Ruido en un Sistema de Comunicación Parte II

Jorge Arturo Pardiñas Mir

1

Parte II

Ruido en un Sistema de Comunicación

Telecomunicaciones Ruido en un Sistema de Comunicación

Canalde

Comunicación

ruido, atenuación,retardo, ancho

de banda limitado

ReceptorTransmisor )(ty

)(tn

)()()( tntstr ii +=

ii NS ,

)()( tnts oo +

oo NS ,

)(tsi

En un sistema de comunicación digital los efectos del canal afectan a la señal transmitida de manera tal que el valor digital leído a la salida del receptor pudiera ser erróneo.

T0t

)(1 ts

)(2 ts

)(tsi

tT0

)(tr

ii NS , oo NS ,potencia de la señal y del ruido a la entrada del receptor

potencia de la señal y del ruido a la salida del receptor

2

Relación Señal a Ruido en un Sistema Digital


La relación señal a ruido se expresa comúnmente en un sistema analógico de comunicación como el cociente entre la potencia de la señal S y la potencia del ruido N:

N

SSNR =

En un sistema de comunicación digital se utiliza el cociente entre la energía del bit Eb y la densidad espectral de potencia del ruido N0:

WN

RS

WN

TS

N

E bbb

//

/0

==

La energía del bit Eb es la potencia de la señal por el tiempo de duración de un bit Tb (inverso a la velocidad de datos Rb = 1/Tb) y la densidad de potencia del ruido N0 es la potencia del ruido entre el ancho de banda empleado W.

3

Taza de Error de Bit (BER)


Un criterio de desempeño de un sistema de comunicación digital dentro de un ambiente con ruido es la BER para diferentes niveles de ruido en comparación con el nivel de la señal que se transmite:

NB

EBBER =Taza de Error de BIT (BER):

EB: número de bits recibidos incorrectamenteNB: número total de bits transmitidos

La BER se expresa usualmente como una potencia de 10, por ejemplo: 1 bit erróneo dentro de 100 mil bits transmitidos:

510100000

1 −===NB

EBBER

4

Ejemplo de BER


Ejemplo de comparación de dos sistemas de recepción (uno denominado correlacionador y el otro cuadrático) en términos de la probabilidad de error (Pe) producida por cada uno de ellos ante diferentes niveles de relación señal a ruido a su entrada (Eb/N0), expresada generalmente en dB.

15 20 25 30

10-15

10-10

10-5

100

Eb/No

P e

|c,W

Probability of Error vs Eb/No

Correlator

Quadratic

dB 5

Recepción/Detección de una Señal Digital I


A la entrada del receptor se tiene la señal transmitida más el ruido:Ttitntstr i ≤≤=+= 02,1)()()(

El receptor digital se encarga de obtener, a partir de la señal recibida atenuada y con ruido, un valor que le permita identificar o detectar la información transmitida con cierta probabilidad de error.

∀≤≤∀≤≤

=00)(

10)()(

2

1

Ttts

Tttstsi

La señal binaria transmitida si(t) se representa por dos símbolos posibles s1(t) y s2(t):

)(tnλ

Receptor Digital Básico

6

Recepción/Detección de una Señal Digital II


El filtro de recepción, dependiendo el tipo de transmisión realizada, entrega una señal que posee un componente correspondiente a la señal original transmitida y otro componente correspondiente al ruido: 2,1)()()( 0 =+= itntatz i

2,1)()()( 0 =+= iTnTaTz i

El elemento muestreador entrega al momento T un valor que permita al Comparador de Nivel tomar la decisión sobre el valor de la información recibida en función de un umbral prestablecido λ:

λ1

2

H

H

z<>

λλ

<→>→

zsitsH

zsitsH

)(

)(

22

11

λ

7

Probabilidad de Error en la Detección


)()|()()|( 221112 sPsHPsPsHPPe +=

Dos formas en que puede presentarse un error en la detección:

� s1 es transmitido y se escoge H2

� s2 es transmitido y se escoge H1

21

21 )()( == sPsPsi

[ ])|()|( 211221 sHPsHPPe +=

P(s1) y P(s2) son respectivamente las probabilidades a priori de que s1(t) o s2(t) sean transmitidos.

8

Pe en un Detector de Máxima Verosimilitud I


Criterio de detección: escoger un umbral λ quepermita minimizar la probabilidad de error:

Regla de decision: se escoge H1 si P(s1|z) > P(s2|z)

)|()|( 21

1

2

zsPzsP

H

H

<> 1

)|()|(

1

2

2

1

H

H

zsP

zsP

<> Criterio de máximo

a posteriori (MAP)

Usando la regla de Bayes para la probabilidadcondicional: )(

)()|()|(

BPAPABP

BAP =

2,1)(

)()|()|( == i

zf

sPszfzsP ii

i

)()|()()|( 2211

1

2

sPszfsPszf

H

H

<> Prueba de

cociente de verosimilitud)(

)()|()|(

)(1

2

2

1

1

2

sP

sP

szf

szfz

H

H

<>

=Λ

0=λd

dPe

9

Pe en un Detector de Máxima Verosimilitud II


La prueba del cociente de verosimilitud indica que se escoge la hipótesisH1 si el cociente de verosimilitud es mayor que el cociente de lasprobabilidades a priori.

