C) 0,75 E) 0,425

50. Dos jugadores tienen la m ism a ha­bilidad. Si juegan una secuencia de partidos, hasta que uno d e ellos gane 2 partidos seguidos, de term ine la pro­babilidad que tiene un jugador de ter­m inar el juego en un núm ero par de partidas.

A) 1/3D) 3/5

B) 4/5 C) 2/3E) 5/6

23

¡ám -,;A

í i / .

K i

AlgebraW m M

Gráfica de relaciones

1. Esboce la gráfica de la relación R= {(x; y ) g R x R W - y x + ^ O }

A) Kf

v yB) Y

u

C) K*

. / I

2. R epresente gráficam ente los com plejos z de m odo que Im (z2) > 0

A) B)

X

C)

D) Y E) r

% x

3. R epresente gráficam ente la relación R R = {(x ,y ) e R 2/y - x > 1 a |x | + |y | < 1}

A) Y B) Y

C) Y

D) Y E)

4. Sean los conjuntos

4 = j(x; y ) e R 2y / l^ > l j

B = {(x\ y) e R2/x 2+y2 < 1}

Halle el á rea generada por A n B.

A) 71 u2

° ) T U

n . . 2B) 2n u C) — u

E ) y u 2

24

, i li'lnivumiento UNI Álgebra i-^

*t lml¡(|Lie la gráfica de la relación

A) B) K*

C)

X

ID E) Y

# i nim io el valor del á rea de la región

tin icrada por la relación

l -((>; y) e IR x R /y > |jc+l|+|jnr—1| a |y | <4}

A) (l ii2

ID ■' u 2

B) 3 u 2 C ) - u 2

E) 4 u2

/ Indique la gráfica de la relación T.

I ((*; y) g R2/( x 2+y2- l ) ( y - x 2) > 0}

A) B)

C) Y

D) , Y ,

4 ?

E)

i- X

Programación lineal

Indique la región que determ ina las inecuaciones siguientes.

x + 2y < 10-2 x + y < 4 3x + 5y > 3

y > 0

A) Y B) YS

\

V

C)

D)

X

25

ci Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 2

2. Dada la función /'(x;y)=3x+4y, bajo las condiciones

x + y >10 3 x + y < 1 5

x > 0 y > 0

calcule su m ínim o valor.

B) 40 C) 50

D) 60 E) 75

* T

3. R especto al p rob lem a de optim ización lineal: M áx/(x;y)= x+ l,5y , sujeto a

x + y < 80 x + 2y <120 2x + y> 100 x > Ü A y > 0

indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. El punto óptim o es (40; 40)

II. Una solución admisible es

III. La región adm isible no es acotada.

B) W FA) V WD) FVF

C) VFF E) FFF

Un anim al d eb e tom ar d iariam ente9 un idades d e hidratos de carbono m ás 8 de grasas, com o m áxim o. En el m ercado hay dos m arcas de alim entos con la siguiente com posición.

Hidr.carbono

Grasas Proteínas

Marca 1 1 2 3

Marca 2 3 1 4

Calcule la can tidad n ecesariam en te de cad a m arca para que tom e el mayo núm ero posible de un idades d e proteí ñas.

A) 2 de m arca 1 y 3 de m arca 2B) 1 de m arca 1 y 4 de m arca 2C) 4 de m arca 1 y 3 de m arca 2D) 3 d e m arca 1 y 2 de m arca 2E) 2 d e m arca 1 y 2 de m arca 2

En una granja de pollos se aplicará uní dieta para engordar con u n a compc sición m ínim a de 15 kilos de una sui tancia A y otras 15 de una sustancia B En el m ercado sólo se encuen tran do clases de com puestos: el tipo I con un com posición de un kilo de A y ciño de B, y el tipo II con una com posició de cinco kilos de A y u n a de B. El preci del tipo 1 es de 10 soles y el del tipo l l es d e 30 soles. ¿Qué can tidades se ha d e com prar de cad a tipo para cubrir la necesidades con un costo mínimo?

A) 2 y 3D) 1,5 y 3,5

B) 1 y 4 C) 3 y 2 E) 2,5 y 2,5

G. Sea a el n ú m ero de d e c e n a s d e silla y b el n ú m ero d e d e c e n a s d e mesai que fab rica u n a e m p re sa en u n día Si la u tilidad d iaria e s tá d a d a pa f(a;&)=200a + 300¿> y se tien en las s¡ g u ien tes res tricc iones :

a + b< 4 2o + 36 < 10

4 0 a + 206< 120

calcule el núm ero de decenas de mesí y sillas, respectivam ente, que se deb fabricar diariam ente para que la utilida sea máxima.

A) 3 y 1D) 2 y 2

B) 2 y 3 C) 1 y 3E) 3 y 2

26

Hnfuí zumiento UNI_______ /■ _ Á lgebraih^

Sucesiones

Determine el n-ésim o térm ino de la«ucesión

1 J L L . J JL . 1r 16’ 6 4 ’ 256’ ]

A)

I»

2 " +1 '

2 n - \

4"

B)2" -1

4"C)

2n + l4"

2" E) j - 4 n

•'•,i {«(|} una sucesión tal que

«/„ 4; 0 | =6 y a n+i = V n > 1

l.illc el valor de o„

A) 4 B) 6

H f,poeto a la sucesión {a„} tal que2

1 + a,- ;a , = l

Indique lo correcto.

A) es oscilanteII) es creciente « ) «*s divergente I») converge a 2 I ) es constante

Determ ine el valor de convergencia de ln siguiente sucesión.

7 . 4. 29 46 12' 7 ’ 50 '78

A)B) 2 C)f

«i

5. Dada la sucesión {a,,} tal que10'u+n + l10 '

, halle el punto de con­

vergencia.

A) 1 B) 0

D) 10

C)1

10

E) 2

1,u > -g (2 * + 3), seDada la función /j

define la sucesión Sn+l=f(_Sn), donde

5 ]= 2 . D eterm ine el valor de lí m 5„.

A> 3

■»!B) 3 «I

E) 0

7. Considere la sucesión {an} de m odo que

o ,= 2; a2 = - \ o-,= l a a n = -------- ;V n > 41 2 4 3 " 2 n + 1

¿Qué e lem entos de la sucesión satis­

facen la inecuación \an - 2\ <

A) todos los e lem en tos de la sucesiónB) solam ente o , y o 2C) todos los elem entos, excepto o3 y o 4D) todos los e lem en tos a partir de a 4E) todos los e lem en tos a partir de a 5

Dada la sucesión

indique lo correcto.

A) crece ilim itadam enteB) converge a \Í5C) no es crecien te estrictoD) converge a 2,71828...E) crece, luego d ecrece

27

f \ Academiü César Vallejo _ Material Didáctico N.° 2

Series

1. Dada la sucesión

{3; 7; 13; 21; 3 1 ; o „ ; ...}30

calcule la sum a de an.n=1

A) 3850 B) 4720 C) 8240D )9950 E) 12 180

2. D eterm ine el valor de S.2009 2009

5 = £ ( 2 n 2-6 n + 3 ) -2 - X ( n 2-3 n + l)n=1 n=1

A) 2 017 036 B) 4016 C) 2009D) 1004 E) 0

3. Calcule el valor de convergencia d e la

serie ^ 2K=2

A) 8 D) 2

3-K

B) 16 C )4E) 12

4. Sea r un núm ero real tal que

si -1 < r < 1, en tonces

1 2 3 ll + r + r + r J +... = -----l - r

Con esta inform ación resuelva la ecu a ­

ción«. / , \K ~ , \K-l X n l | v i ( 1

A) 1D) {1}

B) -1 C) {1; -1 } E) {-1}

5. Sea ¿ (3 rc 2)* una serie. Indique suK=1

valor de convergencia.

28

A) 1

D)

B ) -n

71 — 3

O —T

E)71 — 3

6. D ada la sucesión a,n 3 n (3 n - ¡ )~

calcule ^ aK en caso d e ser convek=o

gente.

A) 2C> - 3

D)- E) 1

7. Dada la serie y——— , indique paK =0^ + 1' !

q u é valores de x la serie es co n v eJ

gente.

A )x e (-1 ;1 )B) x e R +C) x e R~D ) x e RE) nunca converge

8. D eterm ine el valor de verdad de

siguientes proposiciones.

1I. ^ ——- es divergente

K +1

II. ^ es convergenteK=\ K

III. ¿ -7 = es divergente

A) V W B) FFF C) W FD) F W E) FFV

i M»«lui7Mtniento UNI . _ Álgebra ^

Matrices

I V .i A - (o,y)3x4 una matriz definida por

I ij si / > y

' \i + j si / < y

( «tic ule- el valor de a i2a 33a 41.

B) 60A ) IK II) 108

I imliis las m atrices

C) 72E) 124

1 I 2 ' '4

OT

A - 1 2 4 y B = 3 2 -1

, 3 1, ,0 5 -2 ,

liiillr l.i matriz (2A-3B ) e indique su traza.

B) 2A ) (l D ) 4

C) 4 E) -2

N--

liic l.is las m atrices3 O'i-1 2

• •>

I 5 'i-I 03 2,

M G

• iilnilc la sum a de los e lem entos de la• iliima colum na de la m atriz (AflV-P).

A ) 4 I» 12

B) - 4 C ) - 6 E) 0

11 illr el e lem ento o 22 de la matriz A.

Y 2 Y)

1 ((3 4 5)(2 3 1))

310

( 3 10

v v 3 ,

A )(68) ID (23)

B) (64) C) (39)E) (35)

M =

Dada la matriz

V 21 2 ;

U x - 2 - ,

calcule el m ayor valor de xy si se sabe que la traza de la m atriz e s 1 y el p ro­ducto de los e lem en tos de su diagonal secundaria e s -16 .

A) 16 D) 2

B) 8 C ) -4E) -1 6

6. Sea /l = (o ,y )3)<3 una matriz de m odoque

0 si / > ja¡i j l si i < j

D eterm ine la traza de la m atriz / l 10.

B ) 1A) 0 D) 3

7. Si la matriz A -

calcule un valor de abx.

B) 0

C) 2 E) 10

es involutiva,

A) 1 D) 2/

8. Dada la m atriz A

O iE) -2

- c ; )donde x

e y son diferentes y no nulas, si A es

idem potente, calcule el valor de x+y.

A) 0 D) 3

B) 1 o - lE) 2

9. D ada la función AM = x 2- 2x+3 y la

m atriz A = f 1 1 halle traz(/^)).

A) 1 D ) -

0 \ j

B) - 2 0 4 E) 0

29

f - \ Academia César Vallejo ^ _ Material Didáctico N.° 2 i

Determinantes

Si a + b + c= 0, calcule el de term inante de la m atriz M.

a + c a b a + b b c b + c c a

A) a+ b+ cB) a2+b2+c2C) ab+ bc+ acD) abeE) a 3+b3+c3

2. Dadas las m atrices

-G ;) * -(i s)si P es una matriz d e m odo que

MPN5=(MN)2, calcule el valor de |P |,

A ) 9 B ) 8 l

D) 9

3. Dadas las m atrices

C)1

E) 2

a b c ' ' - a - b - c 'A = d e f A B = 3 d 3e 3 f

,8 h i j - 8 - h - i ,

calcule el valor de |det(,4)-B | si |/41 =2.

B) 48A) 12 D) 54

C) 36E) -4 8

Encuentre los valores de a d e m odo

que la matriz A

sea invertible para todo x e R.

A) | a ) < 2 B) |o | < 2 C) | a | > 2D) |a | > 2 E) |a | = 2

30

5. Calcule el valor de

1 1 1a b e

a3 b 3 c31 1 1a b e

K) a + b -c B) a+ b+ c C )a -b + c D) a - b - c E) a+b+2i

6. Calcule el de term inan te de la m atrizj

A ) -1 6B) -1 2C) - 4D) 0E) -2 4

( \ 0 0 11 2 5 13 2 3 10 0 0 4

7. Sea A una matriz de m odo que

[\A\ U l,

Calcule la traza de la m atriz A~

A) 6 D) 2

B) 0 C ) - 2 E) 1

SeaA una m atriz no nula d e m odo qm|

—■(i!)calcule la sum a de los e lem en tos de m atriz A '1.

A) -1 B) 0 C) 1D) 2 E) 3

Calcule la traza de la inversa de la ma triz A.

a e R '1 2 0 'A = 2 5 2

,0 2 3 y

A) 25D) -1 4

B) - 3 C )-1 5E) 3 /T 1

, Hnliiiymiiianto UNI Álgebra h

(¡ráfica de relaciones

I indos los conjuntos

A j (x ;y )e R 2/ ^ < x < 2 y }

/( ((x; y) e R2/y + l < x 2}

iml|(|ue el conjunto que rep resen ta la

M'Hlún som breada.

PRACTICA DOMICILIARIA

A) Y

A) A -B 11 ) A u B

B) B -A C) A n B E) (A n B)c

I I >H gráfico m ostrado»l / , ( |- x + a y g M =x2+ ax+ m , calcule el

Vnlor d e m .

A)11)24

B) 8 C) 16 E) 25

lindos los conjuntos A ((x;y) e R2/x > y 2}II {(x; y) e R2/x < y+2} di'li'rm ine gráficam ente A n ü .

B) Y

C) Y

E)

4. Sea el conjuntof í= { (x ;y )e R2/x 2+y2< 9 a y > x 2} R epreséntelo gráficam ente.

f \ Academia César Vallejo^ __ Material Didáctico N.° 2

5. D eterm ine la región que rep resen ta la siguiente relación.A = { (x ;y )e R x R /|x | + |y | >5 a xy>0}

C)

MX

D)

6. Halle el á rea de la región form ada por el conjunto A.A={(x;y)G R2/ l < ( k | - 3 ) 2+ ( |y |-3 ) 2<4}

A) 3rc i rB) 671 u 2

C) 9ji u 2

D) 12jiu2

E) I 671 u 2

7. Indique la gráfica de la relación A.A = {(x;y)eR 2/ |x 2-y | < 1}

A) B)

müm

E)

Programación lineal

El sistem a de inecuaciones

x - 3 y < 6 2x + y > 4

x + y< 6 x > 0

y > 0

determ ina en el plano cartesiano un región R. Indique la alternativa correcta

A) R es una región triangular.B) R e s una región cuyo borde es u i|

cuadrado.C) R es u n a región cuyo borde es ui

cuadrilátero.D) No existe la región R.E) R es un cuadran te .

D ada la región convexa definida por sistem a de inecuaciones

x + y <7 2x + y <10

x > 0

y > 0

m axim ice en d icha región la funcidfuU:y)=30x+20y.

A) 130 B) 140D) 160

C) 150E) 170

32

Ilnlurzamiento UNI __Álgebra i-.

Resuelva el p rob lem a de program ación linealM áx/(x; yj= 5x+ 2y sujeto a

x + 3y < 240 7x + y< 280 3 r + y > 60

x > 0 y >0

A) 340 l>) 180

B) 280 C) 290E) 270

( 'on respecto al siguiente p roblem a de program ación lineal M áx/(v;y)=40x+20y sujeto a

v i y < 8 2* + y < 10

x > 0 y >0

indique el valor de verdad de las siKiiientes proposiciones./> l.a solución óptim a es única, i/ I lay m ás de una solución óptima, i : (4; 3) es una solución adm isible.

A) VFV It) VFFC) F WD) FFVII) FVF

Un orfebre fabrica dos tipos de joyas.I a-, del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g 11’ plata, las cuales vende a 40 soles• H la uno. Para la fabricación de las■ le Upo B em plea 1,5 g de oro y 1 g de piala, y las vende a 50 soles. Si el orfe- IHe llene sólo en el taller 750 g de cada illio de los m etales, calcule el beneficio m asinio c|ue el orfebre puede obtener.

A) S/. 30 000B) S/. 34 000C )S/. 15 000D) S/. 24 000E) S/. 27 000

13. Una fábrica p roduce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de m ontaje y sección de pintura. El ar­tículo A requiere una hora de trabajo en la sección de m ontaje y dos en la de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de m ontaje y una hora en la de pintura. La sección de m onta­je solo puede estar en funcionam iento nueve horas diarias, m ientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El b e ­neficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 soles y el de A es de 20 soles. Calcule el m áxim o beneficio que se pu ed e o b tener en un día de p ro­ducción.

A) S/.120B) S/.140C) S/.160D) S/.100E) S/.130

14. Sea ffá un polinom io lineal de coefi­cientes reales tal que verifica lo si­guientef(0 e [1; 2] y /(2) e (2; 3]

¿En qué intervalo se encuen tra V

A) [-3 ; 2]

B) [2; 3]

C) [-1; 2]

D )Í2; -L 2

E) [3; 4]

33

/H Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 2 i

Sucesiones

15. Halle el valor de convergencia de la sucesión (a n) si su térm ino enésim o es

l 3 n l a " ~ 4 n - \ '

A) | B) 1 C) 0

d>7 E)f16. Sean x un núm ero real y {a„} una su ce ­

sión definida por an =s[n3 +n2x - n .

Calcule lím a n.n—>+°°

A) 5 B )- Q x

D )l E ) I

17. Dada la solución {an} definida por o , = 2

a „ 4 ( 2 a „ - , + l) : V n > 2

calcule lím an.n—

A)!D)I

b)í c)!E) no existe

18. Dada la sucesión (on) de m odo que 1 + 2 -10"

a " ~ 5 + 3 -10n calcule lím an.

n—*°°

*>! C )1

D )2 E) 3

19. Dada la sucesión (x„) de término general

x„ =V3

; n e N

calcule el valor de (jCe-xA

A) 3/4B) 1/4C) 11/2D) 3/2E) 11/4

20. Dada la sucesión {xn} tal que

* 1 = 1 y x n+i = \ + ^ - , V / ? > 1

calcule su valor de convergencia.

A )l + V5 B) C ) S + 3

D)V5

2 2

E) diverge

21. La sum a de los n + 1 prim eros térmi: de una progresión geom étrica está da< po rS n=5(2n+ ,- l ) ; en tonces, indique térm ino de lugar 6 de la progresión.

A) 160 B) 320 C) 80D) 200 E) 120

22. Dada la sucesión {an} con

‘- IK Ideterm ine su valor de convergencia.]

A) 1 B) e

D)-e - 1

C)

E)

e -1

e 100 -1e-1

23. Halle el valor del siguiente límite.

Km í - 4n->+~Vf7

A) 0

D , f

B) 1 C ) -e

34

rhuliir/amiento UNI Álgebra Hv

Series

M Se sabe que F(r) = —=----- . D eterm ine elx ¿ + x

v.ilor de la sum atorian=1

A ) - j - B ) — C ) — 10 10 11

D) 1 E) —10

>11 Se cum ple que

^ ( ( )K 2 +aK) = n (n + \)(bn + 5)

D)¿B) 4

29. Calcule el valor de la serie

Y 3* +5*

¿1 (15)*

«! «i c,iD)

1E)

( alcule el p roducto ab.

A) 16 B) 12 C) 10D )8 E) 6

/II I )i ‘term ine el valor de convergencia dela serie

, 10 20 36I f ---- 1------1------- h ...24 96 320

A); B) 1 C) 3

E) 2

II Indique el valor de convergencia de S.

