Resumen Geometría Plana 1 BINMAT

GEOMETRÍA

Prof. Widman Gutiérrez R

NOCIONES BÁSICAS

PROPOSICIÓN: Enuncia una verdad demostrada o por demostrar. Toda proposición tiene un solo valor lógico: o es verdadero (V) o es falso (F). AXIOMA: Proposición evidente por sí misma que no necesita demostración. POSTULADO: Es una proposición evidente que sin tener la evidencia del axioma se acepta sin demostración. TEOREMA: Es una proposición que para ser evidente requiere ser demostrada; tiene dos partes:

• Hipótesis: Es lo que se plantea para la

demostración del teorema.

• Tesis: Es la demostración del teorema.

COROLARIO: Es una consecuencia deducida de un teorema ya demostrado. LEMA: Es una proposición que sirve de base para la demostración de un teorema. ESCOLIO: Es una proposición que sirve para aclarar, restringir o ampliar alguna proposición. PROBLEMA: Enunciado en el cual se pide hallar una cantidad o construir una figura geométrica según condiciones dadas.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA

EL PUNTO: Es la mínima representación geométrica de cualquier figura geométrica. El punto no tiene dimensiones, por lo tanto no existe en la naturaleza; pero sí en el pensamiento humano. LA RECTA: Es una sucesión infinita de puntos que siguen una misma dirección y que es ilimitada en ambos sentidos. EL PLANO: Es una superficie llana, lisa, sin espesor que es ilimitada en todo sentido.

MÁXIMO NÚMERO DE PUNTOS DE CORTE

Para “n” rectas secantes

Para “n” circunferencias secantes

Para “n” triángulos secantes Para “n” cuadriláteros secantes

EN GENERAL

Para “n” polígonos CONVEXOS de “l” lados

� = ��(� − �)

Para dos polígonos CONVEXOS de diferente número de lados: Observación: Para “n” figuras cualesquiera de la misma especie (convexa o no convexa), el Máximo Número de Puntos de Corte es: Donde: k es el MNPC de 2 de dichas figuras.

FÓRMULA GENERAL DE COMBINACIÓN El máximo número de puntos de corte originado por la combinación de 2 grupos de figuras diferentes se calcular con la siguiente expresión:

SEGMENTOS

Conjunto de puntos pertenecientes a una línea recta limitados por dos puntos denominados extremos.

Q

Polígono de mayor

# de lados: “m”

Polígono de menor

# de lados: “n”

= ∙ � ∙

k = máximo número de puntos de corte

de solo 2 figuras (1 de cada grupo).

m = # de figuras del primer grupo.

n = # de figuras del segundo grupo

A, B : Extremos

AB : Segmento AB

L

= 4 ( − 1)

= ( − 1)

2

= ( − 1)

2

= 2

= 3 ( − 1)

= ( − 1)

A B

GEOMETRÍA


B

O C

� �

A

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Punto que divide a un segmento en dos segmentos congruentes; es decir, dicho punto lo divide por la mitad.

OPERACIONES CON SEGMENTOS

ADICIÓN

�� + �� = ��

SUSTRACCIÓN

�� − �� = ��

Observaciones: Sobre una recta real R se tienen los puntos A y B cuyas coordenadas son “a” y “b” respectivamente, entonces se cumple:

• Las coordenadas del punto medio del segmento

AB viene dado por:

• La medida del segmento AB es igual a:

ÁNGULOS

Es la abertura que forma dos rayos que tienen el mismo origen.

Lados: �� y � �� Vertice: �

Notación:

∡�"�; ∡"; �"�#

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Los angulos se clasifcan según su medida, según sus caracteristicas y según la posicion de sus lados.

SEGÚN SU MEDIDA

ÁNGULO NULO Angulo cuya medida es igual a $%, su representación

son rayos que están superpuestos.