1)|()|(

)(

1

2

2

1

H

H

szf

szfz

<>

=Λ

21

21 )()( == sPsP

)|()|( 21

1

2

szfszf

H

H

<>

0

1

2

λH

H

z<>

221

0

aa +=λ

Para el caso en que:

Se tiene entonces que:

Umbral óptimo para minimizar el error de probabilidad ( )0=

λd

dPe

( ))()(

ln1

2

21

20

2121

0 sP

sP

aaaa

−+= σλ

Para cualquier otra probabilidad a priori de los datos:

10

El detector que minimiza la Pe, para el caso en que las probabilidades de los símbolos son iguales, se denomina detector de Máxima Verosimilitud.

Calcular el valor del umbral de decision óptimo λ0 para los casossiguientes de probabilidades a priori presentes en los datos: P(s1) = 0.5, P(s1) = 0.7 y P(s1) = 0.2

Ejemplo de Umbral Óptimo en un Detector Máx-Ver I


Se tiene una señal digital cuyos valores si(t) son:

en donde:

∀≤≤−=∀≤≤+=

=00)(

10)()(

2

1

TtVAts

TtVAtstsi

T

)(tsi

t−+ A−− A

El filtro de recepción utilizado es un integrador. Se estima que la potencia del ruido recibido es de 1.02

0 =σ

Para todos los casos: )()()( tntstr i +=

[ ]

∀+∀+

=+= ∫ 0

1)()()(

02

01

0 na

nadttntsTz

T

iy la salida del integrador es:

( ) ATdtAaATAdtaTT

−=−=== ∫∫ 0201111

Ejemplo de Umbral Óptimo en un Detector Máx-Ver II


a) P(s1) = 0.5, P(s2) = 0.5

b) P(s1) = 0.7, P(s2) = 0.3

c) P(s1) = 0.2, P(s2) = 0.8

( )ATATsP

sP

aaaa

04.07.03.0

ln2

1.0)()(

ln1

2

21

20

2121

0 −==−

+= σλ

( )0

2221

0 =−+=+= ATATaaλ

ATAT

07.02.08.0

ln2

1.00 ==λ

122

Probabilidad de Error con Ruido Gaussiano I


−

=

2

0

0

2

1

00 2

1)(

σ

πσ

n

enp

−−

=

2

0

1

2

1

01 2

1)|(

σ

πσ

az

eszp

−−

=

2

0

2

2

1

02 2

1)|(

σ

πσ

az

eszp

[ ])|()|( 211221 sHPsHPPe +=

∫ ∞−= 0

)|()|( 112

λdzszpsHP ∫

+∞=

0

)|()|( 221 λdzszpsHP

Probabilidad de error de detección en el receptor digital:

Para el caso de un ruido gaussiano:

133

Probabilidad de Error con Ruido Gaussiano II


[ ] )|()|()|()|( 2112211221 sHPsHPsHPsHPPe ==+=

∫∫+∞

∞−==

0

0

)|()|( 21 λ

λdzszpdzszpPe

Por simetría de la función de densidad de probabilidad p(z|si):

La probabilidad de error esnuméricamente igual al áreabajo cualquiera de las“colas” de las funciones de verosimilitud:

∫∞+

−−

=0

2

0

2

2

1

0 2

1λ

σ

πσdzeP

az

e

Usando y = (z-a2)/σ0 , σ0 dy = dz :

( ) ( )∫∞+

−

−

−==021

2

2/0

212/

0 22

1σ σπσaa

ye

aaQdyeP

Funcióncomplementariade error Q() 14

4


El detector de máximaVerosimilitudoptimiza el umbral de recepción λ minimizandola probabillidad de error.

Pe del Detector de Máxima Verosimilitud con Ruido Gaus siano

=

−=00

21

22 N

EQ

aaQP d

e σ-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

λ

)(tx

En un ambiente de ruidogaussiano la probabilidad de error del detector es función del cociente entre la diferencia de los niveles de voltaje de los símbolosy la desviación estandar del ruido:

−

0

21

2log10

σaa[ ] 2

00

221 2/,)()( σ=−= ∫ NdttstsE

T

d 155


Encontrar la probabilidad de error en un sistema de transmission de datos que emplea un receptor Max-Ver con filtro de recepción integradorbajo las siguientes condiciones:

• P(s1) = P(s2) = 0.5, • Ruido gaussiano con σ2 = 10-3 W/Hz, • Señalización bipolar con A = 3.3 V.• Velocidad de datos de 103 b/s

Ejemplo de Pe del Detector Máx-Ver con Ruido Gaussiano

=

−=00

21

22 N

EQ

aaQP d

e σ[ ]

[ ]∫

∫=−=

−=T

T

d

TAdtAA

dttstsE

0

22

0

221

4

)()(

sT 410/1=

)(tsi

t−+ V3.3−− V3.3

( ) ( )( ) 3.3102

10/13.3222 9

42

0

2

0

=== −N

TA

N

Ed

( ) 4108.43.3 −⋅== QPe

20 2σ=N

166

Filtro Acoplado I


17

El umbral óptimo para el caso del receptor Max-Ver correspondea la minimización de la probabilidad de error en función del umbral. Al minimizar la probabilidad de error en función de la máxima relación señal a ruido (S/N) a la salida del filtro de recepción, el filtro se denomina Filtro Acoplado.