8 34 152,S ~------1---------- i------------ h ...

15 225 3375

«I B>!">3

C)-

«i■'11 I leterm ine el valor de convergencia de

l,i serie

f e )

30. Halle el conjunto d e valores reales de x de m odo que la serie (X2 - 1 ) + (x2 - 1 ) 2+ (x2 - 1 ) 3+.. . sea convergente.

A) (-V 2; V2)

2 ’ 2

7¡D )(-V 2; V 2)-{0}

E ) ( - V 2 ; V 2 / - (0Í

31. Indique el valor d e verdad de las si­guientes proposiciones.

„2p : La serie £

2 "

\ n\es convergente.

q : La serie z(!S)r : La serie ^

s¡2n + \

A )V W D) FFV

B) F W

es divergente.

es divengente.

C) FFFE) VFV

35

/H Academia César Vallejo _ Material Didáctico N.° 2

Matrices

32. Dadas las m atrices

^ = (a,y)2x3 Y ® = 0 ,jf)2x3de m odo que a¡¡=i+j a f t , y = ( - l ) i +j

halle A+B.

A)

D)

3 2 52 5 4

3 1 4 2 4 3

, ( 3 4 5 ) (3 2 4^ B) (4 5 4 J [2 4 3 j

E)3 2 5 2 5 3

33. Sean A y B dos m atrices de m odo que

(3 4^ (1 0, + 2S = (6 , ) . A - 2B ^ 1

Calcule la traza de la m atriz AB.

B) 6A) 5 D) 8

34. Se tienen las m atrices

a J

C) 7 E) 9

-1 3 >( 2 3 4 \

A B = 4 2l - l 2 - l j

,1 - l

Calcule la traza de la m atriz AB.

B) 22A) 10 D) 16

C) 14 E) 12

35. Sean las m atrices

A = IO ,y ] 2 x 3 i f l = lbijUx3 Y C=[C,j]4x2Indique el valor de verdad de las si­guientes proposiciones.I. 3 M ) tal que M , =AB'II. 3 M2 tal que M2=B'+ACIII. 3 M3 tal que M3=kB+CA, t e R

A )V W D) F W

B) VFV C) FVFE) VFF

36

36. Dadas las m atrices

( \ 2 n

A = 4 0 5 3 1 -2

y B = diag f i ; i ; 12 5

halle la m atriz x si se sabe qu<

(AB)T+ x= 2(B T+A).

Dé com o respuesta el producto de lo

elem entos de la diagonal principal de x.

A)

0 , 1

B) 0 C) 3

37. O btenga el m áxim o valor que pued tener la traza d e la m a tr iz ^ 2.

1 senO 'j^ 1 1 cosO J

A) 2 B) 1

D) 3

«1E)

38. Calcule la traza de la m atriz An si sabe que

i ’ :)A) 2 D) Í7 + 1

B) C) n E) 0

39. Determine el equivalente de la expresic

i ( / + A) - U - A )l_2

si se sabe que A es u n a m atriz involu va y 0 la m atriz nula.

A) 0D) A

B ) / C ) 21

E) A + l

rAlgebra

40. Con respecto a la matriz

A =1 1 35 2 6

-2 -1 -3

indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. p : La matriz es involutiva. q : La matriz es idem poten te . r : La matriz es nilpotente de grado 2. s : La matriz es nilpotente de grado 3.

A) VWF D ) FFFV

B) W FV O V FFV E) FFFF

41 Si la matriz A = \ ^ * ^ + M e s sin- l 2 3 J

A) x+ y+ z

B) 0

C) xyz

D) xy+ yz+ zx

E) (x+ y)(y+ z)(z+ jf)

44. Resuelva la siguiente ecuación.

x - 3 0 02 x - 2 0 1 0 1

A) {2} B) {2; 3} C) {5}

D) {0} E) {1}

45. Dada la matriz

guiar, entonces, ¿cuál es el valor de x ? ' i i r

A) 4 B) 1 C ) - 4M(a-,b-c)~ a 2 b 2 c2

y b 3 c \

D) 2 E)1 halle un factor prim o de \M\

Determinantes

4/ Determ ine el valor de

sabe que

x + a 1 x + 2 a 2

si se

I 1 1<i x + a l + o b x + b 2 + b

= 2

A) 1D) 3

B) 0 C) 2 E) 4

411 ( alcule el de term inan te de la matriz T.

2x x + y x + z '/' x + y 2 y y + z

vx + z y + z 2 z J

A) ab+ bc+ ac

B) a+ b+ c

C) abe

D) a2+b2+c2

E) (a+£>)(£>+c)(a+c)

46. Calcule el de term inante de la siguiente

matriz.

1 2 3 9 11 3 4 71 4 5 51 5 5 7

A) 1 D) 12

B) 2 C )0 E) 36

37

/-t Academia César Vallejo

47. Si A e R 2*2 es tal que A

calcule la traza de la m atriz A

A) 9 D) 6

B) 8 C) 7 E) 10

Dada la m atriz A■ c ; )

calcule el

valor de x + y si se sabe que A =A.

A) -1 B) - 2 C) - 3

D )0 E) 4

49. Dada la m atriz involutiva

« . ( ; - 3 ) ; * , v

indique lo correcto.

Material Didáctico N.° 5

A) M~

B) M no tiene inversa.

C) det(A f)=l

D) traz(iW) = 1

( -2 3 -1 2

E) M--

50. Calcule la sum a de los e lem en tos de la |

m atriz x si se sabe que

1 0 ^ (2 1 0 x =

0 2

A) 11

1 -1 5

B)11 C )5

E) - 6

38

Geometría del espacio I

I I )c las siguientes proposiciones, de te r­mine la relación correcta.I Si un plano contiene dos rectas se ­

cantes, paralelas a un segundo pla­no, en tonces, am bos planos son pa­ralelos entre sí.

II Por un punto exterior a u n a rec ta se puede trazar un p lano perpendicu­lar a esta y solo uno.

III Sean dos rectas S ¡ y está contenida en el plano P, en tonces, si 2?2 es perpendicu lar a es tam ­bién perpendicu lar al plano.

A) W F B) V W C) VFVD) FFF E) F W

} Sr tiene el ángulo AOB ubicado en un plano; exteriorm ente a dicho pla­no se ubica el pun to P, d esd e el cual

trazan las perpendicu lares PM y l'(J a los rayos OA y OB, respecti­vam ente. Calcule MQ si se sabe que111 <OMQ = 45°; OM = 4^2; PM= 10 y el .mgulo form ado por PM y el plano que contiene al ángulo AOB m ide 45°.

A) 2 B) 6 C) 8l»<) E) 12

I l’or el extrem o B del diám etro AB de mía circunferencia se traza BE perpen- illciilar al p lano que la contiene. En la circunferencia se ubica el punto N d e m odo que AE=29 y A N =20, Calcule el .iira de la región triangular ANE.

A) 105 B) 160 C) 190I)) 200 E) 210

4. En el gráfico m ostrado, AF es perpendi­cular al p lano Q, y está conten ida en d icho plano. Si A B = 9 y F£=41, calcule MN. C onsidere que FM=ME y AN=NB.

D) 23 E) 24

5. Por el vértice A de un triángulo equi- látero ABC de lado 6, se traza AH per­pendicular al plano que contiene a d¡- cho triángulo. Si la m ed ida del diedro H-BC-A es 60°, calcule la distancia del punto A hacia el plano que contiene al triángulo HBC.

A) 1 B) 3 C) 3,5D) 4 E) 4,5

6. Una hoja rectangular ABCD se dobla por AC de m odo que la nueva posición de B es B 'y B'D=(CD) ( S ) .Calcule la m ed ida del diedro B'-AC-D si se sabe que BC=2(AB).

A) 60°B) 30°

C) arccos ( - |UJD) arccos \ — |UJE) 53°

39

7. En el gráfico m ostrado, la c ircunferen­cia y el triángulo rectángulo se en cu en ­tran ub icados en planos perpendicu la­res. Calcule BO.

¡ - i Academia César Vallejo ^ ----------------------------------- __Material Didáctico N.° 2

A) 5 D) 6

B) 7 C) 8 E) 9

A) 3^2

D) 6sÍ2

B) 4V2 C) 5V2

E) 8V2

Geometría del espacio II

Según el gráfico m ostrado, y '£ 1 son rectas a labeadas. Si AF es la dis­tancia entre am b as rectas, AF=20; BE = x/449; BC=2(AB) y £ D = 2(£'/•'), Cal­cule CD.

A) 22 D) 29

B) 24 C) 26 E) 31

En el gráfico m ostrado, BP y DL sor perpendicu lares al p lano que contiene al cuadrado ABCD. Si PQ=BQ - DL = n/5 y CD = VlO, calcule la distancii en tre A Q yP L .

A) 1

D) V3

B) 2 C) J2

E) 1,5

4. En un ángulo triedro O-ABC, las ruedi- das de las caras AOC , AOB y BOC sol 45°, 45° y 60°, respectivam ente. Calcu le la m ed ida del diedro OA.

En el gráfico, se m uestran las rectas a labeadas CD y AB , adem ás, M y N son puntos m edios de AC y BD. Si C D - 10, AB=16 y la m ed ida del ángulo que form an CD y AB e s 60°, calcule MN.

A) 45°B) 30°C) 60°D) 90°E) 120°

40

Hnforzamiento UNI _____________________ ________ ____Geometría h.

I So tiene un ángulo triedro trirrectángulo O-ABC, tal que AB = J 34; AC = J 5T y liC=5. Calcule la m ed ida del diedro que form a la región triangular ABC con la cara BOC.

A) 37°

U) 45°

I O a r c t a n g )

( 25D) arctanl —

I ) arctan( I )

Prisma

En un prism a pentagonal regular ABCDE-A'B'C'D'E', calcule la razón de las distancias de D y A' a BE'.

A) 1

D) ^ + 1

B) 2 C) 75 -1

E) V5

En el prism a recto de base rectangular ABCD-EFGH, m<EMB=90°\ HM=A cm y CAÍ=9 cm . Si la distancia de A a EB es 5 cm , calcule el volum en del prisma.

I I n un triedro O-ABC, los diedros ()C y OB son com plem entarios.Desde A se traza las perpendiculares AM, AN, y AP a las rectas OC, OB y al plano BOC (respectivam ente).Además, OM=m; ON=n.( alcule la m edida del ángulo que form a< >A con el plano BOC, si m 2+ n2=3m n y m<BOC=90°.

A) :¡7°B) 30°C) 53°D) 60°E) 45°

I I ii un triedro O-ABC, la m ed ida de la..... i AOB es 45° y las m edidas de losiingulos diedro A-OB-C y A-OC-B son■ I" y 76°, respectivam ente,

i alcule la distancia de O al pie de la pn p en d icu la r trazada desde A hasta n r s i o,4 = 5V2.

A) 390 cm 3 B) 330 cm 3 C) 360 cm 3D) 180 cm 3 E) 240 cm 3

3. En un hexaedro regular ABCD-EFCH, O y O, son centros de ABCD y EFGH, respectivam ente, adem ás, M, N, P y Q son puntos m edios de CD, BC, EH y EF, respectivam ente. Calcule el á rea de la superficie total del prism a MONC- PEQO\ si la arista del hexaedro es 2 m.

A) (i B) 7 3 3 C )7

D) v/34 E) 3Vf¡

A) 2 + V2 B) 2 + 275 O 2 + 3V5

D) 3 + 2V5 E) 2 + 4>/5

41

¿-i Academia César Vallejo .-----------------------------——

4. En el gráfico, calcule el valor de 0 si al desarro llar la superficie lateral del prism a cuadrangular regular resulta una región cu ad rad a y la línea ABCDE es diagonal del desarrollo.

Material Didáctico N.° 2

A) 60° D ) 105° E) 120°

5. En un prism a triangular regular ABC- A 'B 'C ',M yN son puntos m edios de A B y /ÍC. Si la m edida del ángulo que determ i­nan NB' y MC' es 0, calcule el volum en del prisma. Considere que MC'=NB'=d.

A) A 204sen —

B) i d 3 eo s2 ^ 3 - 4 eo s2 |

C) - d 3se n 2 9

D) - d 3eo s2 9

4 eo s2 -

-J3 - 4 s e n 2-

En un prism a hexagonal regula ABCDEF-A'B'C 'DE 'F\ la distancia entro B ' /•" y FC' es 2 u. Si el lado de la basa tiene longitud a y la altura del prisma

1 1H-----9

he s h, calcule — +

A) 0,5 D) 0,1

B) 0,25 C) 1E) 0,016

En un prism a cuadrangular regul^ ABCD-EFGH, si M , N y Q son puntos me dios de EH, G C y A B , respectivam ente^ adem ás, el p lano de term inado por es tos puntos form a un ángulo de 76° cori las bases del prism a, calcule el á rea da la sección que determ ina este plan al in tersecar al prism a. C onsidere qud AD = 2\Í2 cm.

A) 3V Í7cm 2

B) 4%/Í7cm2

C) 6V l7cm 2

D) 8\/T7cm2

E) 12VÍ7cm2

Cilindro

En el gráfico, si d= 4 y 0=53°, calcule ^ volum en del cilindro circular recto.

A) 64nD) 128ti

B) 96ti C) 104ti

E) 192ti

42

r~i IMorzamiento UNI .Geometría

Los centros de las bases de un cilindro de revolución son vértices de un tetrae­dro regular, y los otros dos vértices se en ­cuentran sobre la superficie lateral del< ilindro. Calcule la razón entre las áreas de las superficies de dichos sólidos.

A) n(2 + S )

B) f ( 2 + V3)

C) | ( 2 + V3)

ü) 2jt(l + V3)

i I I cilindro circular recto está inscrito en el prism a ABCD-EFGH. Si AB+GH=4r, calcule la razón entre las á reas de las Miperficies totales de dichos sólidos.

AJÍ B) 2n

C) 2 + rc

2tc

E) 2-v/n71+ 1

En el cilindro de revolución, calcule el á rea de su superficie lateral si AH=rn; HP=n.

D

A) n (m + n )\l m 2 + m n

B) n (m + n)\¡n2 + m n

C) n(2m + n ')\lm 2 +rnn

D) 7t(2m + n ) \ lm 2 + n 2

E) 2n(m + n )y lm 2 + n 2

La región som breada se enrolla ha­c iendo coincidir AB y DC, form ándose una superficie lateral hu eca de un ci­lindro circular. Calcule el á rea de la pro­yección ortogonal d e la región MNPQ sobre la sección axial paralela al plano MNP si BC=4NP-4n y CD=2(AÍ/V)=4V2.

A ) V2

D) 8

B) 2V2 C )4

E) 8V2

43

-

6. En el gráfico se m uestran dos cilindros de revolución. Si se vierten en am bos y al m ism o tiem po la m ism a cantidad de un líquido, indique cuál es la grá­fica de función co rrecta de volum en (V) y altura (/?) de los cilindros.

/H Academia César Vallejo ^-------------------------------— Material Didáctico N.° 2

fC Di

.......\j

c2

f-QH— 3 a — I h \—o —\—2 a —\ h

D)

\—Q—\—2a—1 h

E)

Cl r v/ 2 c,

h Q-l— 3a— 1 h h

En el gráfico se m uestra un cilindro circular, cuyo radio de la base es 8. Si MN=&\Í2, calcule la longitud del m eno r recorrido por la superficie del cilindro de AM+MN+NB.

T71. vfi

A) 871

B) 9n

C) V5 + S\Í2

D) 5n + S\Í2

E) 8n/2 + tiU /5+ 2> /2)

Pirámide y cono

En el gráfico se m uestra un cilindro del revolución, donde BD es u n a generatriz Si m AD = m B C = 120° y el volum en d o | la pirám ide A-BCD es ~J3, calcule el ve lum en del cilindro.

.X

A) 371B) 4nC) 5nD) 671E) 8tc

D

En el gráfico se m uestra una pirám ida regular. Si m </lV F=30o; AB = 2y¡2-\Í3 y DM=ME, calcule la longitud del meno recorrido para ir de A hac ia M a través d la superficie lateral.

A) 5^2 - J 3 B) \l3 + \Í3 C) ^4 + V3

D) 2V2 + V I E) 3 ^ 4 -V 3

44

, fUilorzamiento UNI ............................................. .. .............. .................................. ...... ............... _ Geometría t-.

En el gráfico se m uestra un tronco de prisma. Si los volúm enes de las pirám i­des F-ABC y B-DEF son V , y V 2, ca lcu le el vo lum en d e la p irám id e A-FDB.

A) V | ^ B )V ,+ V 2

D)

C )V ,-V 2

E) v ,+ w 2

Según el gráfico, el sector circular y la región triangular son el desarrollo de la superficie lateral y la sección axial de dos conos. Calcule la razón de sus vo­lúm enes.

A) >/30 32

D) 3n/1~5 32

B) V30 40

C) t i ü 25

E) V30 25

l 'n el gráfico se m uestra un cilindro de revolución de volum en V . Calcule el volum en del cono.

A) - V7

B) - V

4 .D) | v

E)18

En el gráfico se m uestran un cilindro recto y un cono de revolución.SiA 6= V5 y/?=2, calcule el volum en del cono.

A) 5it

B) 16n3

C)17rt 3

D) 6it

E) 19tc

3

Se tiene un tronco de cono de revolu­ción, donde la razón de á reas de las b a ­ses es de 1 a 4. Calcule la razón de vo­lúm enes del tronco de cono y un cono cuyo vértice es el centro de la base m a­yor y cuya base es la base m enor del tronco de cono.

A) 1/6 D) 2/5

B) 1/7 C) 1/8 E) 2/9

Esfera y teorema de Pappus

Se tiene una zona esférica de una base en una superficie esférica de radio R. Si la sum a de á reas de la zona esférica y su base es 7/16 de la superficie esférica, calcule la altura de la zona esférica.

A) R/SD) R/2

B) R/4 C) R/3E) R!6

45

2. Se tiene una esfera donde su volumen es num éricam ente igual a la superficie esférica. Si el área de un huso esférico es la sexta parte del área de la superfi­cie esférica, calcule el volumen de la cuña esférica correspondiente a dicho uso esférico.

¡~\ Academia César Vallejo ^--------------------------------- Material Didáctico N.° 2

A) 4ji

D) 12nB) 6ji C) 9ti

E) 8n

En el gráfico, si m AM = 37° y AB=10, calcule la diferencia de vo lúm enes de los sólidos generados por las regiones sombreadas al girar 360° alrededor de AB.

A)

D)

152ti

3

158ti

B)155ti

C)

E)

157ti

3

160ti

4. Se tiene un tronco de pirám ide circuns­crito a una esfera, cuyas bases son re­giones cuadradas. Si los perím etros de las bases sum an K y el producto de las longitudes de dos aristas básicas dife­ren tes es N 2, calcule el volum en del tronco de la pirám ide.

n (n 2 + k 2)A)

B)

C)

48

n (k 2 + \ g n 2)

48

K 2(K 2 - 4 N 2)

16

D)

E)

k (k '¿ - 4 N 2)

16

/V2(K2 +4/V2)

32

En el gráfico, AE - 5 y BD=4. Sil AM=3(MD)=3(MC'), calcule el volu-, m en del sólido generado por la regiónj som breada al girar 360° alrededor da AD-

Calcule el á rea d e la superficie d c f sólido que resulta al girar la re g ió * som breada 360° respecto del eje (£ ^ A 0 = 0 0 \= 0 \B = R .

