Resolución de circuitos resistivos en corriente continua

ELECTRÓNICA XABIER PÉREZ TEMA 01 Parte 01

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1 MAGNITUDES ELÉCTRICAS. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA.

1.1 CONCEPTOS ELÉCTRÓNICOS BÁSICOS. Tensión (V). Es la diferencia de potencial entre dos puntos. La

definición remite a “trabajo que hay que realizar para trasladar una unidad de carga eléctrica positiva de B a A, venciendo la fuerza ejercida por el campo eléctrico”.

Corriente (I). La intensidad de corriente que fluye por un

conductor es la cantidad de carga que atraviesa una sección del conductor por unidad de tiempo. La intensidad circula desde el punto de mayor potencial (+) al de menor potencial (-). La corriente también tiene valor y signo. Su unidad es el amperio (A).

Potencia (P). La potencia disipada o almacenada por un elemento de circuito de dos terminales, es el producto de la intensidad que lo atraviesa por la caída de tensión que sufre. Los signos se han de tomar como se muestra en figura. Su unidad es el watt (W).

P = V ·I

Circuito. Conjuntos de varios componentes, dispositivos y/o

elementos conectados entre sí. Se supondrá que los componentes están unidos mediante conectores ideales (no sufren caída de tensión en su recorrido).

Interruptor. Elemento que permite la conexión o desconexión

entre dos puntos de un circuito.

A

B

E

d

VAB = E ·d VBA = - E · d La tensión tiene valor y signo. Depende del punto de referencia. Su unidad es el voltio (V).

+

-V I


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Fuentes o Generadores Independientes. • De tensión. Elemento de un circuito que mantiene entre sus

terminales una tensión determinada con independencia de la corriente que lo atraviesa. La tensión se mantiene constante aunque la corriente varíe.

• De corriente. Elemento de un circuito que mantiene entre sus

terminales una intensidad de corriente determinada a través de sus terminales con independencia del valor de la tensión entre ellos. La corriente se mantiene constante aunque la tensión varíe.

Nudos y mallas. • Nudo. Punto de conexión de tres o más componentes de un

circuito. En la figura de ejemplo hay dos nodos. • Malla. Camino cerrado que contiene dos o más nudos. En la figura

de ejemplo hay tres mallas, dos internas y una externa. 1.2 RESISTENCIA Y LEY DE OHM. AGRUPACIONES. 1.2.1 Resistividad

Se define resistividad como el grado de dificultad que encuentran los electrones en sus desplazamientos. Su valor describe el comportamiento de un material frente al paso de la corriente

V

I

R+-

I


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eléctrica, por lo que da una idea de lo buen o mal conductor que es. Un valor alto de resistividad indica que el material es mal conductor mientras que uno bajo indicará que es un buen conductor.

1.2.2 Resistencia

Se denomina resistencia eléctrica, R, de una sustancia, a la oposición que encuentra la corriente eléctrica para recorrerla. Su valor se mide en ohmios y se designa con la letra griega omega mayúscula (Ω).

Según sea la magnitud de esta oposición, las sustancias se clasifican en conductoras, aislantes y semiconductoras. Existen además ciertos materiales en los que, en determinadas condiciones de temperatura, aparece un fenómeno denominado superconductividad, en el que el valor de la resistencia es prácticamente nula.

1.2.3 Ley de Ohm

La ley de Ohm, establece que la intensidad de la corriente eléctrica que circula por un dispositivo es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo, según expresa la fórmula siguiente:

Esto es lo mismo que decir que la diferencia de potencial (voltaje, V) entre los extremos de un conductor es igual al producto de su resistencia (R) y la intensidad (I) que circula por él.

V = I * R

1.2.4 Agrupaciones Resistivas.

Los elementos resistivos pueden agruparse permitiendo la contribución común de varios de ellos. Las agrupaciones se deben, en parte, a la imposibilidad de encontrar en el mercado una gama infinita de valores. La resistencia resultante de la agrupación se


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conoce como Resistencia Equivalente, Req. Las agrupaciones pueden ser en serie o en paralelo.

Serie.

Se produce una unión en serie cuando sólo un terminal de dos resistencias está en contacto, formando un nodo al que no se conecta ningún otro elemento. Por ambas resistencias circula la misma corriente, pero la tensión que cae en cada una será distinta (salvo que sean iguales).