ÁNGULOS CONVEXOS Ángulo cuya mediad es mayor Oº y menor a 180º, es

decir su medida varía entre (&º < ) < �*$º)

Ángulo Agudo Su medida es menor que 90º

Ángulo Recto Su medida es igual a 90º

Ángulo Obtuso Su medida es mayor que 90º, pero menor que180º

ÁNGULO LLANO La medida del angulo llano es igual a180º

+∡�� = �*$%

ÁNGULO NO CONVEXO O CÓNCAVO Ángulo cuya mediad es mayor 180º y menor a 360º, es decir su medida varía entre (�*$º < , < -.$º)

ÁNGULO DE UNA VUELTA La medida del angulo de una vuelta es igual a

360º

SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS

COMPLEMENTARIOS Son dos angulos cuya suma resultante es /$%

0, = /$ − , = )

SUPLEMENTARIOS Son dos ángulos cuya suma resultante es �*$$

1, = �*$ − , = )

� = � =��

2 A M B

P Q R

AB b a= −= −= −= −

a bM

2++++====

A B C

B

O A

�

B

O A

�

�∡�"� = 904 B

O A

�∡�"� < 904

B

O A

� 904 < �∡�"� < 1804

B O A

B O A

�∡�"� = 04

B

O A �

1804 < �∡�"� < 3604

B O A

�∡�"� = 3604

B

O A

C

� �

GEOMETRÍA


B

O D

�

�

A

7

C

B

O C

� �

A

B

O

E

�

�

A 8

C

D

7

9

SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS

ANGULOS CONSECUTIVO Dos o mas angulos son consecutivos cuando cada

uno de ellos tienen el mismo vértice un lado común con su inmediato

C. A UN MISMO LADO DE UNA RECTA

, + ) + : = �*$

ANGULOS ADYACENTES

C. ALREDEDOR DE UN

PUNTO

, + ) + ; + ∅ + : = -.$

OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son dos angulos determinados al trazar dos rectas

secantes, dichos angulos son conguentes

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE

L1 // L2; L3: Recta secante

ÁNGULOS ALTERNOS

INTERNOS ∡= > ∡� → ∡= = ∡� ∡� > ∡@ → ∡� = ∡@

EXTERNOS ∡� > ∡A → ∡� = ∡A ∡B > ∡C → ∡B = ∡C

Los ángulos alternos son congruentes

ANGULOS CONJUGADOS

INTERNOS ∡� > ∡= → ∡� + ∡= = 180 ∡� > ∡@ → ∡� + ∡@ = 180

EXTERNOS ∡� > ∡C → ∡� + ∡C = 180 ∡B > ∡A → ∡B + ∡A = 180

Los ángulos son suplementarios

ANGULOS CORRESPONDIENTES

∡� D ∡E → ∡� = ∡E ∡ D ∡F → ∡ = ∡F

∡G D ∡H → ∡G = ∡H ∡0 D ∡I → ∡0 = ∡I

Los ángulos son congruentes

PROPIEDADES ADICIONALES

Si: �//K

Si: �//K

� + � = 180

A

B C

D

E

F G

H

LM

LN

EXTERNO

INTERNO

EXTERNO

GEOMETRÍA


A C

B

�

�

8

� + � + 8 = 180O

A C

B

�

8

� � � � � � 8 � P � � 8 � �

�

�

P

A C

B

� � � P � 360O

�

P

Q

� 8

RS: U V Q V W → � V � V 8

�

U

W

Q

Q � W ( U ( Q � W

U � W ( Q ( U � W U � Q ( W ( U � Q

U

W

ÁNGULOS QUE TIENEN SUS LADOS PARALELOS

ÁNGULOS QUE TIENEN SUS LADOS PERPENDICULARES

TRIÁNGULOS

Polígono de tres lados

ELEMENTOS

TEOREMAS FUNDAMENTALES

En todo triangulo la suma de las medidas de sus

ángulos interiores es 0180

En todo triangulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a el

En todo triangulo la suma de las medidas de sus

ángulos exteriores es 0360

En todo triangulo se cumple que a mayor lado se le opone mayor ángulo y viceversa, también diremos que a mayor lado su altura relativa es menor

POSTULADO DE LA EXISTENCIA DEL TRIANGULO En todo triangulo la longitud de uno de sus lados esta comprendida entre la suma y la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

POR SUS LADOS TRIÁNGULO ESCALENO Posee sus tres lados desiguales y por consiguiente sus tres ángulos interiores son diferentes

TRIÁNGULO ISÓSCELES Posee dos de sus lados iguales y por consiguiente los ángulos opuestos a ellos son iguales.

A, B, C: Vértices a, b, c : Lados

α, β, θ : Ángulos Internos

δ, γ, ω : Ángulos externos

B

A

C

a c

b

α

β

θ δ

γ

ω

� 8

�

� �

GEOMETRÍA


TRIÁNGULO EQUILÁTERO El triángulo equilátero posee sus tres lados iguales y cada ángulo interior es 60º

POR SUS ÁNGULOS TRIÁNGULO

ACUTÁNGULO Posee sus tres ángulos interiores agudos (menores que 90º )

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Posee un ángulo interior recto (mide 90º)

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

Posee un ángulo interior obtuso (mayor de 90º)”α” es obtuso.

NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO La naturaleza de un triangulo nos sirve para averiguar el tipo de triangulo según sus ángulos. Si consideramos: X > Y > Z

Si: X[ > Y[ > Z[

Si: X[ < Y[ + Z[

Si: X[ = Y[ + Z[

Δ Obtusángulo Δ Acutángulo Δ Rectángulo

LINEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

ALTURA Es el segmento que parte de un vértice y llega perpendicularmente al lado opuesto o su prolongación

MEDIANA Es el segmento que une el punto medio de uno de los lados con el vértice opuesto

MEDIATRIZ Es la línea recta perpendicular en el punto medio de un lado cualesquiera

BISECTRIZ Es el segmento que biseca al ángulo de referencia, se tiene bisectrices interiores y bisectrices exteriores.

PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

ORTOCENTRO Punto de intersección de las tres alturas.

BARICENTRO Punto de intersección de las tres medianas

CIRCUNCENTRO Punto de intersección de tres mediatrices

O

G

2b

2c

c 2a

a b

C

α α

β

β

60º 60º

60º

� 8

�

�

�

α

GEOMETRÍA


INCENTRO Punto de intersección de las tres bisectrices I

EXCENTRO Punto de intersección de dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior

CASOS PARTICULARES

TRIÁNGULO ISÓSCELES

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES

ÁNGULO FORMADO POR 2 BISECTRICES INTERIORES

ÁNGULO FORMADO POR 2 BISECTRICES EXTERIORES

ÁNGULO FORMADO POR UNA BISECTRIZ INTERIOR Y UNA BISECTRIZ EXTERIOR

ÁNGULO FORMADO POR LA ALTURA Y LA BISECTRIZ

ÁNGULO FORMADO POR LA ALTURA Y LA MEDIANA TRAZADOS DESDE EL ÁNGULO RECTO

ÁNGULO FORMADO POR LA BISECTRIZ Y LA MEDIANA TRAZADOS DESDE EL ÁNGULO RECTO

ÁNGULO FORMADO POR LA BISECTRIZ Y LA MEDIANA TRAZADOS DESDE EL ÁNGULO RECTO

I

E

Altura

Mediana

Mediatriz

Bisectriz

�@^̂ ^̂

30

30

30

α 30

30

30

O

Ortocentro

Baricentro

Circuncentro

Incentro

O

O

G

C

a

2a

3a 3a

O: Ortocentro

G: Baricentro

C: Circuncentro

A

B

C

β

α

H

β

α

GEOMETRÍA


PROPIEDADES ADICIONALES

PROPIEDAD 1

PROPIEDAD 2

PROPIEDAD 3

PROPIEDAD 4

PROPIEDAD 5

PROPIEDAD 6

PROPIEDAD 7

PROPIEDAD 8

PROPIEDAD 9

PROPIEDAD 10

PROPIEDAD 11

PROPIEDAD 12

PROPIEDAD 13

β

GEOMETRÍA


PROPIEDAD 14

PROPIEDAD 15

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 45º

TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 30º Y 60º



CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son congruentes si tienen igual

forma e igual tamaño. Es decir sus ángulos

interiores de igual medida y sus lados opuestos de

igual longitud respectivamente.

Dados dos triángulos �� y ��.

Si: ��^̂ ^̂ ≅ ��^̂ ^̂ ; ��^̂ ^̂ ≅ ��^̂ ^̂ ; ��^̂ ^̂ ≅ ��^̂ ^̂ ↔ � ≅ �; ↔ � ≅ �; ↔ � ≅ �

→ Δ�� ≅ Δ��

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

CASO ALA (Ángulo-Lado-Ángulo) Dos triángulos son congruentes, si tienen congruentes un lado y los ángulos adyacentes a él.

→ Δ�� ≅ Δ��

CASO LAL (Ángulo-Lado-Ángulo) Dos triángulos son congruentes, si tienen congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

→ Δ�� ≅ Δ��

CASO LLL (Lado-Lado-Lado) Dos triángulos con congruentes si tienen sus tres lados congruentes respectivamente.

→ Δ�� ≅ Δ��

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