A) 27i/?B) 3tiR2C) 2 j2 n R 2D) 4tiR2

E) 4 tin/2R 2

En el gráfico, ABCD y EFCH son cu.i drados. Si CA=&(AE) = 2 y (GE)= 8\/2l calcule la distancia del centro ide de l^| región som breada a CD.

A) 11/2B) 11/3C) 5/2D) 7/2E) 7/3

46

PRÁCTICA DOMICILIARIA

i Roforzamiento UNI ............................................. ............. ................. ........................... ............._ Geometría h \

Geometría del espacio I

I, Dado el rectángulo ABCD, por los vérti­ces B y C se trazan las perpendiculares BE y CF al plano que con tiene al rec tán ­gulo. Si AF=42; ED= 40 y el segm ento que une los puntos m edios de AE y FD m ide 29, calcule la m ed ida del ángulo que forman las rectas alabeadas AF y ED.

A) 30° L)) 90°

B) 60° C) 75° E) 120°

A) \¡7

D) 3^6

B) 3%/7 C) 6n/7

E) 3

Dado el ángulo d iedro P-AB-Q, se ubi­ca el punto E en tre las caras P y Q, que distan de d ichas caras 675 y 12, res­pectivam ente. Si la distancia del punto E hacia AB es 15, halle la m ed ida del ángulo diedro P-AB-Q.

A) 97°30' D) 22°

B ) 128° C) 116°30' E) 129°30'

J, Sean las rectas ortogonales y jí?2, en c/ ' x se ubican los puntos A y C; en J se ubican los puntos B y D. Si AB

es la distancia entre SBX y donde AB=4 y D C - -JT2 , calcule la distancia entre los puntos m edios de BC y AD.

6.

a) V7D) VÍ4

B) 2 C) 4 E) 3^2

1 I n un triángulo equilátero ABC, por el

vértice C se traza Uña perpendicu lar al

triángulo hasta un punto D. Calcule el

perím etro de la región triangular ABC,

ile ¡ncentro/, adem ás, (BD)2-Q D )2 27

A) 2 l>)8

B) 4 C) 6 E) 9

i I I radio de la circunferencia circuns- ( rita a un triángulo equilátero ABC es 2v/3, y por B se traza la perpendicular III. al plano que contiene al triángulo. Si H E - 1, calcule el á rea de la región li ¡angular/4£C.

Por el incentro / de un triángulo rec tán ­gulo ABC (recto en B) se traza IM, p er­pendicular al p lano que la contiene, tal que el á rea de la región triangular MBC es 30 y dicha región form a con el plano que contiene al triángulo ABC un diedro cuya m ed ida es 53°. Si la m <fiC 4=37°, calcule AM.

A) 31 D) V6Í

B) 41

7. Dé el valor de verdad de las siguientesproposiciones.I. Las intersecciones de dos planos

paralelos con un tercero son rectas paralelas.

II. Si una recta es secan te y no perp en ­dicular a un plano, en tonces, existe m ás de un p lano perpendicular al anterior que contiene a d icha recta.

III. Si dos rectas son alabeadas, en to n ­ces, solo se pu ed e trazar una recta perpendicular a am bas.

A) VFFD) W F

B) VFV C) F WE) V W

47

/ - i Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 2

Sean un cuad rado ABCD y un trián­gulo equilátero AEB que p ertenecen a planos perpendiculares. Calcule la distancia entre AB y EC si se sab e que BC = s¡21-

A) 3 D) 6

10.

B) 4

11.

C) 5 E) 7

Si los planos que con tiene a los cuad ra­dos ABCD y AQPB son perpendiculares, calcule el á rea de la región triangular OMN. Considere que M y N son puntos m edios d e BC y CD, respectivam en­te, O es centro del cuad rado AQPB y A B - 2V2.

A) n/2 D)V5

B) V3 C) 2 E) V6

Geometría del espacio II

Un cuadran te AOB y una sem icircunfe­rencia de d iám etro AO están en planos perpendiculares. Si en la sem icircunfe re n d a se ubica el punto C; AB - 2\/7o y mOC = 120°, calcule la distancia entre A B y C O .

A) 0,8 D) 1,5

B) 1 C) 1,2 E) 2

Si los cuadrados ABCD y ABEF se ubi­can en planos perpendiculares, cuyos centros son los puntos P y Q, respecti­vam ente, calcule la distancia entre PQ y CF. Considere que AB=4.

A) 1 D) V3

B) 1,5 C) y[2 E) 2

1 2 .

48

A) 60°

D) 106°

13.

Se tiene un ángulo triedro O-ABC, donde b= c= 45. Si 0 4 form a con la cara BOC un ángulo cuya tangente es

^ i calcule la m edida de la cara BOC. 2

B) 90° C ) 120°

E) 74°

Se ubica un punto P en el interior de unj ángulo triedro trirrectángulo O-ABC. SI las d istancias de P a OA, OS, OC son a j b y c, calcule OP.

A) \la 2 + b2 +c

B)\Ja2 + b2 + c2

C)a 2 + b 2 + c2

D) ^ 2 (a 2 +¿>2 + c 2)

E) a 2 + b 2 + c2

14. Se tiene un ángulo triedro O-ABC d onde las m ed idas de las caras AOC BOC y AOB son 60°, 60° y 90°. Calcule 1J m ed ida del ángulo que form a OC con la cara AOB.

A) 30° D) 37°

B) 45° C) 60° E) 53°

15. Las caras de un ángulo triedro mideni| 45°, 45° y 60°; adem ás, se traza un pial no secan te y perpendicu lar a la aristal com ún a las caras de igual m edida. SI | la distancia del vértice del triedro alj| p lano secan te es 4, calcule el á rea do la sección de te rm inada en el p lano se can te por el triedro.

A) 6D) 12

B) 8 C) 10E) 16

^ Reforzamiento UNI ^ _ Geometría t-^

Prisma

En el prism a pentágonal regular, , cosG

calculecosd

A) -1B) 1C) \Í2

D)

E)

7 5 - 12

75+ 1

Si la diagonal del desarrollo de la super­ficie lateral de un prism a cuadrangular regular es 10 u, calcule la superficie total del prisma. Considere que su altura es el triple de la longitud del lado de la base.

A) 48 u2 D) 60 u2

B) 52 u 2 C) 56 u 2 E) 64 u2

El desarrollo de la superficie lateral de un prism a cuadrangular regular e s un cuadrado inscrito en una circunferen­cia de radio R. Calcule el volum en delsólido.

A)

D)

R 3J 2 2

R 3J 2 16

B) /?3V2 C) R 3\¡2

E) _ 8

IJn prism a recto tiene por bases cu a­drados inscritos en circunferencias de r.idio R. Si el á rea de la superficie late­ral es nR 2 calcule la altura del prism a y el volum en.

h) riR\]2 n R 3J 2 4 ’ 8

B nR\Í2 n R 3j 2 8 ’ 4

C) nR\J2 n R 3sl2

21.

D) nRy¡2 nR 3j 24 4

E) nRs¡2 n R 3J 28 8

2 0 . La base de un paralelepípedo recto es una región paralelográm ica de lados a y b (a * b) y ángulo de 60°. Calcule el volum en del paralelepípedo si la lon­gitud de su m enor diagonal e s igual a la longitud de la diagonal m ayor d e la base.

A)

B)

C)

V4(ab)36

(a b )3~~~2

M a b ) 3

D) sJ 'X a b f

£) V8(ab)3 3

En el prism a oblicuo que se m uestra, si la distancia entre las rectas a labeadas AB y MG es d, adem ás, (MH){AB)=K , calcule el volum en d e d icho prisma.

D)Kd

49

Academia César Vallejo x - _ Material didáctico N.° 2

22. Se tiene un prisma regular hexagonal ABCDEF-A'B’C'D'EF', adem ás, P es punto m edio de B'E' y se tom a un punto Q en £F . Si A4'=8 m<PBQ=37° y m«BPQ=90°, calcule el volumen del prisma.

A) 216V3 B) 342>/3 C) 2 3 4 ^

D) 432V3 E) 423v/3

A) 18n/39

D) 36VÍ3

B) 54VÍ3

Cilindro

C) 6V39

E) 18VÍ3

26. Calcule la razón de volúm enes del cilindro de revolución y el oc taed r regular inscrito en él (véase el gráfico)

23. En un prism a triangular oblicuo ABC- DEF, de base regular, las aristas laterales form an ángulos d e 60° con el p lano de las bases. Si la proyección ortogonal de A sobre la base opuesta e s el baricentro de d icha base, calcule el volum en del prism a. C onsidere que AB = 2sÍ3u.

A) 9 u 3 B ) 8 u 3 C )12D) 15 u3 E) 18 u3

24. En el prism a recto de base rectangular 4Q

tan p = — , si NC= 3 cm ; AB=EM , a d e ­

m ás, EN = ~J\ 70, calcule el volumen del

prisma.

A) 200 cm 3 B) 204 cm 3 D) 240 cm 3

C) 300 cm 3 E) 280 cm 3

25. Todas las caras de un paralelepípedo son rom bos cuyas d iagonales m iden 6 y 8. Calcule el volum en del paralele­pípedo.

A) 2

71 D ) I

E) 3712

27. ¿En qué relación d eb e estar el largo y el an ch o de una región rectangular par"1 que al enrollarla form ando cilindro uno respecto al an ch o y el otro respe to al largo, sus vo lúm enes estén en la relación de 1 a 2?

A)Í B)í C ) I

D)V2

E)1

2 n/2

28. Un hexaedro regular ABCD-EFGH, de arista o, está inscrito en un cilindro cir cular recto, tal que A y G son cen tr de las bases del cilindro m ien tras qu B, C, D, E, F y H p e rten ecen a la supe ficie cilindrica. Calcule el á rea de la su perficie lateral del cilindro.

A) na2y¡2 B) 2tk72

D) 3jiq2n/2

C) 2 n j2 a 2

E) 2to2V3

50

rReforzamiento UNI Geometría i-y

En el gráfico, P y Q son puntos de tan­gencia entre los planos y la superficie lateral del cilindro equilátero. Si la m e­dida del ángulo diedro entre dichos planos es 60°, PQ = 4 y el ángulo entre PQ y el p lano IH m ide 30°, calcule el volum en del cilindro.

A) IOti D) 16ti

B) 12ti C) 14ti E) 18ti

■III IJn cilindro de revolución está inscri­to en una pirám ide triangular regular D-ABC si G es baricentro de la cara ABD y el punto m edio de DG es punto de contacto del cilindro que descansa un el plano ABC, con el plano ABD, cal­cule el á rea de la superficie lateral del cilindro. C onsidere que el producto de la distancia del pie de la altura trazada de D hacia una arista lateral con la lon­gitud de dicha arista es 18.

A) n D) 671

B) 2ti C) 4ti E) 9ti

l.as caras PAB y QCD de un octaedro regular P-ABCD-Q están inscritas en las liases de un cilindro circular oblicuo, respectivam ente. Calcule la razón de volúm enes de am bos sólidos.

A)

D)

V3

2yf2

B) 2V3 C) ^ 2K

VeK

E)

Calcule el á rea d e la superficie lateral de un cilindro circular oblicuo, si el ra­dio de su base es 5 y la generatriz tiene longitud 9tc.

A) 36ti2 D) 72ti2

B) 54tc2 C) 64tt2 E) 81ti2

33. El cilindro de altura h está inscrito en el cilindro de altura H. Calcule la razón entre los volúm enes del cilindro cir­cunscrito y el cilindro inscrito.

A)h.H

(H + h )2

h.H S) h2 + H2

^ h H VC ) 7 T 77

^ 2/?WD)T------ 5

II

h+H h H

e) 7 7 + 7T

34. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, de arista 2(V5 + V2), M y N son puntos m edios de AE y GC. Calcule el volum en del cilindro circular oblicuo cuyas b a ­ses están inscritas en MBD y NFH, res­pectivam ente.

A) tc>/6(V5 + V2)

B) 2tcV 6 ( ^ + V2)

C) 2ttV 6(n /5 -> /2)

D) 4 ti(> /5 -V 2 )

E) 47tV6 (V5 + V2)

¡-i Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 2

Pirámide y cono

35. Se tiene una p irám ide V-ABC, don de

las regiones ABC y VB C son regulares.

Si AV= 4 y B C = 6, ca lcu le el vo lum en de

la p irám ide V-ABC.

A ) 2V23 B ) 3V23 C ) 4V23

D) 726 E ) 5V26

36. En el gráfico se m uestra un cilindro de

revolución, d on d e AB y CD son gen era ­

trices. Si el triángulo AED es equilátero,

calcu le el vo lum en d e la p irám ide.

A)

B)

373/?3 2

3 R 3 4

3V2 R 3

37.

C )

D) -y ¡3 R 3 3

E ) f * J

Se tiene un tronco d e p irám ide don de

las áreas d e las b a se s son 3 y 12, a d e ­

m ás, se construye un prism a equ iva ­

lente qu e tiene la m ism a altura y cuya

b ase es una región cuadrada. Calcu le la

longitud d e la arista bá s ica del prism a.

A) \¡5

- D) 2->/2

B) v/6 C ) V7

E ) 3

38. En el gráfico se m uestra un prism a

recto, d on de ct+0=18O°. Si O M =O N y el vo lum en del p rism a es 24, calcu le

el vo lum en de la p irám ide C-OAD.

A) 4 D) 12

B) 6 C ) 8

E) 10

39. En una pirám ide P-ABCD, el á rea de la superficie esférica inscrita es 36ti. SI la cara APB es regular, ABCD es un rec

tángulo, la m ed ida del d iedro AB es 90

y las caras ABP y DPC form an un diedn

de 53°, calcule el volumen de la pirámide

A) 216 B) 216>/3 C ) 108>/3

D) 108 E ) 216V5

40. En el gráfico se m uestra un con o do

revolución. Si A B = 8, calcu le el á rea j

d e la superfic ie lateral del cono.

7971 A ) —

D) —3

B)80n

C )

E)

82ji

85ti

~3~

52

, Hcforzamiento UNI ______________ ^

4?

Se tiene un cono de revolución con vér­tice en el centro de la base de una pi­rámide cuadrangular regular y su base está inscrita en una cara lateral de la pirámide. Si la razón de áreas de la su­perficie lateral y la base del cono es de5 a 3, además, la menor distancia de la cúspide de la pirámide a un punto de la base del cono es 7, calcule el volu­men de la pirámide.

A) 6000B )6500C) 7200I)) 7400E) 7600

Se tiene un cono de revolución donde las longitudes del radio de la base y la altura son 4 y 3, respectivamente; ade­más, se traza un plano paralelo a la base tal que el área del círculo determinado sea igual al área de la superficie lateral del tronco de cono determinado. Cal­cule la distancia del vértice al plano.

44. Desde un punto P exterior a una esfe­ra se trazan tangentes en A, B, y C, de modo que P-ABC es un tetraedro regu­lar. Calcule la razón de volúmenes de la esfera y el tetraedro.

A) 3n

B) 471

C) 5rc

D)6ti

E) 2/371

45. Se tiene una esfera inscrita en un cono equilátero, además, se traza un plano tangente a la esfera y paralelo a la base del cono determinando otro cono par­cial. Calcule la razón de volúmenes en­tre el cono parcial y la esfera.

A) B)

D) — 13

C ) l2

«iA) -J2

D) 2

B) V3 C) V5

E) 3

46.

Esfera y teorema de Pappus

43 El área de un casquete esférico es la quinta parte del área de la superficie esférica correspondiente. Si la longitud de la altura del casquete esférico es 2, calcule el volumen del segmento esfé­rico correspondiente a! casquete.

En el gráfico, si (Aff)2+ (H B )2=K2, cal­cule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360° alrededor de

/H Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 2

47. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, además, P, Q y T son puntos de tangen­cia. Si A B = 6, calcule el área de la su­perficie generada por CM al girar 360° alrededor de OO'. Considere que AP=PO.

A)

D)127n

18E)

537t

48. Se tiene un cuadrado ABCD, dé centroO, en AB se ubica el punto P tal que

BP=3(AP)=3yfÉ.Calcule el volumen del sólido generado pero la región cuadrada ABCD al girar 360° alrededor de una recta que es paralela a OP y contiene al vértice D.

A) 800n D) 9607t

B) 480rc C) 7207: E) 640ti

49. Del gráfico, calcule el área de la super­ficie generada por AB al girar 360° alre­dedor de X .

\A ) 7 if l2 ( 3 - V 5 )

B) nR2(s Í2 -\ )

C) 7t/?2(2 -V 2 )

D) tc/?2(2 - n/3)

E) nR2 (4-n/2)

50. Se tiene una región triangular d on d e si traza la b a se m ed ia determ inando dosj regiones. C alcu le la razón d e vo lúm e

nes d e los só lidos gen erad os p or las regiones al girar 360° a lred edo r d e la b a se m edia.

A) 1B) 1/2C) 1/3D) 1/4E) 1/5

Ila

En el gráfico, B es punto de tangenci;

Si OA= 5 y m AM =37°, calcule el volu men del sólido generado por la región sombreada al girar 360° alrededor de OB.

:m

A)

D)

116713

1407t

B) 40ti C)1367c

3

E) 5071

54

Circunferencia trigonométrica

I Del gráfico mostrado, calcule tana en términos de 9 si M es punto medio de EB.

A)

B)

C)

D)

E)

2sen0+ll+2cos9

2sen6-ll+2cos9

2sen0+l 1 - 2 eos 9

sen9 + l1-COS0

l-co s0l+sen9

2 Si la extensión de la expresión

2cosx + l cosx + 2

es de la forma [a; £>], calcule a2+ b 2.

A) 1D) 4

B) 3 C) 2E) 9

Si < 0 < — , calcule el intervalo de 2 2

variación de j 2cos(|e!-^

A) (0; l ) B) <0; 2]D) (0; 1]

C) <1; 2] E) <1; 2>

4. Si 0 e IIC, además, -73 < tan 0 < - 1 ,

calcule la variación de sen9.

A)72

; i2

B) [1; 2]

i -2’ 2 JC)

D)

E)

3. 4 .5’ 5

72. 73 2 ’ 2

5. En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule el área de la región sombreada en términos de 9.

A)

B)

C)

D)

E)

1 + tan 0 2

1 + tan 94

1-tan9

2

2 + tan 92

2-tan 9

55

1 Academia César VaNejo _ Material Didáctico N.° 2 i-^j

6. En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule la abscisa del punto P en términos de 0.

A)1

B)1

1 - tan 0 1 + tan 0C) 1 +tan0

D) l-tan0 E)1 - tan 0

Funciones trigonométricas directas I

1. Sea la función f cuya regla de corres­pondencia es

f _ \lsenx -1

fx) Vcosx+1

Calcule el dominio de f, k e Z.