Para una agrupación de N resistencias en serie, la Req será:

Paralelo.

Se produce una unión en paralelo cuando los dos terminales de las resistencias coinciden entre sí. La corriente que llega al nodo de entrada se reparte entre las resistencias y se vuelve a recoger en el nodo de salida. La tensión que cae es la misma en todas las resistencias.

Dado que esta expresión no es cómoda de usar, se remienda realizar las equivalencias de las agrupaciones en paralelo de dos en dos.

R1 R2 R3

I

+ V1 - + V3 -+ V2 -

Req

I

+ VReq -

321eq R+R+R=R

∑N

1=kkeq R=R

R1

R2

R3

+ V -

I1

I2

I3

I I

321eq R

1+

R

1+

R

1=

R

1

Req

I

+ VReq -


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Esta expresión es especialmente útil cuando se tratan de paralelos de resistencias de igual valor:

Es decir, el paralelo de dos resistencias iguales, es la mitad del

valor de la resistencia.

Ejercicio. Compruebe que la resistencia equivalente de la agrupación de la figura es 2.5KΩ.

1.2.5 Código de Colores.

Las resistencias (resistores) son fabricados en una gran variedad de formas y tamaños. En los más grandes, el valor de la resistencia se imprime directamente en el cuerpo de la resistencia, pero en las más pequeñas, esto no se puede hacer.

Sobre estas resistencias se pintan unas bandas de colores. Cada color representa un número que se utiliza para obtener el valor final de la resistencia. Las dos primeras bandas indican las dos primeras cifras del valor de la resistencia, la tercera banda indica por cuánto hay que multiplicar el valor anterior para obtener el valor

R1

R2

21

21

21eq R×R

R+R=

R

1+

R

1=

R

1

21

21eq R+R

RR=R

R

R

2

R=

R2

R=

R+R

RR=R

2

eq

10kOhm

5kOhm

10kOhm


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final de la resistencia. La cuarta banda nos indica la tolerancia y si hay quinta banda, ésta nos indica su confiabilidad.

CÓDIGO DE COLORES

Colores 1ª Cifra 2ª Cifra Multiplicador Tolerancia

Negro 0 0

Marrón 1 1 x 10 1%

Rojo 2 2 x 102 2%

Naranja 3 3 x 103

Amarillo 4 4 x 104

Verde 5 5 x 105 0.5%

Azul 6 6 x 106

Violeta 7 7 x 107

Gris 8 8 x 108

Blanco 9 9 x 109

Oro x 10-1 5%

Plata x 10-2 10%

Sin color 20%

Ejemplo. Si una resistencia tiene las siguientes bandas de

colores:

rojo amarillo verde oro 2 4 5 +/- 5 %

Se pueden calcular los valores nominales, máximos y mínimos

que podría tener esta resistencia.

RNOM RMAX RMIN 2.4 MΩ 2.52 MΩ 2.28 MΩ


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1.3 LEY DE JOULE Y POTENCIA ELÉCTRICA. 1.3.1 Ley de Joule

La ley de Joule permite calcular la energía disipada en forma de Calor en un conductor. Su expresión matemática es:

Q = I2 · R · t

Siendo R la resistencia en ohms, I la intensidad de corriente en amperios y t el tiempo en segundos.

Por ejemplo, si se conecta una batería o pila a un foco o bombillo incandescente se observa que esta energía se convierte en luz y también se disipa en calor.

La unidad de la energía es el julio (J) y la rapidez o velocidad con que se consume esa energía (se deja la bombilla encendida gastando energía en luz y calor) se mide en julios/segundo. A esto se le llama Potencia.

1.3.2 Potencia Eléctrica.

La potencia establece una relación entre la energía y el tiempo. Su fórmula: P = E / T

[W] = [J/seg]

Se demuestra que la expresión anterior se puede reescribir en clave de electrónica: P = V x I

Aplicando la Ley de Ohm, se puede expresar como:

P = V2 x R = I2 / R

Ejemplo. Si se conecta una bombilla o foco a la batería (12 Voltios) de un auto y por la bombilla circula una corriente de 2 amperios, entonces la potencia que se consume (en calor y luz) es:

P = V x I = 12 x 2 = 24 watts (vatios)

Con los mismos datos, y con la potencia ya encontrada, es posible encontrar el valor en ohmios de la resistencia que presenta la bombilla:

R = V2 / P = 122 / 24 = 6 Ω


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1.4 LEYES DE KIRCHHOFF. 1.4.1 Divisor de Tensión.