2,1)()()( 0 =+= iTnTaTz i2,1)()()( 0 =+= itntatz i)()()( tntstr i +=

[ ] 20

200 )( σ== TnEN[ ] )()( 22 TaTaES iio == 2

2 )(

O

i

O

Ta

N

S

σ=

oo NS ,Filtro

Recepción)(tz

Tt =

)(Tz

oo NS , potencia de la señal y del ruido a la salida del receptor

)(tr

Filtro Acoplado II


La función del filtro de recepción que maximiza la relación señal a ruido(S/N) a la salida del filtro es:

TjeSHH ωωωω −== )()()( *0

en donde s(t) corresponde a la forma de la señal transmitida: la respuesta al impulso del filtro acoplado es una version retrasada de la imagen de la forma de la señal. Por ejemplo:

ηE

N

S

O

2

max

=

El valor máximo de S/N está dado por:

)(ts

t0 T

)( ts −

t0T−

)( tTs −

t0 T

Por lo que la probabilidad de error del receptor afectado por ruido gaussiano, empleando el filtroacoplado y umbral óptimo es:

=

02N

EQP d

e

≤≤−

=0

0)()(

TttTsth

Filtro Acoplado y el Correlacionador I


En el receptor digital la salida del filtro de recepción, en el caso lineal, corresponde a:

≤≤−

=0

0)()(

TttTsth

∫ −=

∗=t

dthr

thtrtz

0)()(

)()()(

τττλ

)(tx

)(th

Para el caso del filtro acoplado,

[ ]∫ −−=∗=t

dtTsrthtrtz0

)()()()()( τττ

Cuando t=T la salida del filtro es entonces:

∫=T

dsrTz0

)()()( τττLo cual corresponde a la correlación entre r(t) y s(t).

Filtro Acoplado y el Correlacionador II


Realización del filtro acoplado:

)(tr )(Tz)()( tTsth −=

)(tr

)(ts

Correlacionador

)(Tz

≤≤−

=0

0)()(

TttTsth

∫=T

dsrTz0

)()()( τττ

∫T

0


Pe del Filtro Acoplado con Señales Unipolares

=

=

00

2

2 N

EQ

N

TAQP b

e

≤≤=≤≤=

=Ttts

TtAtstsi 00)(

0)()(

2

1

2

2TAEb =en donde es la energía promedio de la señal por bit

21

En un sistema de comunicación digital en donde la señaltransmitida presenta dos símbolos s1(t) y s2(t) de característicaunipolar:

La probabilidad de error en la recepción, considerando el uso de un filtro acoplado y el umbral óptimo de decision, está dada por:

T

)(tsi

t

−AV−V0


Pe del Filtro Acoplado con Señales Bipolares

≤≤−=≤≤+=

=TtAts

TtAtstsi 0)(

0)()(

2

1

TAEb2=en donde es la energía promedio de la señal por bit

[ ]

( ) TAdtA

dttstsE

T

T

d

2

0

2

0

221

42

)()(

==

−=

∫

∫La energía de la diferencia de la señal de entrada en un filtro adaptado es:

=

02N

EQP d

e

La probabilidad de error en el filtro adaptado es:

=

=∴

00

2 22

4N

EQ

N

TAQP b

e

22

T

)(tsi

t−+ A−− A


Pe del Filtro Acoplado con Modulación ASK

=

=

00

2

4 N

EQ

N

TAQP b

e

≤≤=

≤≤==

Ttts

TttAtsts

p

i00)(

0cos)()(

2

1 ω

4


23

t

T

)(tsi

t


Pe del Filtro Acoplado con Modulación PSK

=

=

00

2 2N

EQ

N

TAQP b

e

( )

−=

≤≤+=

≤≤=

=

tA

TttAts

TttAts

ts

p

p

p

i

ωπω

ω

cos

0cos)(

0cos)(

)( 2

1

2


24

T

)(tsi

t


Pe del Filtro Acoplado con Modulación FSK

=

=

00

2

2 N

EQ

N

TAQP b

e

≤≤=≤≤=

=TttAts

TttAtstsi 0cos)(

0cos)()(

22

11

ωω

2


25

T

)(tsi

t

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26

Parte II

Education

Ruido en un Sistema de Comunicación Parte II