A) 2fcji; 2/f7i + |

B) ^(46-1)-^; 2A:tij

C) |^m;(4fc + l )| ]

D) ( 2kn\ (4£ + l ) -

E) 2kn

2. Calcule el dominio de la función A definida por

f,x) = '/sen nx - eos Ttx ; x e (0; 1)

A ) 4 ; '

B)1. 5

.4 ’ 4C) 0;

D) E) i - 1 4 ’ 4

3. Calcule el rango de la función f, defini­da por

1-lsenxlf (x) - ■ - + 1

B ) 1

D)12

; 2

Calcule el valor de m si T] y T.¿ son los

periodos mínimos de las funciones trigonométricas f y g, respectivamente, definidas por/M =cos(mx) y g w =sen2x, además, se cumple que Tt +T2=3n.

A) 1

D) 1/2

B) -1 C )+ l

E) -1/2

5. Del gráfico mostrado, calcule el área de la región sombreada.

D) 71 E) 2ti

Reforzamiento UNI Trigonom etría ^

Grafique la función f, cuya regla de correspondencia es

f(x) = 3sen| 2x-

A)

Funciones trigonométricas directas II

Indique en cuántos puntos se interse­can las gráficas de las funciones f y g, definidas por = cos&r y g w =sen2x en el intervalo de (0; n).

A) 3 D) 6

B) 4 C) 5 E) 7

Calcule la suma de las coordenadas del punto P, si el área de la región sombreada es máxima.

A) 2ti+3 B) ti+3 C) 2ti+1D) 4rc+3 E) 4ti+2

3. Calcule el área de la región som­breada.

A) 271 B) sÍ2n C) 2n-j2

D) 8tin/2 E) 4tiV2

4. Grafique la función f, definida por 3 sen x + eo s * tan*

'(*) ‘

A)

tan a:

B)

E)

/H Academia César Vallejo x _ Material Didáctico N.° 2

5. C alcu le el rango d e la función f, defin ida

por

cot x 1 n2 sen2x ’ \ 4 ’ 4

2. C alcu le el dom in io y rango d e la función!

f, defin ida por

/ '<*> = f +3arcsen( y - 1

A) <-l; 1)

B) (-1; l ) - {0 }

1C)

D)

E) ( 4 = ^ ) - { 0 }

Respecto a la función f, definida por

l2n 3n

f<x ) ~

\¡3 / n nT lan x ;xe\ ' r 3

2cosx y

3 ’ 2

ind ique ve rdadero (V) o falso (F ).

I. El m áxim o valor d e / es 1.

II. f interseca al e je x en tres puntos.

III. A e s creciente en el intervalo

!n 2 n \\2'~3

A) FFF D) W F

B) FW C) FVF E) VFV

Funciones trigonométricas inversas

Calcule el dominio de la función f, cuyareela de correspondencia es

Í3x + H i -f(x) = -J4x -1 + 2arc sen

A)

D)

V 2

A) [-3; 3];

B) [-2; 2]

C) l - 1; 11

D) |-4; 4J

E) [-1; 1]

2n

3tc 3ti

T ’ T3n

~2

[— 7t; 2j i ]

|-7t; 2n¡

[-Jt; 7i]

3. Calcule cos^3arcsen

A)

D)

10n/227

17*72

27

B)

Í K5sÍ2 17V227

C)

E)

27

l(h/227

Calcule el valor de

f 1 t V2sen arccos— arctan— l 3 3

A)

D)

V ñ33

4vn33

B)V ñ

c)

E)

5V2233

7vn33

5. D eterm ine el dom in io d e la función /,

defin ida por

1 1.4 ’ 2.

B) í1 ; il A .C)

1 1.4 ’ 3. D)

i ;1E)

1 1.3 ’ 2_

E)

A ) 11; + 00)

B) [2; +~>

C) [1; 2]

- ; 2 2

2’+ 00

rReforzamiento UNI Trigonometría

6. De la gráfica mostrada, calcule

A + 2ñ + 27t

C + D

2. Calcule el rango de la función f, cuya regla de correspondencia es

fM =

D)2 E)

Funciones trigonométricas inversas (propiedades)

I Grafique la función trigonométrica f, cuya regla de correspondencia es

r arcsen(-Ar) 7t-arccosjr larctanxlti) — — -j- ——— — — — "4“arcsen* arccosl-*) arctanjc

A)

B)

C)

D)

371 7t

Y ’ 2

; 0. 2

-K 2 J371 71

’T ’ 2

E) [—7t; 7t]

3. Calcule

sen arcsen- + —arcsen V 4 ) k (senf )

A)1712

B) — 12

C)12

D ) T2

A) r B) Y 4.

X X

í

C) Y

X

D) Y

X

E) Y

X

sen (3 arctan x - are cot x) sen [3arc cot x - arctan x]

A ) -2 B) -1D) 2

C) 1 E) 3

5. Calcule el rango de la función f, definida por

i = ( .f(x) = | arctan x + |arc cot x■ f>

A) 0;B) <0; T J

C) (0; I

D) »4 E)

59

r\ Academia César Vallejo _ Materia! Didáctico N.° 2

6. ¿En qué intervalo la función f, definida por /■(j-j-arctanx-arccosx, es no negativa?

A)

B)

C)

D)

E)

v 5 - l arccos,|— :— ; + °°

V 5 - 1 .árceos J— -— ; 1

V5-1 ; 1

-1; árceosmEcuaciones trigonométricas

1. Resuelva la ecuación cos5jt - cos3at+ se n4x=0 e indique la suma de soluciones pertenecientes al intervalo (0; ri).

A , f B) 2n C)37C

D)7n

2

E) 3n

2. Resuelva la ecuación trigonométrica V2 (sen x + eos x ) = \Í3sen2x + eos 2xe indique las dos menores soluciones positivas.

»í?i) «iflM l!}«fe 1} « te i

3. - Resuelva la ecuación trigonométrica2tanx=l+3cobr ; xe (0 ;27 i) e indique el número de soluciones.

A ) 2D) 5

B) 3 C) 4E) 6

Resuelva la ecuación trigonométrica 4(sen4x+cosV )-3 = sen2x ; x e (0; 7t)

«fr- flB> {# 7? f)« {f f t}« fe f}

. i ti 5ti 3tt 5ti11T2’ T J ’ T ’ T I

Resuelva la ecuación trigonométrica x

— = 2 ; V k e Z

x X 1+sen— eos —

2x x

sen—+ eos—2 2

e indique un conjunto solución

A) {(2*+1,flB) {(26 + 1)71}C) {(4 *+ 3 )tc}D) {*7t}E) {(46 + 1)71}

Resuelva la ecuación trigonométrica

tan* 2\/3f]1 + tan x

(I)\kn (-1)*Aj \ — + ------ are sen1 2 2

B) j/¡7t + (-l)*arcsen|jj j j

C) | íp + (_D*||

D) |267t + (-l) aresen

E) {*7:+ ( - ! ) * ! }

60

Reforzamiento UNI Trigonometría

PRACTICA DOMICILIARIA

Circunferencia trigonométrica

I Calcule la variación de n si se cumple que

cosx + - = 2

A) [4; 7] D) [7; 9]

n - 5 2

B) 15; 8J C ) [4; 9| E) |5; 7]

? Si 0 e (0; 7t), indique los valores que debe tomar 0 de tal manera que se cumpla que 4cos20=l+cos2a

A)6 ’ 4_

3 n 57tT ’ ~ 6 _

l3n 57tN\~2’ T

C)71 _ 5ti

_3’ T

“>(!= fE)

ti 7c\ /3n 5itL6 ’ 4/U \ T ’ T

3 En la circunferencia trigonométrica mos- Irada, calcule el área de la región som­breada en términos de a.

A ) 3senacosa

B)senacosa

C) senu+cosa

3senacosaD)

E)(sen a + eos a)

4. En la circunferencia trigonométrica

mostrada, calcule — en términos 1 + r

de 0, si P y T son puntos de tangencia.

A)

D)

COS0 COS0BJ

l+sen0

1 - eos 0 l+sen0

l + sen0C)

E)

COS0l-sen 0

1 + eos 0 l + sen0

5. Si a s 1IC, calcule la variación de

tan ^a + 121^ j

A ) (-3 ; 0> B) (-3 ; 1) C ) ( - 3 ; - l>

D) (-3 ; -2 ) E) (-3 ; 3>

61

f-\ Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 2

G. En la circunferencia trigonométrica mos­trada, calcule el área de la región mos­trada en términos de 0.

A)

B)

C)

D)

E)

2

1 - tan 02

1 + tan 0 4

l-tan04

2tan0 + l

7. Calcule el perímetro de la región som­breada en términos de a si se sabe que T es punto de tangencia.

A)-27ttana B)-7itanoc C) 2n tana D) ti tana E) -4 n tana

8. ¿Para qué valores de a se verifica siguiente igualdad?

tanp =- ; P '7t n

4 ’ 4

A) [0; 4] B) [-2; 2] C) [0; 2]D) [-1; 1] E) [-3; 3]

Funciones trigonométricas directas I

9. Calcule el dominio de la función defin: da por

F(x) = .Jsen2* - s e n 4x - i ; x e(0; 2n

.. f rt 3jt 5ti 7tc1A> h ; T ; T ; TI

B. { f i

í l . 35-14 ’ 4 ’ 4 J

® {* t!. Í37t 5rt 77tl

1 4 ’ 4 ’ 4 J

10. Calcule el dominio de la función definí da por

r (x) ■ lsenx-2|-3 s e n x - l ’

A ) R - { (26 + 1)71}

B) R - {k n }

C) R - j(4 6 + l)-|J

D) R - j (4 * + 3 )| j

E) R -{(2 fc + l )| j

G2

Hrforzamiento UNI Trigonom etría i-.

II Calcule el rango de la función definida por

_ sen2 x + lsenxl'(*) ■ sen x - \

A) (—00; 0) B) (0; +°°) C) |0; +°°> D)<-1;0J E) 0]

I? Calcule el rango de la función definidapor

71 77tF,j.)=sen2x(sen6x+sen2x); xe

A) [-1; 1] B) 10; 1] C)

D) |0; 2] E)

0;

8 ’ 24

r

2 .

r ^ 2 ’ 2

i:i S e a fM = e 'serurL Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda a las siguientes proposiciones.I. es función par.

A) FFF D) VFV

B) W F C )V W E) VFF

M Calcule la suma de periodos de las siguientes funciones.

/.■(x)=2|,amt|+2|coU|

Gw =cos(senx)

« (* ) =3 x sen —

2+ sen

4x

A)

D)

3ti

Y15ti

B) 7ti C) 13ti

E) 13"2 2

l!> Del gráfico, calcule el valor de

\Í2l

d ) Ve E)V2

16. Calcule el área de la región sombreada

Y\

2 ti X

A) ^ n/271 B) 7t C) ^71

D) — jt E) -V 2 ti

Funciones trigonom étricas directas II

17. Calcule el dominio de la función defini­da por

F{X) = VcosW-senW +tan4x ; x e(-7c; 7t)

a , l - f ; - f

B) ( - 71;K 71

4 ’ 4

o * ID)

E)

/ * 71\ 4 ’ 4/

71 71- i -■ -1_~4: 4. 1 8 ’ 8Í

63

f-\ Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 2

18. C alcu le e l rango d e la función defin ida

por

-.2(1 -s en x + cosx )

1 -s en x

21. Si V k e 2, calcule los puntos de discon»í tinuidad de la función definida por

F 1{x) Itanxl-lcotxl

A ) [0; 21 — {1 }

B ) 10; 1]

C) <0; 2]

D) |0; 4] — {2 }

E) <1; 2]

19. Calcule el rango de la función definida por

= eos2* + sec2x -4 (s e o r + cosx )+6

A )(0 ;+ ~ > B ) [ l ; + ~ ) C ) [0; 1)

D) [0; + °°) E) [4; +°°)

20. Grafique la función definida por

sen6xrU) ■ se n 2 x

A ) Y\

-71 -71

4 8

C) Y

B) Y

n_ n_ X ~ K ~K 8 4 4 8

JL JL X 8 4

-71 —71 n n x4 8 8 4

D) Y

wE) Y

W—7t -7 t 7 i n x -71 - n 71 71 X4 8 8 4 4 8 8 4

A) H b ) ( * ;

D) {Kn}

22. Calcule el rango de la función definida por

r(x) = I........Y cot2x - 2 + tan2 x

+ co t22x

A ) [V2; + °°)

B) [2; +~>

C) [V2; 2]

D) <1; +<*>)

E) (0; +°°>

23. Calcule el rango de la función definida] por

FM = tanx(secx+tanx) +1

A )

B)

—; + ° ° ) .2 /

1o' —’ 2

D )< -o o ; 1]

E) <0; 1)

. i Rcforzamiento UNI / ______________ / Trigonometría »-»

74 Calcule la suma de las abscisas de los puntos de intersección de las funciones

!'\x) y g m = 2.

D ) f E) n

Funciones trigonométricas inversas

?!) Calcule el dominio de la función definida por

F(x) = are sen \l3x-\ + arccos 2* j

H] iA)

D)

i ! .i - 13 ’ 2.

'2 31

.3 ’ 2J

C)

E) [0; 1]

¡lli Calcule el dominio de la función definida por

F(X) = /(arccos x )2 - 5 arccos x + 4

A ) [cos í; 1] B) [-1 ; 0] C) [0; 1]

D) [-1 ; - c o s í ] E) [-1 ; 1]

II Si el dominio de la función

¡x — 4 i------F''(r i = arctan, /--------- 1- arelan s l x - 3

U + l

es [n; +°°), calculen + 4

A ) 3 B) 2 C ) 6

D )4 E) 1

28. Dadas las siguientes funciones:

II. C(x) = aresen

calcule Rari(F) n Ran(C).

A )

B)

t )

D)

E)

0; — 2

37n nJ 8 0 ’ 2.

37k 53n

Tio’ m .

53tc tc

T ÍO ’ 2

71 K

6 ’ 3

29. Calcule el rango de la función definida

por

Fu) = arccos

A ) [-1 ; I ]

{ 2x ) 2

B) 0;

C) {0; n}

D) [0; f ]E> {f; f }

65

f-\ Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 2

30. Calcule el rango de la función definida por

Fix) = 3arctanfe )A)

D)

H](*t ]

B) 0;53ti

120C) (0; ti]

E) <0; 2tc>

31. Del gráfico, calcule el área de la región sombreada.

D>! E)371

32. Del gráfico, calcule el valor deB + C + D

Funciones trigonométricas inversas

(Propiedades)

33. Calcule el valor de la expresión

cot aresen i j+ tan arccos j

A)

D)

Vl52

n/Í5

B) |VÍ5 C) V¡5

E) 2VÍ5

arctan34. Si tan0 = - ( I ) .

arctan | —

tan a=| ,

Calcule el valor del ángulo agudo 0.

A)153°

2

D) 45°

B)37°

o ?

E)127°

35. Calcule el valor de la siguiente expr sión.

( 2 cos l2 °-l-cos24 ° 'iarctan -------------^ --------V sen24° )

A) tc/30 B) ti/IO D) 2ti/15

36. Si 0 = arcsen

calcule — + 20.

■(fl

C)rc/60 E) tc/15

; x e [2; 3],

i Reforzamiento UNI

37. Calcule el valor de la expresión

jt + arcsenH) — arctan(%/3-2)

A) 0

D) -1

B) 1 C) 2

E) -2

38. Reduzca la siguiente expresión.

arcsen(-sen3) + 37t-7 arccos(cos4)

«i »! «HD) 1 É í | + 1

39. De la siguiente igualdad

. .2 „ cos(3arcsenx)(arcsenx) -2arccosx = ---- ----------- -

sen(3arccosx)

calcule (are sen x + 1 )2.

A) B)fD) -

3

C) 2n

E) Jt

40. Simplifique la siguiente expresión.

( 2tan0 . f n ns -----------5— ; 0 e — ; —Vi + tan g J 1.8 4.

— arccos2

A) it-20 B) 2tt- 20 C) 20

D) 20-7t e) f - e

Ecuaciones trigonométricas

41. Calcule la diferencia de la menor solu­

ción positiva y la mayor solución nega­

tiva de la ecuación.4 *' 4 6 6 27sen x + eos x + sen x + eos x - —

16

.. ............ ........................................ ... Trigonom etría k

A)271

B) 0

D , f E)

42. Calcule la suma de soluciones de la ecuación

senx + \/3cosx 1 , . _ ,— = - ; x s(-4ti; 2ti)

A) -

D)

4

13it2

1771 2

B)

2

15ti

37t

C)llTt

O - f

43. Si {jc,; x 2} e 7t; — J son soluciones

de la ecuación

sen x + eos x + V2 eos 3x = 0

calcule 16x]+8x2.

A) 32ti D) 29ti

B) 31ti C) 30j:

E) 28tt

44. Calcule el número de soluciones de la

ecuación2 2 l-cos2x , r. ,

sen x+sec x = —--------+ l ; x e 0;57tcosx

A) 4 D) 3

B) 6 C) 5E) 7

67

r > Academia César Vallejo ^ — Material Didáctico N.° 2 i-y

45. Si VfceZ, al resolver la ecuación

2sen 2xcosx=sen4x-sen2x

indique un conjunto solución.

A) 2/m+arccos

B) hn+ are tan

C) 2kn+^

¥ )(I)

D) 2/?7t í árceos| * 4 ^ )

E) k n+ ( -\ )K aresen^^p j

46. En el siguiente sistema de ecuaciones

sen (x+y ) V5+1

s en (x -y ) V5-1

tanx+tany=l+V5

calcule la solución general de y.

k eZA) {fcn -| },

B) k e l

C) {(2/¡ + lM , k e Z

D) {(4 * + l)| j,

E) {2 *k ± J },

k e Z

íteZ

47. ¿Para qué valor de x se verifica la si­guiente igualdad?

2sen‘ •(¥1= l+2cos‘

A)l B) 4

« i

48. Calcule los valoresx c y que verifican la

siguiente igualdad.

arccosx=7icscy; k e Z

A) * = (4fc+l)|; y = - l

B) x = -l; y = (A k -\ )~

C) x = l; y = (46+1)—

D) x= -\\ y = (4fc+l)|

E) x = l; y = —

68

'

MOLl i l i

FísicoH-. m Lu . \

átomo

material no magnético

M A G N E T I S M O Y EL ECTROMAGNETI SMO

El fenómeno de atracción entre los cuerpos se conoce desde hace miles de años, cuando en la ciudad de Magnesia se encontraron pequeñas piedras de mineral de hierro con esa propiedad. Desde entonces, el ser humano ha aprovechado los efectos del magnetismo (por ejemplo, para la creación de la brújula hace 2000 .iños en China) y ha determinado los elementos que intervienen en el proceso. De este modo, actualmente se sabe la influencia que ejercen las cargas eléctricas en movimiento, la existencia del campo magnético de la Tierra y la relación que se establece entre los imanes y las corrientes eléctricas (denominada electromagnetismo).

C a m p o m a g n é t i c o

Los átomos constituyen pequeños imanes que se orientan de forma desordenada (m aterial no magnético) o en el mismo sentido (imán).