Aplicando la Ley de Ohm se puede extraer la relación que define la cantidad de tensión que se queda cada resistencia.

1.4.2 Divisor de Corriente.

Aplicando la Ley de Ohm se puede extraer la relación que define la cantidad de corriente que pasa por cada resistencia.

R1

R2

+

V

-

Se propone como ejercicio que el estudiante demuestre las expresiones anteriores, las de los divisores de tensión y corriente, a partir de la aplicación directa de la Ley de Ohm.

R1

R2+

V2 -

+ V1 -

+

V -

I

VR+R

R=V

21

22

VR+R

R=V

21

11

IR+R

R=I

21

12

IR+R

R=I

21

21


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1.4.3 Circuito Equivalente. Dados los circuitos diferentes A y B, se dicen que son equivalentes si al ponerles a la misma tensión, pasa la misma corriente (IA = IB). 1.4.4 Ley de Kirchoff de tensiones (KVL). “La suma de las diferencias de tensión a lo largo de una malla, en un mismo sentido, debe ser igual al cero”

V1 + V2 – Vg = 0

Vg = V1 + V2 Se ha de elegir un nodo de referencia (tierra, masa, gnd,..) y a él se le asigna tensión cero. Que un nodo tenga 3V de tensión quiere decir que entre ese nodo y masa la diferencia de voltaje es de 3V. 1.4.5 Ley de Kirchoff de corrientes (KCL). “La suma de corrientes que entran en un nodo es igual a cero (con el signo correctamente interpretado)”. La suma de las corrientes entrantes a un nodo ha de ser igual a la suma de las corrientes salientes del mismo nodo. I1 + I2 + I3 = 0

I3 = -(I2+I3)

V

IB

V

IA

∑N

1=kk 0=V

Vg

+ V1 -

+V2-

I

I3I1

I2 ∑N

1=kk 0=I


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Se usará esta ley al hacer el análisis de circuitos por nodos. 1.4.6 Resolución de circuitos resistivos por KVL.

Se empleará este método cuando sólo se tengan fuentes de tensión en el circuito. En este caso, las incógnitas a encontrar serán las intensidades de cada malla. Se propone la resolución del circuito siguiente

Se seguirán los siguientes pasos: 1. Tomar tantos caminos cerrados diferentes (los mínimos posibles),

de forma que siempre pase por lo menos un camino por cada elemento del circuito. Es decir, indicar la circulación de la corriente en cada malla sin olvidar que pase por ningún elemento de la malla.

2. Definir un sentido para cada uno de los caminos y darle nombre a

la corriente de cada malla. Por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj.

Vg

R1

R2R3

Vg

R1

R2 R3I1 I2


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3. Definir la caída de tensión en cada elemento del circuito (la asignación es libre, aunque se aconseja seguir el criterio de que la corriente circula del ‘+’ al ‘-‘).

4. Aplicar la Ley de Kirchoff del KVL para circuito cerrado para cada

una de las mallas.

Malla 1: V1 + V2 – Vg = 0 Malla 2: V3 - V2 = 0 5. Calcular la caída de tensión en cada elemento a partir de las

corrientes de malla. 6. Sustituir las caídas de tensión en las ecuaciones de malla. Malla 1: V1 + V2 – Vg = 0 R1 · I1 + R2 (I1 – I2) - Vg = 0

∑N

1=kk 0=V

Vg

R1

R2R3

I1 I2

+ V1 -

+ V2 -

+ V3 -

Vg

R1

I1

+ V1 -

R2

+ V2 -

R2R3

I2+

V2 -

+ V3 -

Vg

R1

R2R3

I1 I2

+ V1 -

+ V2 -

+ V3 -

V1 = R1 · I1 V2 = R2 (I1 – I2) V3 = R3 · I2


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Malla 2: V3 - V2 = 0 R3 · I2 - R2 (I1 – I2) = 0 7. Determinar el valor de las corrientes, en función de resistencias y

fuente de tensión. Malla 1: R1 · I1 + R2 (I1 – I2) - Vg = 0 ; R1 · I1 + R2 · I1 – R2 · I2 - Vg = 0; (R1 + R2) · I1 – R2 · I2 - Vg = 0;