La e l e c t r i c i d a d y el m a g n e t i s m o

Si se pasa corriente eléctrica por un hilo de alambré, se genera un campo magnético alrededor con lineas de fuerza similares a un imán. Si se desplaza un imán dentro de un conductor eléctrico, o se induce una r.orriente, que también se produce entre un imán de

herradura.

T r a n s f o r m a d o r

Una bobina primaria produce un campo magnético que es captado por una secundaria a partir de un núcleo de hierro (capaz de conducir las líneas de fuerza mag­néticas). El transformador se emplea para elevar o reducir las tensiones eléctricas.

E l e c t r o i m á n

Si se enrolla un hilo conductor alrededor de una barra de hierro curvada y se hace circular una corriente eléctrica, se obtiene un imán muy potente que puede atraer grandes canti­dades de material magnético.

O s&

©

CjD® >

imán

corriente de inducción

generador de corriente eléctrica

71

/-i Academia César Vallejo

H id r o s t á t ic a

El gráfico muestra un tanque compre­sor de gas. Si el gas ejerce a la válvula V una presión de 2 atm, determine el radio R. (g= 10 m/s2).

A) 0,12 m B) 0,20 m C) 0,24 m D) 0,30 m E) 0,37 m

El gráfico muestra la diferencia de nivel de las ramas del manómetro de mercu­rio a nivel del mar. Si la presión del gas es 900 mmHg, determine h (en cm).

rh

. i .

A) 6 D) 14,6

B) 10,5 C) 13,5 E) 16

Un pistón tiene la forma de un disco circular y presenta un orificio en el cen­tro. En el orificio se encuentra ajustado un tubo delgado de radio r y masa des­preciable. El pistón encaja exactamente dentro del recipiente, por ello puede moverse sin rozamiento. El pistón se encuentra inicialmente en la base del cilindro y después de depositar agua esta sube en el tubo delgado una altura Aj=5 cm, como se muestra. ¿Cuál es la masa del pistón? (/?= 15r= 15 cm)

A) 1,4 kgB) 2,5 kgC) 3,5 kgD) 3,8 kgE) 4,1 kg

recipiente

4. En el sistema que se muestra, la fuer­za F mantiene en equilibrio la prensa hidráulica. Calcule en cuánto debe au­mentar F para que el émbolo de área 5 2 pueda soportar un bloque de 100 kg, (iA,2= 4 A ,,g = 10m/s2)

A) 50 N D) 150 N

B) 100 N C) 125 N E) 175 N

Si la placa rectangular homogénea se encuentra en equilibrio, como se mues­tra, determine su densidad.

A) 445,6 kg/m3B) 500 kg/m3C) 546,7 kg/m3D) 596,8 kg/m3E) 600 kg/m3

72

i Reforzsmiento UNI ^ _ Física k

Un cubo de piedra de 40 cm de arista es transportado por una balsa de 2 m de lar­go y 1 m de ancho. Si se cambia la posi­ción del bloque y se sumerge, ¿en cuánto cambió el nivel de flotación de la balsa?

A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cmD) 3,2 cm E) 10 cm

/ Se muestra un sistema formado por una varilla de longitud L, de masa des­preciable, y una esfera de masa m co­locada en su extremo. Si la esfera es soltada, determine la máxima rapidez que adquiere.(Considere pesfera < pH 0 y g=10 m/s2)

H20

H > L

; L — . es.

A,

B) 2sl Í ^ + ] l Pe

C) 2 g L \ -& - + \ [Ph2o

Fenómenos térmicos

En un recipiente de capacidad calorí­fica igual a 300 cal/°C hay 100 cm3 de agua a 0 °C. Si se introducen unas pe­pitas de oro de 4 g, cada una a 230 °C, ¿cuántas pepitas, como máximo, se debe introducir para que la tempe­ratura de equilibrio sea de 30 °C? (Cc(Au)= 0,03 cal/g°C; desprecie las pér­didas de energía al exterior).

A) 400B) 500C) 600D) 80QE) 1000

Considere el sistema diseñado por Joule. Cada una de las dos masas es de 150 kg y el tanque aislado está lleno con 200 kg de agua. ¿Cuál es el incremento en la temperatura del agua, después de que las masas descienden 3 m cada una?(1 J=0,24 cal)

Ph2o + 2

E) 2gL(P h2o

- + 1

A) l,08x 10~2 °C

B) l,07x 10~2 °C

C) l,09x 10"2 °C

D) 1,06x 10~2oC

E) 1,05x 10~2oC

73

f-\ Academia César Vallejo _ Materia! Didáctico N.° 2

Un bloque de cobre (Ce(cu)=0,05 cal/g °C) de 800 g es sol­tado desde 20 m y experimenta una fuerza de resistencia de parte del aire de módulo constante es igual a 5 N. Si cuando el bloque está por impactar su temperatura se incrementó en 0,1 °C, ¿qué porcentaje de la energía que se disipa debido a la resistencia del aire absorbe el bloque? (1 J=0,24 cal)

A) 15% D) 22,4%

B) 16,6% C) 12,8% E) 8,6%

Un estudiante desea beber agua a tem­peratura baja, pero él tiene 1 L de agua hirviendo en un recipiente de capacidad calorífica despreciable, y luego decide agregarle cubos de hielo (a-20 °C) de50 g cada uno. Determine la cantidad de cubos necesarios para que el estu­diante tome agua a 10 °C?

A) 12 cubos B) 14 cubos C) 16 cubos D) 18 cubos E) 20 cubos

La gráfica muestra la cantidad de calor absorbido por una determinada canti­dad de agua y su cambio de temperatu­ra. Si al agua se le entrega calor a razón constante de 250 cal/s, determine el tiempo que tardó el proceso de vapo­rización del agua. (Dé la respuesta en minutos).

A ) 24,16D) 22,6

B) 18,0 C) 19,6E) 12,4

Un bloque inicialmente a 20 °C absorb Q calorías, llegando a su temperatura de fusión (sin fundirse). Si al bloqu de 20 °C se le parte por la mitad y .i una de las partes se le suministra Q calorías, entonces llega a fundirse el 80% de dicha parte, ¿qué temperatura de fusión tiene el bloque?(^Ftbloque) — 800 Cal/g,^e(bloque) = 0,8 Cal/g °C)

A) 760 °C B) 800 °C C) 820 °C D) 860 °C E) 940 °C

Termodinámica

En el cilindro se tiene 5 litros de un ga al cual se le entrega 1200 J de calor Si el pistón liso se desliza lentament hasta que el gas duplica su volumen entonces, determine la variación en la energía interna del gas. (Palm= 105 Pa).

/o,'; ¡V- l atmósferaf* <ii_ f\ VA.; Í *

-----------—---- *~v

A) -850 J B) -800 J C) +600 J D) -700 J E) +700 J

2. El ciclo mostrado corresponde a un gas ideal. Determine la cantidad d trabajo realizado por el gas ideal en3 ciclos termodinámicos. En a —> b la temperatura, en kelvin, se triplica.

P(105 Pa)

A) 600 J D )900J

1

B) 700 J

3 H lO ^ m 3)

C) 800 JE) 2400 J

74

Reforzamiento UNI Física

La gráfica V-T nos muestra como varía el volumen con la temperatura para un gas ideal. Si de B hacia C la energía in­terna varía en 100 J, además, el calor disipado de A hacia B es 400 J, deter­mine el trabajo realizado por el gas de A hacia B.

A) -300 J B) -100 J C) +200 JD) -250 J E) +300 J

Un cilindro rígido hermético cerrado contiene un gas ideal y una hélice uni­da a un eje fijo en su interior. Al siste­ma se le entrega 10 kj de energía en forma de calor y un motor de 500 W

(cuya eficiencia es 50%) mueve la héli­ce durante 10 s. ¿Cuál es la variación de la energía interna del gas? (Desprecie todo tipo de pérdidas)

A) 19,5 kJ B) 10,5 kJ C)21,5kJD) 12,5 kj E) 8,5 kj

En un tubo liso aislado térmicamente y de gran longitud se encuentran dos émbolos con masa m , entre los cuales hay n moles de gas monoatómico a la temperatura T. ¿Hasta qué temperatura máxima se calentará el gas? Considere que los émbolos no conducen calor. Desprecie la masa del gas en compara­ción con la masa de los émbolos.

A) T0+^ l 0 nR

B) 2T0+^ X l 0 2 nR

e ) r 0 - ^ i0 3 nR

6. Una máquina térmica de Carnot recibe 1200 kJ/min de calor desde un foco térmico que está a 727 °C y rechaza a un sumidero térmico que está a 127 °C. Determine la potencia neta que entrega la máquina y su eficiencia.

A) 10 kW; 62%B) 24 kW; 75%C) 10 kW; 50%D) 12 kW; 60%E) 6 kW; 80%

Electrodinámica

1. Se tiene un conductor de cobre de sec­ción transversal igual a 1 cm2 por el cual circula una corriente de 13,6 A. Si en el cobre existen 8,5-1028 electrones por metro cúbico, determine la rapidez de arrastre de los electrones libres.

A) 3xl0~5 m/sB) 4xl0"5 m/sC) 10~5 m/sD )8x l05 m/sE) 3xl08 m/s

75

2. Una resistencia eléctrica conectada a una batería de 9 V conduce una corrien­te de 100 mA, cuando se encuentra a temperatura ambiente (20 °C); pero si se calienta hasta 40 °C, la corriente dis­minuye en 10%. Calcule el coeficiente térmico de la resistividad.

A) 4,5x 10~3 °C~'

/H Academia César Vallejo^,_____________________ __ Material Didáctico N.° 2

B) 5,6 x 10~3C) 6,7x 10~3

oC-oC-

D) 7,8 x 10” °CE) 8,9 x 10~3 °C

La densidad de corriente en un alam­bre de cobre es J=5 x l0 6 A/m2. ¿Qué diferencia de potencial existe en una longitud de 2 km de dicho alambre? (pCu= l,72x lO -8n -m )

B) 172 VA) 224 VD) 258 V

C) 86 V E) 320 V

4. En el circuito mostrado, calcule R si el amperímetro ideai registra 6 A.

3Q

R

A) 3,5 a

D) 2,6 QB) 3,1 Q C) 2,8 n

E) 2,2 f í

En el circuito están conectados dos galvanómetros y dos voltímetros igua­les. Si las lecturas de los galvanómetros son G,: 100 uA y G2: 99 jiA y la del voltí­metro es Vt: 10 V, determine la lectura del voltímetro V2.

*A) 0,1 VB) 0,2 VC) 0,9 VD) 0,5 VE) 1 V

La corriente que pasa a través de una

resistencia R = 100 £2 varía con el ticm l

po según la ley / = - Vf (A ) , donde I s o ’ 2

expresa en segundos. ¿Durante cuántos

segundos se encontró operando, si disi­

pó 1,8 kJ de energía en forma de calor?

A) 12 s

D) 7,2 s

B) 41 s C) 63 s

E) 8,6 s

Electromagnetismo

Tres espiras circunferenciales de igual radio R, por las que circula la misma intensidad de corriente /, en los senti­dos indicados, son colocadas como so muestra en el gráfico. Determine la in­ducción magnética total en el origen da

coordenadas. ( ConsidereV 2 R

A) <x(l; — 1; 1)B) o t( l; 1; — 1)C) ot(-1; -1; i )D) ot(— 1; 1;- I )E) oc( 1; — 1; — 1)

línforzamiento UNI __ Física k

Una partícula electrizada con +2 C y de

8x10-3 kg ingresa en un campo mag­

nético uniforme, formando 53° con la dirección de la inducción magnética (3 ) y con una rapidez de 5 m/s. Deter­mine la longitud del paso de su trayec­toria. (B=27ixl0-2 T)

A) 0,6 mD) 1,4 m

B) 1 m C) 1,2 m E) 1,6 m

El marco conductor cuadrado que se

muestra tiene de lado a y masa m; este puede rotar libremente alrededor del eje YY. Determine / para que dicho marco se mantenga en reposo.

A)

B)

C)

D)

mg tan a2 aB

2mg tan a Ba

mg sena 2a B

2mg sen a aB

mg seca aB

4 El flujo magnético a través de una es­

fera conductora varía con el tiempo de acuerdo a la gráfica adjunta. Indique la

alternativa correcta.

A) La corriente inducida es continua.B) La corriente inducida cambia de

sentido en í=2 s.C) En t= 2, la corriente inducida es nula.D) La corriente inducida disminuye en­

tre [0; 2] s y luego aumenta.E) Hay dos alternativas correctas.

En el gráfico se muestra una barra me­tálica de 50 cm que se desplaza con rapidez constante de 2 m/s sobre dos rieles de resistencia eléctrica despre­ciables. Cuando la barra recorre 20 cm, ¿cuánta energía disipa la resistencia /?= 10 £2? (B= 1 T).

—

@ B =cte . J

—

A) 0,1 JB) 0,01 JC) 1 JD) 10 JE) 100J

Física moderna (OEM y efecto fotoeléctrico)

La intensidad de campo eléctrico corres­pondiente a una OEM está definida por

E =3- 106sen27i(3 ■ 108/—y) k

donde y está en metros y t en segundos. Determine el módulo de la inducción magnética máxima.

a ) io -2t b ) io - ' t

D) 10 T

C) 10~3T

E) 102T

77

f-\ Academia César Vallejo _ M..1 . 1 1 .i r .1.1 „ r,. i i p i .

2. Una OEM monocromática linealmente

polarizada viaja en la dirección ( - ] )

en un medio cuyo Er= 3,6 y 10, de

tal manera que la amplitud del campo

eléctrico es 30 m V/m ik ) . Determine

la ecuación que define la inducción

magnética. (/oem=25 MHz)

A) B = 0,6sen2jr^5i0~6f + yj(+7 ')T

B) S=6-10“12sen27i(25-10-6 -y/2)(/) T

C )B = 610_losen(50El06-y/3)(-/ )T

D) B = 610""sen27t(25 106f+y/2)(-/ )T

E) S=0,610-12sen2jt(25106/-y/2)(-/)T

3. Una OEM se propaga en el vacío en

la dirección (+¡); oscilando su campo

eléctrico en la dirección (+ z ). Si la am­

plitud del campo eléctrico es de 60 m

V/m y su longitud de onda es de 20 m,

determine las ecuaciones que definen

a £ y B.

A) £'=6-10'2sen27i(l ,5 • 1 tít-x/20)k (V/m)

5=2- 10“10sen27i(l,5- 107í-x/20) (-/ ) T

B) £=6 ■ 10~2sen27t(2,5 ■ 10~61+

+x/20)j (V/m)

fi=2- 10_9sen27t(2,5- 10_6í+x/20)(-¿) T

C) £ = 6- 10~2sen2n(l,5-10-8Í+

+y/20) (-/) V/m

- B = 2- 10"l0sen27t(l,5-10'81+

+y/20) ( - ] ) T

D) £ = 6 • 10~2sen(37i d 0^8 f -

-y/40) (_ * ) v/m

B = 2 d 0 10sen(37id0~8í -

-y/40) ( - ] ) T

E) £ = 6 - 10“2sen2n(í-y/20) { -k ) V/m 1

B = 4 d 0“ssen2ji(í-y/20) (/) T

4. En el efecto fotoeléctrico, para el sodio í (<))Na=2,2 eV) se tiene un potencial do j frenado de 5 V. ¿Qué longitud de onda I tiene la radiación que se usa?

A) 1,72- 10~7mB) 3,44 10-7 mC) 0,86 10 '7 mD) l,27d0^8mE) 2,7d0“7m

Para extraer electrones de una lámina! de plata, se le ilumina con una radiación' cuya longitud de onda es 2536 d0“'° ni, procedente de un arco de mercurio. SI el voltaje de frenado es 1,10 V determi­ne la función trabajo para la plata.

A) 1,96 eV B) 2,98 eV C) 3,80 eV fl D) 4,01 eV E) 4,21 eV I

6. La cantidad de trabajo necesario para remover un electrón de la superficie da una placa de potasio es de 2 eV. Si la luz de longitud de onda de 5 x 10~7 111

incide sobre la superficie de potasio, determine la energía cinética máxima! de los fotoelectrones que emergen.(A?=6,63 x 10“34 J-s)

A ) 0,36 eV B) 0,42 eV C) 0,48 eV I

D) 0,52 eV E) 0,64 eV I

5.

78

¡ , Reforzamiento UNI ^ _ Física

PRACTICA DOMICILIARIA

Hidrostática

I Dentro del recipiente se tiene un gas, cuya presión en la tapa inferior es 200 Pa. Determine la fuerza que el gas le ejerce a la tapa superior {R= 2 m).

mmA) 1678 N B) 2145 N C) 2512N D) 3470 N E) 3851 N

Determine la presión total en el fondo del recipiente mostrado si los líquidos están en reposo.

(Pace¡te = 0 >8 g / c m 3)

agua

70 cr

120 cm

80 cm ''-aceite

A) 109,6 kPaB) 109,8 kPaC) 110,2 kPaD) 112 kPaE) 112,6 kPa

El sistema mostrado se mantiene en equilibrio como se muestra. Si en el émbolo (2) se coloca un auto de 750 kg, determine el módulo de la fuerza verti­cal que se debe aplicar en P de manera

que los émbolos se mantengan al mis­mo nivel. Considere que la barra es de masa despreciable.

(A 2=300A,;g=10m /s2)

+

(D (2)

A) 12,5 N B) 125 N C) 250 N D) 2500 N E) 25 N

N4. En la figura 1, el resorte de K = 1000 —

msostiene el agua a través de un émbo­lo de área ¡h2, en equilibrio. Determine la deformación adicional del resorte cuando en la parte superior se aplica una fuerza F=200 N (figura 2). Consi­dere que el émbolo se desplaza lenta­mente (A 2=2ZAj).

fig. i

A ) 0,1 m B) 0,2 mD) 0,4 m

fig. 2

C) 0,3 mE) 0,5 m

79

/-\ Academia César Vallejo^ __ Material Didáctico N.° 2

Una delgada tapa cierra la parte infe­rior de un tubo de 10 cm2 de sección transversal interna, el cual se encuen­tra sumergido en agua como muestra el gráfico.¿Qué fuerza F es necesario aplicar a la tapa, para mantener al sistema en equilibrio, tal como se muestra?(g = 10m/s2; pH2o=1000 kg/m3)

tapa_¿

7T //=100 cm

h= 50 cma _________ i

A) 1 N D) 20 N

B) 5 N C) ION E) 50 N

En el agua, un cubo homogéneo se mantiene en reposo. Si la cara inferior del cubo soporta una fuerza por par­te del agua de 120 kN, determine la medida de la longitud de la arista del cubo. (g=10 m/s2)

A) 0,6 m D) 1,4 m

B) 0,8 m C) 2 m E) 1,6 m

Un pingüino de masa M se encuentra parado sobre un bloque de hielo flo­tante de tal manera que sus patas es­tán apenas al nivel del agua. ¿Cuál es el volumen de hielo que permite esto? Considere que la densidad del hielo es la décima parte que la densidad del agua (p „2o)-

A)

D)

10M

9Ph2o

10M

3Ph2o

B)M

P h 2o

C)10 M

'9pH20 1

E)10M

P h 2o

Se muestra una esfera maciza y otra hueca (cascarón), ambas del mismo material (plomo) y radio R. Si perma­necen en reposo, señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

I. El empuje del agua en ambos casos es diferente.

II. La presión hidrostática en P y Q es la misma.

III. Si cortamos las cuerdas, solo la esfe­ra hueca podría quedarse en reposo.

A) V W B) F W C) FVFD) VFF E) FFF

Fenómenos térmicos

9. Se tiene 100 g de plata

0 , 0 5 6 ^ ]g°cj

a 20 °C logramos incrementar su ener­gía interna (í/) suministrándole simul­táneamente 144 calorías y 100 J me­diante medios mecánicos. Determine la temperatura final de la plata.(1 J=0,24 cal)

A ) 10 °C D) 40 °C

B) 20 °C C) 30 °CE) 50 °C

Física

10. En un calorímetro, cuyo equivalente en agua es de 52 g, se tiene 300 g de agua a la temperatura de 28 °C. Si se introduce una barra de aluminio

, =0,22— ) g°cj

de 160 g a 50 °C, ¿cuál es la temperatura de equilibrio térmico?

13.

A) 20 °C D) 50 °C

B) 30 °C C) 40 °C E) 60 °C

Un calorímetro de equivalente en agua igual a 45 g contiene 60 g de agua a 30 °C. Si se introduce un cuerpo de 250 g a 75 °C, la temperatura final de equi­librio es de 40 °C. Determine el calor es­

pecífico del cuerpo. (Desprecie las pérdi­das de energía al medio ambiente).

A) 0,09 —g°C

B) 0,12 —g°C

calC) 0,16

g°C

D) 0,18 —g°C

E) 0,10 —g°C

calUna bala de C „=0,05-^-- impacta

g ° c

contra una madera con una rapidez

de 100 m/s, incrustándose en esta. Si

el 70% de la energía cinética inicial es

absorbida por el medio, determine en

cuánto cambia la temperatura de la

bala.

15.

16.

Un cilindro de capacidad calorífica 20 cal/°C contiene 106 g de agua a 50 °C. ¿Qué masa de hielo a -30 °C se debe agregar al sistema, para que el 60% de su masa se derrita?

A) 420 g D) 180g

B) 350 g C) 290 g E) 100g

14. En un recipiente de capacidad calorí­fica igual a 20 cal/°C se tiene M, gra­mos de agua a 40 °C. Si al recipiente se agregan M2 gramos de vapor de agua a 100 °C, determine M2. Considere que la composición final de la mezcla es de 20 g de vapor y 120 g de agua líquida. (Desprecie el calor perdido al medio ambiente).

A) 34 g D) 60 g

B) 106g C) 46,5 g E) 100 g

En un recipiente de capacidad calorí­fica despreciable, hay 100 g de hielo a -10 °C. Si introducimos 25 g de vapor de agua a 100 °C, ¿cuál es la tempera­tura de equilibrio térmico?

A) 50 °C B) 100 °C C) 80 °C D) 60 °C E) 30 °C

Un recipiente de capacidad calorífica de 20 cal/°C contiene 1000 g de hielo a -40 °C, al recipiente se hace ingresar 500 g de agua a 0 °C, 20 g de vapor de agua a 100 °C y una esfera metálica de 1 kg a 250 °C cuyo calor específico es 0,2 cal/g °C. ¿Cuánto hielo queda en el equilibrio térmico ?

A) 6,2 °C

D) 7,6 °C

B) 6,8 °C C) 7,2 °C

E) 8,1 °C

A) 360 g D )525 g

B) 425 g C ) 475 g

E) 625 g

81

f-\ Academia César Vallejo ^ — Material Didáctico N.° 2 Hv

Termodinámica

17. Paraungasideal,ind¡queverdadero (V) o falso (F) según corresponda.I. En un proceso isotérmico, la energía

interna del gas no varía.II. En un proceso isócoro, al aumentar

la temperatura de gas necesaria­mente aumenta la presión.

III Durante la expansión en un proceso adiabático, la temperatura disminuye.

IV. En un proceso isobárico de expansión donde el gas absorbe calor, la tempe­ratura necesariamente aumenta.

A) VW F B) W FF C) VFVF D) W W E) FWF

18. Luego de retirar los topes, el émbolo de masa despreciable comprime como máximo x al resorte. Si la energía inter­na del gas ideal en el proceso varía en50 J, determine x. Considere que ini­cialmente el resorte está sin deformar­se. (K=2500 N/m).

xtope----/ ' V, „ r

;r.. gas

v _____________

f vacío

tooe

A) 10 cm B) 20 cm C) 30 cm D) 40 cm E) 50 cm

19. El proceso termodinámico que se mues­tra es desarrollado por un gas ideal. Se sabe que en el proceso mencionado, la energía interna varía en 30 J. Determine la cantidad de calor disipado por el gas.

A) 20 J B) 30 J C) 40 J D) 50 J E) 60 J

20. La gráfica corresponde al ciclo termo- dinámico realizado por un gas. Si en £>->c y e —>a la energía interna varí.i en 100 J y 50 J, respectivamente, en tonces, determine la cantidad de calor disipado durante el ciclo termodiníi

mico.

A) 200 J B) 150 J C) 300 JD) 250 J E) 350 J

21. Cierto gas ideal realiza los proceso» representados en la gráfica T vs. V que se muestra. Señale en qué proceso el

gas entrega calor.

B )2 —>3C) 3 —> 1D )1 —> 2 y 2 —> 3E) 3 —> 1 y 2 —> 3

82

Reforzamiento UNI Física hi

El gas encerrado en el cilindro adiabáti­co se expande lentamente variando su volumen en 100 litros, esto ocurre du­rante un ciclo termodinámico que rea­liza una máquina térmica la cual está cediendo energía, tal como muestra el sistema. Si la máquina térmica, de eficiencia 30% absorbe en cada ciclo 50 kJ, determine la variación en la ener­gía interna del gas, en un ciclo.

atmósfera

A) +15 kJ B)- D) -15 kJ

5 kJ C) +5 kJ E) -35 kJ

Una máquina térmica, funciona según el ciclo de Carnot, y presenta una efi­ciencia de 0,4. Si la mínima tempera­tura es 300 K, determine la mayor tem­peratura (en °C).

A) 127 D) 315

B) 212 C) 227 E) 367

La gráfica muestra el ciclo de Carnot donde el foco caliente está a 207 °C y el frío está a - 153°C. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda.(Q: cantidad de calor)

^en treg ado ^Q disipado

Qdabc = 4Qc(JIII. La eficiencia es 0,75.

A) VFV D) FFF

B) V W C) FVF E) FFV

Electrodinámica

25. Determine el valor de la resistencia eléctrica de un alambre de longitud L y masa M. El alambre tiene una resistivi­dad eléctrica p y densidad D.

A)

D)

pJ LDM

p DM

B)p DL2

MC)

E) — MD

26. Un alambre de cobre (pCu=l,7xl0“8£2-m) y otro de hierro (pFe=10“7£ ím ), de la misma longitud, se someten a la misma diferencia de potencial. Si la intensidad de corriente que pasa por ellos es la misma, determine la relación entre los radios de su sección transversal.

A ) 1,2 D) 4,2

B) 2,4 C) 3,6 E) 5,1

27. La temperatura de una resistencia varía con el tiempo según la gráfica mostrada. Si luego de 40 s de funcionamiento la resistencia ha incrementado su valor en 20%, determine su coeficiente térmico de resistividad.

A) 10“ ioCB) 2-10“C )3 1 0 “D) 4 -10~E) 5-10“

°C“°C“°C‘°C'

83

r-\ Academia César Vallejo _ Material Didáctico N.° 2

28. Se muestra parte de un circuito com­plejo, en el cual el voltímetro y el am­perímetro tienen resistencias internas de 9 kíí, y 15 m il respectivamente. Si el voltímetro y el amperímetro indican 117 V y 0,13 A, ¿cuál es el valor de R1

A) 0,5 kfíB) 1 kQC) 1,5 nD) 2 kíiE) 2,5 k£2

31.

29. En el circuito que se muestra, determi­ne la lectura del voltímetro ideal.

A ) 60 V D) 160 V

B) 80 V C) 110 V E) 200 V

30. En el circuito que se muestra, el ampe­rímetro ideal indica 2 A. Determine la diferencia de potencial entre a y b.

¿Qué potencia consume el resistor de2 Q entre c y di

A) 10W a

B) 20 W

C) 30 W

D) 40 W 8 v

E) 50 W

16 V

32. Un horno eléctrico de 1800 W funciona en forma continua durante dos horas. ¿Cuánto es la energía que consume en kilowatt-hora?

A) 2,4 D) 4,2

B) 3 C) 3,6 E) 5,4

33. Una plancha eléctrica industrial tiene la especificación: 1210 W - 220 V ¿Qué potencia eléctrica consume esta plan­cha cuando el voltaje disminuye hasta 200 V?

A) 400 W B) 600 W D) 1000W

C) 800 W E) 1100W

Ele.ctromagnetismo

34. Se muestran dos cables rectilíneos de gran longitud, cuyas intensidades de co­rriente son 1], I2. Determine el módulo de la inducción magnética en el punto P. (7 ,=3 A y /2=4 A )

,-P

30 cm /

/,(xÁ53-50 cm

-® /2

A ) 3 VD) 10 V

B) 6 V C) 9 VE) 12 V

84

A ) 12 nT B) 6V Í3nT C) 2y¡2 |iT

D )6 V 5 n T E) 12VT3 |iT

16 V

^forzam iento UNI Física i-»

Se consideran dos conductores de gran longitud, tal como muestra el gráfico adjunto. Si por ellos se hace circular una corriente eléctrica de intensidad /, determine el módulo de la inducción magnética en O.

D) M2nR

E) 0

Una barra de madera de 9 gramos tiene incrustado un clavo de 1 gramo y está electrizado con q = -\ mC. Si es soltada sobre un plano inclinado liso, determine su rapidez en el instan­te que abandona el plano inclinado. (B=10 T; g=10 m/s2)

37. Una partícula de masa m =60x l0 _15kg y carga t?=2xl0 '6 C ingresa a una re­gión donde existe un campo magnéti­co, tal como se indica. Si la rapidez de la partícula es 3x 105 m/s, halle su coor­denada X en el instante en que sale del campo magnético. (Desprecie efectos gravitatorios).

38.

A) 10 cm

B) 5 cm

C) 5^2 cm

D) 5\Í3 cm

E) 10%/3 cm

La barra conductora se mantiene en reposo como se muestra, y a través de la barra de 1 kg fluye corriente eléctrica de 3 A. Determine a qué distancia de P se ubica su centro de gravedad.(g=10 m/s2)

X X X X

8

X X

X X — -*-x p XJ l \ Ir— — p — - ^ r v

X ¡ X 1 11--------

X ’ X

1 m

x ¡

— \

®B =

A ) 1 m/sD) 8 m/s

B) 3 m/s C) 6 m/sE) 9 m/s

A ) 25 cmD) 30 cm

B) 50 cm C) 75 cmE) 40 cm

85

¡~\ Academia César V a lle jo , _ Material Didáctico N.° 2 k.

39. En el gráfico se muestra un cam po

magnético hom ogéneo. Si la espira

ingresa al cam po en el instante í0=0 y sale en í, = í, ¿cuál es la gráfica que mejor representa la variación del flujo

m agnético ( í|>) a través de la espira, en función del tiempo?

x x x ( x) B

x x x x

x x x x

x x x x

A H

C)4>

D)4>

B)4>

E) <t>

t, t

40. Si el módulo de la inducción magnéti­ca decrece a razón de 0,02 T/s, ¿cuál es la intensidad de corriente en la espira? Considere que su resistencia eléctrica es de 4tix10“3Q.

A ) 0,2 A D) 0,8 A

B) 0,4 A C) 0,6 A E) 1 A

41. La barra conductora y lisa se mueve con rapidez constante en un plano ho­rizontal. Si el amperímetro no registra corriente eléctrica, determine la fem (t ) de la fuente mostrada.

rielconductor

— ©

X X5m/sX X

40 cm -

X X — X X X

— --- l l -

ñ = l T

x

i i o nX

A ) 1 V D) 4 V

B) 2 V C) 3 V E) 5V

OEM y Física m oderna

42. En cierto instante y en cierto lugar del espacio, una OEM tiene su intensidad de cam po eléctrico y su inducción magnética dada por

£ = £ 0( - / + y ) - y B = B0{ - l - j + k )T m

¿Cuál de los siguientes vectores es paralelo a la velocidad de propagación de la OEM en dicho instante?

A ) - i + j B) —(/+ j ) C) - i + k

D ) U j + 2k E) i - k

86

Ffeica kReforzamiento UNIC.------------------------/

43. Se sabe que el vector Poyting está

definido por S = |i¿'Í£ x b ); entonces,

¿cuál es la fórmula dimensional de

i4=7?S~'?

(7? : resistencia eléctrica)

A )L 2Q - '

B) LM2QC )¿ 2Q“ 2T2

D) L~2M 2 QE) LM2Q - 2 T

44. La intensidad del campo eléctrico de

una OEM plana está dada por

£' = 15xl0”3senjcí-^-+— l í — \-j) U00 15 Jim Jdonde: t en nanosegundos y x en m e­

tros.

Determine la ecuación de la inducción

magnética.

A ) B = 0,lsen27tí-^—+ — ]n T Í ; 1100 15)

B) 5=sen(4+á)nTU)C) S = 0 ,lsenn( T¿ + i ) n T ¿

D) B = sen27tí-^—+ — 1 nTÍ-fc); U00 30 J

E) B = 0 ,2sen 7 i|^+ -^ :jn T (fc )

45. Una OEM se propaga en un m edio die­

léctrico (e r=2,28). Si la fuente que la

emite es de 4 ,5x10" Hz, ¿cuántas lon­

gitudes de onda (aproximadamente)

podem os contar en 22 m?

A) 105 B) 5x 105 O S x l O 4

D )104 E) 5 x 106

46. Un haz ultravioleta (A.=3500 Á ) incide

sobre una placa de potasio. Si la energía

máxima de los fotoelectrones emitidos

es 1,6 eV, determine la función trabajo

para el potasio. (/?=6,63x 10-34 J.s)

A ) 1,72 eV B) 1,86 eV C ) 1,95 eV

D) 2,02 eV E) 2,22 eV

47. Si la función trabajo de un metal es

1,8 eV, ¿cuál es el potencial de frenado

cuando la luz tenga una longitud de onda

de 400 nm e incida en dicho metal?

A ) 1,6 V B) 1,7 V C ) 1,3 V

D) 1,8 V E) 1,9 V

48. El umbral de longitud de onda para el

wolfram io es de 2100 A . ¿Qué longitud

de onda debe usarse para expulsar los

electrones con una energía cinética

máxima igual a la mitad de su función

trabajo?

A ) 1200 A B) 1300 A C ) 1400 A

D) 1500 A E) 1600 A

49. Sobre el cátodo (de sodio) de un tubo de

rayos catódicos se hace incidir una ra­

diación de longitud de onda A.=2500 A.

Determine la energía cinética máxima

de los electrones desprendidos y el vol­

taje de frenado. (i|>Na=2, 3 eV).

A ) 2,46 eV; 343,3 V

B) 2,67 eV; 2,67 V

C) 2,24 eV; 334,3 V

D) 22,6 eV; 356,2 V

E) 21,2 eV; 326,2 V

87

Química_______

Estequiometría

1. Con relación a la ley de la conservación de la materia, indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposi­ciones.I. La masa inicial de los reactantes es

igual a la masa final de los productos.

II. El número total de moles de los reactantes es igual al número total de moles de los productos.

III. El número total de átomos de los reactantes es igual al número total de átomos de los productos.

A )V W B) VFV C) VFFD) F W E) FVF

2. En un recipiente cerrado se combinan 24 g de hidrógeno gaseoso con 16 g de oxígeno gaseoso para formar agua. ¿Cuál y qué cantidad de los componen­tes está en exceso?

PA (urna): 0=16; H=1

A) 0 2; 4 g B) 0 2; 8 g C) H2; 11 gD) H2; 22 g E) H2; 8 g

3. El carborundum (SiC) se fabrica calen­tando 3 g de dióxido de silicio (Si02) y4,5 g de carbono (C) a altas temperatu­ras según la reacción

Si°2(s} + C(s) - » SiC(s) + CO(g)

¿Cuántos gramos se obtendrán de car­borundum y del reactivo en exceso que no reacciona al final del proceso?

PA (urna): C=12; Si=28; 0=16

A) 4 y 3,3 B) 3 y 1,1 C)0,5y2,2D) 2 y 2,7 E) 2 y 3,3

4. Una muestra de 600 g de acero produce 30 g de hidrógeno gaseoso al reaccio­nar con un exceso de ácido clorhídrico. Determine el porcentaje de pureza del acero si la reacción que ocurre es

Fe(s)+HCl(ac) -> H2(g)+FeCl3(ac)

PA (urna): Fe=56; Cl=35,5; H= 1

A) 83,8B) 84,6C)91,2D) 93,3E) 85,6

5. Según la siguiente reacción

CaC03(s) Ca0(s) + C02(g)

calcule el volumen de C02 en condicio­nes normales que se obtiene por la des­composición 0,5 kg de CaC03 al 80% de pureza.

PA(uma): Ca=40; C=12; 0=16

A) 89,6 LB) 44,8 L Q 22,4 LD) 11,2 LE) 5,6 L

6. Se tiene una mezcla de gases formada por CH4 y C2H4. Al combustionar 40 L de dicha mezcla se utilizan 90 L de oxíge­no. Determine el volumen de C02 pro­ducido si todo el proceso se da a pre­sión y temperatura constante.

A) 15 LB) 20 LC) 25 LD) 50 LE) 80 L

88

Reforzamiento UNI_____________ ^ _ Química i-^

El C8H40 3 se produce por la oxidación controlada del naftaleno de acuerdo a la siguiente reacción

C]0H8+O2 — C8H403+C02+H20

Si la reacción tiene una eficiencia del 70%, determine la cantidad de C8H40 3 que se produce por la oxidación de 50 kg de naftaleno.

PA(uma): C= 12; 0=16; H=1

A) 20 kg B) 30,6 kg C) 40,5 kgD) 50,5 kg E) 60,5 kg

Soluciones

Calcule los gramos de NaOH y los mili­litros de agua que se requieren, respec­tivamente, para preparar 240 g de una solución de NaOH al 25% en peso. PA(uma): Na=23;0=16

A) 50 y 150B) 75 y 125C) 60 y 180D) 115 y 135E) 90 y 150

Calcule la molaridad de una solución acuosa de etanol formada por 225 g de agua y 5 g de etanol (C2H5OH).Datos:PA (urna): C= 12; 0=16; H = 1

D etanol = °>78 g/m L

A) 0,47 B) 0,32 C)0,16D) 0,08 E) 0,04

Se desea preparar 0,5 L de una solución 6,8 M de HC1 a partir de otra solución de HC1 8 M. ¿Qué volumen de agua en litros se debe utilizar?