Malla 2: R3 · I2 - R2 · I1 + R2 · I2 = 0;

(R3 + R2)· I2 - R2 · I1 = 0; (R3 + R2)· I2 = R2 · I1 ;

2

2231 R

I )·R + (R=I

Se substituye el valor de I1 encontrado en la malla 2, en la malla 1:

(R1 + R2) · 2

223

R

I )·R + (R – R2 · I2 - Vg = 0;

I2 · ]R - R

)R + )(RR + (R[ 2

2

2321 - Vg = 0;

I2 · ]R - R

)R + )(RR + (R[ 2

2

2321 = Vg

I2 · ]R

R-)R + )(RR + (R[

2

222321 = Vg

I2 · ]R

R- R+RR + RR + RR[

2

22

22322131 = Vg

I2 · ]R

RR + RR + RR[

2

322131 = Vg

I2 = Vg ] RR + RR + RR

R[

322131

2

Una vez encontrado el valor de I2, se substituye en I1 :

2

2231 R

I )·R + (R=I =


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=2

23

R

)R + (R Vg ]

RR + RR + RR

R[

322131

2 =

= Vg 2

23

R

)R + (R ]

RR + RR + RR

R[

322131

2 =

I1 = Vg ] RR + RR + RR

R + R[

322131

23

De esta forma, ya se tienen cuantificados los valores de las corrientes. Ejercicio. Repetir análisis con el circuito de la figura.

Datos: Va = 2Vb = 5 V

R1 = 2R2 = 2KΩ 1.4.7 Resolución de circuitos resistivos por KCL.

Se empleará este método cuando sólo se tengan fuentes de corriente en el circuito. En este caso, las incógnitas a encontrar serán las tensiones que caen en cada nodo. Se propone la resolución del circuito siguiente

Va

R1

R2

R1

Vb


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Se seguirán los siguientes pasos: 1. Nombrar los nodos que existen en el circuito, dejando como

referencia uno de ellos (el de masa, ya que las caídas de tensión se calculan respecto al nodo de referencia)

2. Nombrar, sin repetir, las corrientes que llegan a cada nodo

definiéndoles un sentido. 3. Aplicar la Ley de Kirchoff de Corrientes (KCL) en cada nodo.

Nodo A: Ig - I1 = 0 Ig = I1

Nodo B: I1 - I2 - I3 = 0 I1 = I2 + I3

R1

R2R3Ig

R1

R2R3Ig

Va Vb

masa

R1

R2R3Ig

Va Vb

masa

I1 I3

I2

∑N

1=kk 0=I


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4. Calcular cada corriente entrante y saliente de cada nodo en función de las caídas de tensión sobre cada elemento.

1

ba1 R

)V - (V=I

2

b

2

b2 R

V=

R

masa) - (V=I

3

b

3

b3 R

V=

R

masa) - (V=I

5. Se sustituyen las expresiones de las corrientes en función de la

tensión, en las ecuaciones de los nodos.

Nodo A: Ig = I1 1

bag R

)V - (V=I

Nodo B: I1 = I2 + I3 3

b

2

b

1

ba

R

V+

R

V=

R

)V - (V

6. Determinar el valor de las caídas de tensión en cada nodo, en

función de resistencias y la fuente de corriente

Nodo A: 1

bag R

)V - (V=I ba1g V - V=RI V+RI =V b1ga

Nodo B: 3

b

2

b

1

ba

R

V+

R

V=

R

)V - (V

32

2b3b

1

ba

RR

RV+RV=

R

)V - (V

( ) 12b3b32ba ·RRV+RV=R)·RV - (V

12b13b32b32a RRV+RRV=RRV - RRV

32b12b13b32a RRV+RRV+RRV=RRV

( )32b12b13b32a RRV+RRV+RRV=RRV

( )