A ) 0,025 B) 0,050 C) 0,075

D) 0,095 E) 0,115

4. Calcule los mililitros de hidróxido de so­dio (NaOH) 6 M y 2 M , respectivamente, que deben mezclarse para obtener 0,5 L de una solución de NaOH 3 M.

A) 25 y 475B) 75 y 425C) 100 y 400D) 125 y 375E) 230 y 270

5. Calcule la molaridad de una solución acuosa de Ca(OH)2 si se sabe que50 mL reaccionan completamente con12,5 mL de una solución acuosa de H2S04 0,5 M.

A) 0,95 B) 0,752 C) 0,50D) 0,250 E) 0,125

6. Calcule el volumen de una solución de H2S04, al 35% en peso con densidad igual a 1,25 g/mL, que se necesita para neutralizar 125 g de CaO.

H2S04+Ca0 —> CaS04+H20

PA (urna): Ca=40; 0=16; S=32

A) 25 mL B) 300 mL C) 500 mLD) 61,25 mL E) 80,75 mL

7. Se hace reaccionar 100 mL de H2S04 3,6 N con 150 mL de Ca(OH)2 2 N según

H2S04(ac)+Ca(0 H)2(ac) —> CaS04(s) + H20(,)

Indique verdadero (V ) o falso (F) según corresponda.

I. En la reacción se forma 20,4 g de pre­cipitado.

II. El reactivo limitante es el Ca(OH)2.

III. Queda un exceso de 2,94 g de H2S04.

PA (urna); Ca=40; S=32; 0=16

A ) F W B) VFF C) VFVD) W F E) V W

89

Academia César Vallejo _ Material Didáctico N.° S

Equilibrio químico

Sobre el equilibrio químico, indique las proposiciones correctas.I. Las reacciones directa e inversa ocu­

rren a igual velocidad.II. A nivel macroscópico y submicros-

cópico es estático y dinámico, res­pectivamente.

III. En los equilibrios homogéneos sola­mente participan sustancias gaseosas.

A) I y IIIB) I y IIC) II y IIID) solo IE) solo II

Con respecto a la constante de equili­brio, indique verdadero (V ) o falso (F) según corresponda las siguientes pro­posiciones.I. Solamente tiene significado en los

sistemas gaseosos.

II. El cambio de temperatura no afecta su valor.

III. Su expresión matemática no es afec­tada por las sustancias sólidas.

A) FFFB) FFVC) F WD) FVFE) V W

Calcule la concentración de C02 en el equilibrio que se obtiene al hacer reac­cionar 28 g de CO con 18 g de H20 en un recipiente de 1 L a 130 °C según la reacción

CO(g)+H20(v) C02(g)+H2(g);Kc-5 ,l

PA (uma): C=12; 0=16

A) 0,35 MB) 0,69 MC) 0,83 MD) 2,80 ME) 4,40 M

Para el siguiente sistema a 25 °C

N 20 4(g) ^ 2 N 0 2(g); K p=0 ,11 3

calcule la presión inicial, en atm, del N20 4 si en el equilibrio se encuen­tra que la presión parcial del N02 es0,52 atm.

A) 0,95 D) 2,65

B) 1,20 C) 0,11 E) 0,42

En un recipiente de 2 L se coloca una mezcla de volúmenes iguales de N02 y0 2 a 27 °C y 1 atm. La mezcla se calien­

ta a 327 °C produciéndose la siguiente reacción

2NO.2(8) 2NO(g)+ °2(g)

Si en el equilibrio se encuentran 0,003 mol de NO, ¿cuál será la presión total, en atm, de la mezcla?

A) ID) 5

B) 2 C) 4 E) 9

De acuerdo a las siguientes reacciones en equilibrio:

s 0 2(g>; K \'• S (s) + °2 (g ) ^

II. 2S(s)+302(g)III. 2S02(g)+ 0 2(g)

2S03(g); K.2S03(g)j K3

indique la alternativa que tiene la ex­presión correcta de K3.

A ) ^2

D) K ^ K 2

k 2C)

2AT,

E)K 2

90

Reforzamiento UNI______ ______ /■ _ Química

Para el siguiente equilibrio

2 S 0 2(g) + 0 2(g) 2 S 0 3(g)

calcule Kc considere que la composi­ción molar en la mezcla es S03=70%; S02=20%; 0 2= 10% y la presión total es

20 atm a 27 °C.

A) 320,5B) 60,8

C) 250,7D) 75,5E) 150,7

Electrólisis

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda a las siguientes proposi­ciones.

I. En una celda electrolítica, la canti­

dad de electrones consumidos en el cátodo es diferente a la cantidad de electrones liberados en el ánodo.

II. Al cambiar la concentración del elec­trolito pueden variar también los productos de la electrólisis.

III. En la electrólisis se da un proceso re- dox no espontáneo.

A) FFF B) FVF C) F WD) VFF E) V W

El yoduro de potasio (KI) es una sal que se funde a 723 °C. Si a estas condicio­nes se somete a un proceso de electró­

lisis, indique lo correcto.

I. En el ánodo se liberan moléculas del halógeno.

II. En el cátodo se deposita el elemento metálico.

III. El potasio (K) se reduce ganando un electrón.

A) II y IIIB) I, II y IIIC) I y IID) solo 1

E) solo II

3. Si se electroliza el nitrato crómico acuoso según el siguiente gráfico.

eí f —

4 B

C r (N 0 3) 3

y

Determine la verdad (V) o falsedad (F)

según corresponda.

I. En el ánodo ocurre la formación del

oxígeno gaseoso.II. En el cátodo se deposita cromo.

III. Los electrodos A y B son el cátodo y

el ánodo, repectivamente.

A) FWB) W F

C) FVF

D) VFV

E) V W

4. ¿Cuántos gramos de agua se descom­

ponen electrolíticamente mediante la

aplicación de 241 250 coulombs, según

el proceso siguiente?

2H2O(0 2H2(g)+ 0 2(g)

PA (urna): 0=16; H = 1

A ) 22,5 B) 11,2 C )2,8

D) 5,6 E) 45

91

f-\ Academia César Vallejo ^ _ Material Didáctico N.° 2

5. ¿Cuántos gramos de plata se depositan

durante la electrólisis de una solución

acuosa de AgNOj con una corriente de

0,25 ampere, durante 24 horas?

PA (Ag) = 108 urna

A) 48,4

B ) 12,1

C) 24,2

D) 72,3

E) 8,0

6. La electrólisis de un cloruro metáli­

co fundido produjo 2,6 g del metal y

0,820 L de Cl2 a 27 °C y 1 atm. ¿Cuál

será el metal?

PA (urna): Li=7; Na=23; K=39; Mg=24;

Ca=40

A) Na B) Mg C) Ca

D) Li E) K

7. Por una celda electrolítica que contiene

oro trivalente, circula cierta cantidad

de corriente eléctrica, la que deposita

1,32 g de oro. En otra celda conecta­

da en serie con la primera se deposita

2,16 g de cierto metal monovalente.

Calcule la masa molar del metal mono­

valente.

PA (Au) = 197 urna

A) 53,7

B) 107,5

C) 163,6

D) 216,3

E) 324,7

Hidrocarburos

1. Respecto a los hidrocarburos, indique verdadero (V) o falso (F) según corres­ponda.I. Solo se usan como combustible.II. Son compuestos binarios formados

por carbono e hidrógeno.III. Se obtienen del petróleo y gas natu­

ral principalmente.

A) W F B) VFF C) FFFD) FFV E) FW

2. ¿Cuántos carbonos primarios, secunda­rios, terciarios y cuaternarios, respectiva mente, hay en la siguiente estructura?

CH3

c h - c h 3 c h 3 c h 3

c h 3- c h 2- c - c h 2- c h - c h - c h - c h :)

CH3—CH—CHjCHj—C-CH3

c h 3

A) 11 2 4 y 2B) 11 2 5 y 2C) 10 3 4 y 3D) 10 2 5 y 2E) 11; 2; 5 y 3

3. ¿Cuál es la nomenclatura del siguiente compuesto?

CH3 c h 2—c h 3

CH2—C -C H 2-CH —CH2—CH2-CH3

c h 3- c h 2 c h 3—c h —c h 3

A) 5-Isopropil-3,3-dietiloctanoB) 4 - Isopropil - 6,6 - dietiloctanoC) 3,3 - Dietil - 5 - isopropiloctanoD) 2 - Metil - 3 - propil - 5,5 - dietilheptanoE) 3,3 - Dietil - 5 - propil - 6 - metilheptano

92

Reforzamiento UNI_________________y _ Química

Dadas las siguientes sustancias

•I. 2,2-Dimetilbutano

II. 2-Metilpentano

III. 2,3-Dimetilpentano

Indique cuáles forman isómeros de ca­

dena y tienen la fórmula C6H14?

A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y II E) II y III

¿Cuál es el nombre según IUPAC del si­guiente compuesto orgánico?

c2h 5 c h 3

c h , - c = c h - c - c h , - c h - c h - c h ,i I , ¿ , i

c h 3 c h - c h 3 c2h 5

ch3

A) 4 - Isopropil - 4,7- dietil - 2,6-dimetiloctenoB) 4,7 - Dietil - 4- isopropil - 2,6 -dimetiloct-

2-enoC) 4 - Etil - 4 - isopropil - 2,6,7 - trimetilnon -

2-enoD) 4 - Etil -4 - isopropil -2,6,7-trimetilnonenoE) 2 - Metil - 4,7 - dietil - 4 - isopropil -2-

octeno

Indique el nombre IUPAC del siguiente hidrocarburo.

CH, CH,I 3 I 3

C H .-C H -C H -C sC -C -CH -CH ,J I l l

CH3-C -C H 3 CH3 C1

CH3

A) 2-Cloro-6-isopropiI-3,3,7,7-tetra-

metiloct-4-ino

B) 2 - Cloro - 6 - terbutil - 3,3,7 - trimetil -

4-octino

C) 7 - Cloro - 3 - isopropil - 2,2,6,6 - tetrame-

tiloctino

D) 7-Cloro-3-isopropil-2,2,6,6-tctra-

metiloct-4-ino

E) 7- Cloro - 3 - terbutil - 2,6,6 - trimetiloct -

4-¡no

7. Indique el nombre IUPAC del siguiente

compuesto.

CH2-CH3

CH3-C = CH—C H -C =C -C U 3

C2H5

A) 2 - Etil - 4 - metil - 2 - hepten - 5 - ino

B) 4-Etil-6-metiloct-5-en-2-ino

C) 5 - Etil - 3 - metiloct - 3 - en - 5 - ino

D) 2,4-Dietilhept-2-en-5-ino

E) 2,4-Dietilhept-6-en-2-ino

Funciones oxigenadas

1. ¿Cuál es el nombre IUPAC del siguiente

alcohol?

CH3CH2C(CH3)0HCHC1CCH

A) 3-Hidroxi-3-metil-4-cloro-5- hexino

B) 3-Cloro-4-hidroxi-4-metilhexino

C)4-Metil-3 - cloro - 5 - hexinol

D) 4-Cloro-3-metil-5-hexin-3-ol

E) 3-Metil-4-cloro-5-hexin-3-ol

2. Halle la atomicidad del compuesto

3 - Metil - 2 - propoxipentano

A) 29

B) 30

C) 31

D) 28

E) 32

93

r\ Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 2 ^

3. ¿Cuántos alcoholes y éteres, respecti­

vamente, puede tener la fórmula global

C4H10O?

A) 2 y 2

B) 2 y 3

C) 3 y 1D) 3y4

E) 4y3

4. Indique el nombre correcto del siguien­

te compuesto químico

c h 3 o

CHj—(CH2)2—CH—CH—C =C —C—H

CH(CH3) 2

A) 4-Isopropil-5-met¡l-2-octinal

B) 5-Metil-4-secbutil-2-hexinal

C) 5-Metil-3-etil-4-octinal

D) 4 - Isopropil -1 - octanal

E) 4 - Isopropil - 5 - metil - 2 - octin -1 - al

5. Nombre correctamente el siguiente

compuesto.

CH:jO

CH3-C —C -CH —CH2—CH=CH—CH3

c h 3 c h - c h 3

c h 3

A) 2,2 - Metil - 4 - isopropil - 6 - octen-

3- ona

B) 2 - Metil -4 - propil - 6 - opten - 3 - ona

C) 2,2 - Dimetil - 4 - propil - 6 - octen -

3-ona

D) 2,2 - Dietil - 4 - isopropil- 6 - octen- 3 - ona

E) 4 - isopropil - 2,2 - Dimetil - 6 - octen -

3 - ona

6. Respecto a los ácidos carboxílicos, in­

dique verdadero (V) o falso (F) según

corresponda

I. Su grupo funcional es el carbonil»

-COOH.

II. Se obtienen de la oxidación de alco­

holes primarios.

III. La nomenclatura IUPAC del

CH2—CH3

c h , - c = c h - c - c h 2- c o o hj I , ¿CH3 c h 3

es Ácido-3- etil-3,5-dimetilhexanoico.

A) VFF B) FFV C) FW

D) FVF E) FFF

7. Indique el nombre IUPAC del com­

puesto faltante en la siguiente reacción

CH3COOH+C8H17OH ^ ...........+ h2o

A) metanoato de octilo

B) metanoato de heptiloC) acetato de heptilo

D) acetato de octilo

E) etanoato de nonilo

94

Reforzamiento UNI ^ _ Química

PRACTICA DOMICILIARIA

Estequiometría

1. Calcule el porcentaje de impurezas con­tenidas en 2,9 g de carburo de calcio (CaC2), que al reaccionar con agua en exceso se obtienen 850 mL de acetile­no (C2H2) en condiciones normales.

CaC2(s) + H2 °((1)- » Ca( ° H 2(ac) + C2H2(9) PA (urna): Ca=40; C=12

A) 13,7% B) 19,1% C) 16,2%D) 15,5% E) 17,2%

2. A25°C y 1 atm se queman 200 L de gas metano (CH4). Calcule el volumen de aire consumido en las mismas condi­ciones de presión y temperatura.

C H 4(g)+ 0 2(g) -> C 0 2(g)+ H 20 m

f 20% 0 2 % molar del aire i

[ 80% N2

A) 3 m3 B) 2 m3 C) 1000 LD) 2,5 m3 E) 2500 L

3. Se hace reaccionar 56 g de monóxido de carbono (CO) con 76 g de oxígeno (0 2) según la siguiente reacción.

C 0 (g) + ° 2 ( g ) C 0 2(g)

Determine cuál es el reactivo limitante y el porcentaje de la sustancia en exce­so, respectivamente, al final de la reac­ción.

A) CO y 15% B) COy 12% C )0 2yl0%D) CO y 33,3% E) 0 2y25%

4. La hematita es el nombre del mineral de donde se extrae el óxido férrico (Fe20 3), el cual es empleado para extraer hie­rro (Fe) por reducción. Si se tiene una muestra de hematita de 200 kg con

25% de impurezas, calcule la masa de Fe que se puede extraer.Fe20 3+C —> Fe+C02 PA (urna): F=56 ; 0=16

A) 45 kg B) 115 kg C )50kgD) 100 kg E) 105 kg

5. Se tratan 4 L de N2 y 14 L de H2 en las mismas condiciones de presión y tem­peratura para formar NH3 según la si­guiente reacción.

N 2(g) + H 2(g) - » N H 3(g)

Calcule el porcentaje, en volumen, de H2 en la mezcla final en la mismas con­diciones.

A ) 7% B )10% C ) 15%D) 5% E) 20%

6. La producción industrial del metanol (CH3OH) se basa en el siguiente proce­so químico

C 0 (g) + H 2(g) C H 3 ° H (g )

Si se hace reaccionar 672 L de CO en condiciones normales, se logra obte­ner 436,8 g de CH3OH. Determine la eficiencia de la reacción.

A) 38,2% B) 30,7% C) 43,2%D) 46,8% E) 45,5%

7. Dos toneladas de carbonato de calcio (CaC03) se descomponen según la si­guiente reacción.

CaC03(s¡ —> Ca0(s)+ C 0 2(g)

Si el rendimiento de la reacción es de un 80%, ¿qué peso de CaO se puede obtener como máximo?PA (urna): Ca=40; C=12; 0=16

A) 810 kg B) 650 kg C) 780 kgD) 890 kg E) 896 kg

95

/-t Academia César Vallcjo _ Material Didáctico N.° 2 i

8. Un mineral que contiene 32,8% de piri­ta (FeS2) es reducido a trozos pequeños y quemado en presencia de aire para formar hematita (Fe20 3). ¿Cuántas mo­les de oxígeno gaseoso se requieren para tratar 5,97 kg de mineral de pirita?

F e S 2(s) + 0 2(g) F e 2 ° 3 (s ) + S 0 2(g)

PA (uma): Fe=56; S = 32

A) 44,87 B) 32,35 C) 34,13D) 42,11 E) 43,12

9. Determine la masa de ácido nítrico (HN03) que se podría obtener aprove­chando el nitrógeno contenido en 15 g de la sal nitrato de sodio (NaN03), el cual posee 80% de pureza. ¿Cuál es la reacción química que corresponde al proceso?

NaN03+H2S04 -> NaHS04+HN03

PA (uma): Na=23; 0=16

A) 5 g B) 7,5 g C) 9 gD) 8,32 g E) 8,89 g

Soluciones

10. ¿Cuántos gramos de NaOH harán falta para preparar 5 L de una solución 0,1 Ai? PA (uma): Na=23; 0=16

A) 10 B) 13 C)20D) 22 E) 28

11. Calcule la molaridad y normalidad de una solución de K2S04 al 10% en peso, cuya densidad es 1,08 g/mLMasa molar (g/mol): K2S04= 174

A) 0,62 M; 0,86 NB) 0,31 M; 0,62 N

C) 0,72 M; 1,41 ND) 0,80 A/; 1,60 NE) 0,62 Ai; 1,24 Ai

12. ¿Qué volumen de soda cáustica al 4% en peso y densidad 1,25 g/mL se diluyo para preparar 5 L de una solución de NaOH 1 Ai?

A) 1 L B) 3 L C) 4 LD) 5 L E) 6 L

13. Calcule el volumen de una solución do H2S04 4 M si cuando se mezcla con 5 1. de otra solución 6 M del mismo soluto se obtiene una solución de concentra­ción 5 M.

A) 3 L B) 5 L C) 6 LD) 8 L E) 9 L

14. Se adiciona 5 L de HC1 12 M a 6 L do HC1 6 M. ¿Cuántos litros de agua será necesario añadir a la mezcla para obtener, finalmente, una solución de HC18 Ai?

A) 1 L B) 2 L C) 3 LD) 4 L E) 5 L

15. Para neutralizar 42 mL de H2S04 resulta necesario añadir 14 mL de NaOH 0,3 N. Determine la molaridad de la disolu­ción de H2S04.

A) 0,03 B) 0,05 C) 0,08D) 1,15 E) 1,23

16. Se encontró que 25 mL de una solución de ácido sulfúrico reacciona completa­mente con 1,96 g de Na2C03 puro. ¿Cuál fue la normalidad de la solución?PA (uma): S=32; 0=16; Na=23; C= 12

A ) 0,14 B) 1,25 C) 1,74

D) 1,48 E) 2,78

96

^ Reforzamiento UNI ^ _ Química K

17. El vinagre está constituido por agua y ácido acético CH3COOH. Al neutralizar completamente 5 mL de vinagre se usan 30 mL de NaOH 0,1 M. Determine la molaridad del ácido acético en el vinagre.

A) 0,30 M B) 0,60 M C) 0,70 MD) 0,90 M E) 1,20 M

18. Un método de obtención de alcohol etílico CH3CH2OH es a partir de la fer­mentación de glucosa C6H120 6, lo cual se realiza según la reacción

C6H120 6 -> CH3CH20 H +C 02

¿Cuántos gramos de glucosa serán ne­cesarios para preparar 500 mL de una solución de alcohol etílico 1,2 molar?

A) 54 B) 10 C) 104D) 108 E) 110

Equilibrio químico

19. Respecto al equilibrio químico, indique verdadero (V) o falso (F ) según corres­ponda.I. Se da en reacciones químicas irre­

versibles.II. La constante de equilibrio depende de

la presión y temperatura del sistema.III. Las propiedades físicas de sus com­

ponentes en el equilibrio permane­cen constantes.

A) VFV B) F W C) W FD) FVF E) FFV

20. A 700 °C se obtuvieron las constantes de equilibrio para las siguientes reacciones.

c (s)+2H2°(s) ^ C02(s)+2H2(g); /Cj = 1,25

H2(g)+ C 0 2(g) H20 (g)+ C 0 (g); K2= 0,75

Calcule el valor de la constante de equi­librio para la reacción

C (s) + C 0 2(g) ^ 2 C 0 (g)

A) 0,6 B) 0,4 C) 0,9D) 0,7 E) 0,8

21. Se introduce en un reactor de 5 L de capacidad 4 moles de N20 4(g), el cual se consume en un 25% hasta alcanzar el equilibrio. Calcule Kc.

N 20 4(g) ^ N 2(g)+ 2 0 2(g)

A) 0,053 B) 0,072 C) 0,035D) 0,047 E) 0,037

22. En un recipiente de un litro a 150°C se encierran 1,36 moles de H2(g) y 0,78 moles de CO(g), estableciéndose el si­guiente equilibrio.

C O (g) + 2 H 2(g) *=% C H 30 H (g)

Si la concentración del H2 es 0,12 M en dicho estado, determine el valor de K0.

A) 0,031 B) 58,92 C) 325,58D) 269,09 E) 0,0037

23. Determine el valor de Kp para la si­guiente reacción en equilibrio

C(s)+C02(g) 2CO(g)

si la fracción molar del C02 es 0,25 y lapresión total es 2 atm.

A) 4,5 B) 5,2 C) 4,8D) 6,3 E) 3,7

24. En un reactor de 20 litros se coloca 6 mo­les de COCI2 y se calienta hasta 127 °C, desarrollándose el siguiente equilibrio.

COCl2(g)+calor C O ^ + C l^ j

Si la presión total en el equilibrio es 16,4 atm, calcule Kc.

A ) 3/8 B) 3/4 C) 3/11D) 8/3 E) 2/5

97

25. S ea el siguiente sistem a en equilibrio

A B (s) ^ A (g) + B (g)

Si en un nuevo equilibrio la concentra­ción de A se duplica, ocasionará que la concentración de B sea

A) 1/4 de su valor original.B) 1/8 de su valor original.C) 1/2 de su valor original.D) el doble de su valor original.E) 1/3 de su valor original.

26. Según el gráfico corresponde para la si­guiente reacción en equilibrio a 327 °C.

2C0(S) + 0 2CS) ^ 2C°2(g)

/-» Academia César Vallejo^,__________________

Calcule la concentración del CO y 0 2en el equilibrio, respectivamente.

A) 2 Ai y 3 A/B) 4 Ai y 5 MC) 8 Ai y 5 A/D) 8 A/ y 4 AiE) 2 A iy4A Í

Electrólisis

27. Respecto a los procesos electrolíticos, in­dique las proposiciones verdaderas.I. La pérdida de electrones ocurre en

el cátodo.II. Por lo general, los iones metálicos

se reducen en el ánodo.III. Los electrones fluyen por el alambre

conductor externo solo si hay cam­bios químicos en los electrodos.

A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y III E) II y III

28. Con respecto a la electrólisis del agua acidulada, indique verdadero (V) o fal­so (F) según corresponda.I. En el cátodo se libera H2(g).II. En el ánodo se libera O2(g).III. En el cátodo se reduce el ácido sul­

fúrico (H2S04).

A ) V W B) FFF C) VFVD) V W E) FFV

29. Indique la proposición incorrecta.

A) La electrólisis es un proceso no espon­táneo que emplea corriente continua.

B) La masa de las sustancias depositadas o liberadas en los electrodos es pro­porcional a la intensidad de corriente.

C) En la electrólisis de la salmuera se libera oxígeno en el ánodo.

D) El cátodo se carga negativamente.E) El sentido de la corriente es de ánodo

a cátodo.

30. La solución de nitrato de plata (AgN03) se electroliza haciendo pasar una co­rriente de 4 ampere durante 96,5 minu­tos. Calcule la masa depositada de plata en el cátodo.PA (Ag) = 108 urna

A) 20,22 g B) 17,92 g C) 13,51 gD) 25,92 g E) 12,13 g

31. La electrólisis del NiS04 disuelto en agua se lleva a cabo con una corriente de 2 A para producir 174 g de níquel só­lido en el cátodo. Determine el tiempo, en horas, que requiere el proceso.PA (N i)=58 urna

_______ ______________ Material Didáctico N ° 2 ^

A ) 70,32 B) 80,42 C) 65,22D) 37,48 E) 21,22

98

^ Reforzamiento UNI _Química

32. En el proceso de plateado de una cu­chara, con una corriente de 4,825 A durante media hora, se logró depositar8,33 g de Ag. Si el electrolito utilizado es AgN03 acuoso, ¿cuál fue la eficien­

cia del proceso?PA (Ag) = 108 urna

A) 92,3% B) 69,9% C) 70,8%D) 85,7% E) 86,8%

33. Al electrolizar una so lución a cu o sa de

NaC l se h acen pasar 18,066x1024 e lec ­

trones a través d e la celda. Determ ine

el vo lum en d e cloro ga seo so liberado

en condic iones norm ales.

A) 336 L B) 320 L C )310LD) 315 L E) 341 L

34. En la electrólisis del sulfato cúprico (CuS04) se produce 158,75 g de cobre sólido con una eficiencia del 80%. De­termine la corriente que se emplea si se sabe que el proceso tardó 96,5 se­gundos.PA (Cu )=63,5 urna

A) 5320 A B) 6250 A C) 5300 AD) 7500 A E) 6314 A

35. El Ni se deposita en el cátodo de una cuba electrolítica que contiene una so­lución de NiS04 y que está en serie con otra cuba en la cual se depositan 162 g de plata. Si en ambas celdas se utilizó una corriente de 3 A, ¿cuántos minutos duró el proceso?PA (urna): Ni=58; Ag=108

A ) 721,7 B) 810,2 C) 530,2

D) 760,3 E) 804,2

Hidrocarburos

36. Respecto a las propiedades generales de los compuestos orgánicos, indique cuáles son verdaderas.!. En su estructura necesariamente

deben contener a los elementos C,H, O y N.

II. Sus cadenas carbonadas pueden ser saturadas o insaturadas.

III. A 25 °C y 1 atm pueden ser sólidos, líquidos o gaseosos.

A) solo I B) I y II C) solo IID) II y III E) I, II y III

37. Indique el número de carbonos prima­rios, secundarios, terciarios y cuaterna­rios, respectivamente, en la siguiente estructura.

CH, CI13

CHj-C H —CH-CH2—C—CH3

c h 3 c 2h 5

A) 5; 2; 2; 1B) 6; 3; 1; 1C) 5; 3; 2; 1D) 6; 2; 1;2E) 6; 2; 2; 1

38. Respecto a los hidrocarburos, indique verdadero (V) o falso (F) según corres­ponda.I. Son compuestos orgánicos diató­

micos conformados por carbono e hidrógeno.

II. Su fuente natural principal de obten­ción es el petróleo.

III. Según el tipo de enlace se clasifican en iónicos y covalentes.

A ) VFV B) F W C) W V

D) FVF E) FFF

99

f-\ Academia César Valle jo^. _ Material Didáctico N.° 2 i-y

39. Indique el nombre IUPAC del siguiente compuesto.

CH(CH3)2 ch3

CH3-CH-CH-CH2-CH-CH-CH3

cn 3 ch2- c h (ch3) - ch3

A) 4,6 - Diisopropil - 2,7 - dimetiloctanoB) 3 - Isobutil - 5 - isopropil - 2,6 - dimetil

heptanoC) 3,5 - Diisopropil - 2,6 - dimetiloctanoD) 5 - Isobutil - 3 - isopropil - 2,6 - dimetil-

heptanoE) 3,5 - Diisopropil - 2,7 - dimetiloctano

40. Determine la masa, en urna, de dos moléculas del compuesto 2,5-Dimeti-3-etilheptano.

A) 156 B) 168 C) 192D) 312 E) 296

41. ¿Qué alcano lineal produce 11,2 L de C02 en condiciones normales por la combustión de 0,1 moles de dicho hi­drocarburo? PA (urna): C=12; H=1

A) propanoB) n-butanoC) n-pentanoD) n-hexanoE) etano

42. Indique el nombre, según IUPAC, del siguiente compuesto.

c> S h. ch3

CH,-CH-CH-CH2-CH-CH,-CH=CH-CH.í I I .

CH-CH., CHjI J J

ch3

A) 7 - Isopropil - 5,8 - trimetildec- 2 - enoB) 4 - Isopropil - 2,3,6 - trimetildec - 8 - enoC) 2,3 - Diisopropil - 5 - metilnon - 7 - enoD) 7,8 - Diisopropil - 5 - metil - non - 2 - enoE) 7-Isopropil-5,8-dimetildeceno

43. Nombre, según las reglas IUPAC, la si­guiente estructura.

C2H5

CH3—CH—CH—C=C—CH,—CH—C=C11

CH3 c h3

A) 3,7,8-Trimetil-I,5-decadiinoB) 5 - Etil - 6 - metil - 2 - isopropil -

2 - undecadiinoC) 7 - Etil - 2 - etinil -6 - metil - 4 - octinoD) 3,4,8-Trimetil-5,9-decadiinoE) 2 - Etil - 7- etinil-3-metil-4 - octino

44. Respecto a la siguiente estructura, indi­que las proposiciones incorrectas.

CH3

CH2=CH -CH -CH 2-CH -CSCH

CH,

I. Es un hidrocarburo acetilénico.II. Su fórmula global es C9H18.III. Según IUPAC su nombre es

3,5 - dimetilhept -1 - en - 6 - ino.

A) solo IB) I y IIC) solo IID) I y IIIE) I, II y III

Funciones oxigenadas

45. Respecto a las funciones oxigenadas, indique verdadero (V ) o falso (F) según corresponda a las siguientes proposi­ciones.I. Son compuestos covalentes binarios.II. Algunos están presentes en las

frutas.III. Poseen el átomo de oxígeno en el

grupo funcional.

A ) FVF B) FFV C) F WD) V W E) W F

100

^ Reforzamiento UNI ^ _ Química

4G. Indique el nombre oficial del siguiente alcohol.

CH3 I 6

CH,-CH-CH=CH I 1 IOH CH3

A) 2,4-Dimetil-3-buten-1-olB) 2-MetilpentenolC) 2 - Metil - 3 - penten -1 - olD) 5 - Hidroxi - 2 - pentenoE) 1 - Hidroxi - 2 - metilpenteno

47. Indique el nombre 1UPAC del siguiente compuesto.

C1 OC3H7

c h 3- c h - c h - c h 2- c h - c h - c h 3

C H -C H 3 ¡Q J

A) 6 - Cloro-6- etil - 3 - metil - 4 - propoxioctanoB) 7 - Cloro - 2,5 - dietii - 3 -propoxiheptanoC) 2,5 - Dietil - 6 - cloro - 2 - propoxiheptanoD) 2 - Cloro - 3,6- dietel -5 - propoxiheptanoE) 2-Cloro-3-etiI-6-metil-5-propoxioctano

48. Señale el nombre sistemático del si­guiente compuesto.

CH3 O

c h 3- c h - c h - c h - c h 2- c - h

^ CH3-CH-CH3

A) 4-Isopropil-3-metil-2-fenilhexan-1 -alB) 5 - Fenil - 4 - metil - 3 - isopropilpentanolC) 4- Metil - 3 - isopropil - 5 - fenil - hexanalD) 3-Isopropil-4-metiI-5-fenil-1 - hexanalE) 5 - Fenil - 3 - isopropil - 4 - metilhexanal

49. Indique el nombre correcto del siguien­te compuesto.

CH3 O

c h 3- c h - c h - c - c h 2= c h - c h 3

c h 2- c h 3

A) 6,7-Dimetil-5-nonanoB) 2-Etil-3-metil-6-octen-4-onaC) 7-Etil-6-metil-2-octen-5-ona

D) 7 - Etil - 6 - metil - 5 - octanoE) 5,6-Dimetil-2-octen-4-ona

50. Indique el nombre correcto del siguien­te compuesto.

C1 CH3

C H ,-C H -C H =C -C -O H J II

O

A) 4-Cloro-2-metilpropanoicoB) 2-Cloro-4-metilpropenoicoC) Ácido 4 - cloro - 2 - metil - 2 - pentanoicoD) Ácido 4-cloro-2-metil-2-pentenoicoE) Ácido 4-cloro-2-metilpentenoico

51. ¿Cuál es el nombre IUPAC del siguiente compuesto orgánico?

C H ,-C H -C =C -C H -C H 2—COOH I I JLOH CH3 ^

A) Ácido5-bencil-1 -hidroxi-2-metil-

3-heptinoicoB) Ácido 3 - fenil - 7 - hidroxi - 6 - metil -

4 -heptinoicoC) Ácido 7 - hidroxi - 6metil - 3 - fenilhepta-

noicoD) Ácido 3 - fenil - 7 - hidroxi - 6 - metil -

4-heptenoicoE) Ácido 3 - bencil - 7 - hidroxi - 6 - metil -

4 - heptanoico

52. Determine la masa molar (g/mol) del propa-noato de bencilo.PA (uma): C= 12; H=1

A ) 150 B) 164 C) 180

D) 240 E) 360

101

Cla

ves

A r it m é t ic a

01 - B

0 2- E

0 3-C

0 4 - E

0 5 -C

0 6 -C

07 - C

08 -D

0 9-D

10-C

11 - A

12 - C

13 - D

14- A

1 5 - A

16 - D

17 - C

18 - A

19-C

2 0 - A

21 - B

2 2- D

2 3 - B

2 4 - E

2 5 - B

2 6 -D

2 7 - A

28- E

29 -D

3 0-E

31 - D

3 2-D

3 3-C

3 4- E

3 5 -B

3 6 -E

3 7 - B

3 8 - B

3 9 -B

4 0 -E

41 -C

4 2 - A

4 3-C

44 - B

4 5 - E

4 6 -E

4 7 -C

4 8 -E

49 - A

5 0-C

Á l g e b r a

01 - A 0 6-D 11 - E 16 - A 21 - A 2 6 -E 31 - B 36 -B 41 - A 4 6 -C0 2 - B 0 7 -C 12 - E 17 - B 2 2 -D 2 7-C 3 2 - A 3 7 -D 4 2 -C 4 7 - A

03 - A 0 8-C 13 - B 18 - A 2 3 - A 28 - D 3 3 -C 3 8 - A 43 - B 4 8 -C04 - A 09 - E 14 - D 19 - A 2 4 -C 2 9 - A 3 4-D 3 9- A 4 4 - B 4 9 - A

0 5 - E 10-C 15 - A 2 0 -C 2 5 - A 30- D 3 5- B 4 0 -D 45 - A 5 0- B

G e o m e t r ía

01 -D 0 7 - B 13 - C 19 - B 25 - A 31 - A 3 6 - A 4 2 -C 4 8 -D

0 2- D 0 8- A 14- B 2 0- B 26 - E 3 2-D 3 7 -C 4 3 - A 4 9 -C0 3- A 09 -E 15 - B 21 -C 2 7 - A 3 3-E 3 8 - A 4 4 - B 5 0-E

0 4-C 10 - E 16 - A 2 2 -D 2 8-C 34 - E 3 9- B 4 5-C 51 -D

0 5 -C 11 - C 17 - C 2 3-E 2 9 -D 3 5-C 4 0 - B 4 6- E

06-D 12 - A 18 - C 2 4- D 30 -C 36 -A 41 - A 4 7 - A

T r ig o n o m e t r ía

01 - B 0 6 -C 11 - E 1 6-A 21 - B 2 6 - A 31 -C 3 6- A 41 - E 4 6 - B

0 2 - A 0 7 - A 12 - B 17 - E 2 2 - A 2 7-D 3 2- B 37 -C 4 2 -C 4 7 -E0 3 -D 08 - B 13 - C 1 8-D 2 3 - C 2 8 -C 33 - B 38 -D 4 3 - A 4 8 -D

0 4 - A 0 9- A 14-D 19-D 2 4- E 2 9- E 34 - E 39 - E 44 - B

0 5 - B 10-E 15 - B 2 0 - A 2 5 - A 30 -B 3 5 - A 4 0 -C 4 5 -D

Físi ca

01 -C 0 6 -C 11 - B 16 - C 21 - E 2 6 - B 31 - E 3 6- D 41 -B 4 6 -C

0 2 - A 0 7 - A 12 - C 17 - D 2 2 -C 2 7- E 3 2-C 3 7- D 42 - D 4 7 -C

03 - A 0 8- B 13 - E 18 - B 2 3 -C 2 8 -B 3 3 -D 3 8- A 4 3 -C 4 8 -C

0 4-D 09- E 14 - A 19 - E 2 4 - B 2 9 -C 34 - C 3 9 - A 44 - C 4 9 - B

0 5 -B 10 - B 15 - D 20 -D 25 - B 3 0 -E 35 - A 4 0 - A 4 5- C

Q u í m ic a

01 - C 0 7 -E 13 - B 19 - E 2 5 -C 31 - B 3 6 -D 4 2 - A 4 8 -E

0 2- B 0 8- A 14 - A 20 -D 2 6 - A 3 2- D 37 -E 4 3 - A 4 9 -E

0 3-D 0 9 -E 15-B 21 - A 2 7- C 3 3 - A 3 8-D 44 - B 5 0-D

0 4-E 10-C 16-D 2 2 -D 2 8 -D 3 4- B 39 -E 4 5- C 51 - B

0 5-E 11 - E 17 - B 2 3- A 2 9- C 35 - E 4 0 -D 4 6 -C 5 2- B

0 6- E 12 - C 18 - A 2 4- E 3 0 -D 3 6- D 41 -C 4 7 -E