1)+RR

RR+

RR

RR(V=

RR

RR+RR+RRV=V

32

12

32

13b

32

321213ba

Llegados a este punto, se igualan las expresiones encontradas para Va en cada nodo con el objeto de aislar Vb :

1)+RR

RR+

RR

RR(V=V+RI

32

12

32

13bb1g


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b32

12

32

13b1g V - 1)+

RR

RR+

RR

RR(V=RI

1)- 1+RR

RR+

RR

RR(V=RI

32

12

32

13b1g

)RR

RR+RR(V=)

RR

RR+

RR

RR(V=RI

32

1213b

32

12

32

13b1g

b1213

321g V=)

RR+RR

RR(RI

)R+R

RR(I=V

23

32gb

Una vez encontrado Vb es inmediato hallar Va, por ejemplo desde el nodo A:

)R+R

RR(I+RI = V+RI =V

23

32g1gb1ga

)R+R

RR+R(I =V

23

321ga

Ejercicio. Repetir análisis con el circuito de la figura.

Datos: Ig = 3Is = 3 mA

R1 = 2R2 = 2KΩ

R1

R2

R2

Ig Is


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1.5 RESOLUCIÓN POR SUPERPOSICIÓN.

Este método permite simplificar la resolución de circuitos cuando tienen distintas fuentes de corriente o tensión. Si además se hace uso de los recursos de división de tensión y corriente, el análisis se hace aún más simple. 1.5.1 Método. 1 Se anulan todas las fuentes independientes menos una. 2 Se calcula la salida producida por la fuente no anulada. 3 Repetir los pasos 1 y 2 para cada una de las fuentes. 4 Sumar las contribuciones de cada una de las fuentes para la salida

buscada. 1.5.2 Anulación de Fuentes Independientes. Anulación de Fuentes independientes de Tensión

Va

I ≠ 0

Cortocircuito

I ≠ 0

+

Va = 0

-

Anulación de Fuentes independientes de Corriente.


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1.5.3 Resolución de circuitos resistivos por Superposición Se propone la resolución del siguiente circuito, en que las incógnitas serán las corrientes I1 y I2. Primero se analiza por mallas (o por nodos) y después por superposición para verificar la corrección de la solución.

Análisis por mallas.

Malla 1: V1 + Vx – Vo = 0 Malla 2: V2 - Vx = 0 V1 + Vx = Vo V2 = Vx = R2 · I2 Vo = R1 · I1 + R2 · I2

Del nodo A: I2 = I1+ Io Sustituyendo en la malla 1:

R1

R2Io

I1

I2Vo

R1

R2Io

I1I2

Vo I1 I2+

Vx -

A


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Vo = R1 · I1 + R2 · I1 + R2 · Io = I1 (R1+ R2) + R2 · Io

21

o2o1 R + R

I ·R -V=I

A partir de la ecuación del nodo A:

I2 = I1+ Io = 21

o1o

21

o2o1o2oo

21

o2o

R + R

I ·R+V=

R + R

I ·R+I ·R+I ·R -V=I+

R + R

I ·R -V

21

o1o2 R + R

I ·R+V=I

Análisis por Superposición. Se anulan todas las fuentes menos una. En este caso, se anula la

Fuente de Tensión CORTOCIRCUITO.

R1 R2IoI1 I2

R1 R2

Io

I1 I2

Manipulando el circuito se obtiene la forma del divisor de corriente ya vista al principio del tema. Así pues:

21

2o1 R + R

R -I=I

21

1o2 R + R

R I=I


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Se anula la Fuente de Corriente CIRCUITO ABIERTO.

Ahora queda la figura de un divisor de tensión. Además, la corriente que pasa por las dos resistencias es la misma.

21

o21 R + R

V=I=I

Agrupando las contribuciones encontradas en cada caso, se obtiene exactamente el mismo resultado que al analizar por mallas.

21

o2o1 R + R

I ·R -V=I

21

o1o2 R + R

I ·R+V=I

Ejercicio. Repetir análisis (por mallas o nodos y por

superposición) con el circuito de la figura. Determine el valor de Vx.

Datos: Io = 2Is = 3mA R1 = 2R2 = 2KΩ

R1

R2

I1

I2

Vo

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