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Segundo Parcial: (ciudad ’98) 1. Sea f: R4 → R4 la transformación lineal dada por

)33;339;)2(( 4213213)4,3,2,1( xxxxaxxxaf xxxx +++++=

Hallar todos los valores de a tal que dim Nuf = dim Imf 2. Sean en R 3 la base B = )0,0,4();0,1,0();1,1,1( −−−− y la transformación lineal f dada por

−−−

=903

602

413

)(M BE f Definir f )2,2,3(Nu ; NuImIm/: 33 ==∩→ gffgRRg

3. Resolver 0Z . ZZ7 =− representar las soluciones en el plano C 4. Sean en R 3 la base )1,1(1,0,0)(1,(1,1,0);B −= y la transformación lineal f dada por

−=

100

020

221

M )(B f , hallar los autovalores de f y para cada autovalor un autovector asociado.

Segundo Parcial ’99: 1. Sean f: R 3 → R 3 la transformación lineal definida por :

);2;3( 32321321),,( 321xxkxxxxxxf xxx −−+−+= y

S = { }),,(/ 123),,(3

321xxxfRx xxx =∈

a) Hallar k de modo que sea S ≠ {0} b) Hallar una base de S para el valor de k calculado

2. Hallar rodos los z ∈ C tales que : 2

3).arg(

2316 π<<π−= ziyiz

3. Sea P(x) = x 4 + a x 3 + b x 2 + b x – 2 . a) Hallar a y b ∈ R, tales que –1 sea raíz de P(x)

b) Escribir P como producto de polinomios de grado 1.

4. Sean f: R 3 → R 3 la transformación lineal tal que

−−−

−=

332

123

215

)(ME f

a) Hallar una base de Nu(f) y una base de Im (f)

b) Hallar si es posible bases B1 y B2 tales que

=

000

100

010

M )(BB 21 f

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Segundo Parcial:´99.

1. a) Definir una transformación lineal f: R3 → R2 tal que R3 = Nu (f) ⊕ S, siendo S = {x ∈ R3/ x1 – x2 + x3 = 0} b) Para la f hallada en a) encontrar { x ∈ R3/ f(x) = (1, 2)}. 2. a) Hallar todos los valores de z ∈ C tales que: 2.z = i . z 2

b) Hallar un polinomio P ∈ R(x), de grado mínimo, que tenga como raíces a todas las soluciones de la ec. Resuelta en a)

3. Dada A =

−−

−

301

210

50k

a) Hallar k de modo que λ = - 2 sea el valor propio de A b) Para el k encontrado, hallar todos los valores propios y decidir si A es o no diagonable.

4. Dadas las bases de R4: B = {v1, v2, v3, v4} B´ = { v2 – v4; v1 + v3 + v4; v1+ v4; v1 + v2 + v4} sea f:

R4→R4 la transformación lineal tal que MBB´ (f) =

−−−

−−

0102

4122

8440

0102

Probar que Nu (f) = Im (f).

Segundo parcial: ´99. 1. Sea f :R3 → R4 la transformación lineal dada por f (x1; x2; x3) = (2x1 – x2 + x3, 3x1+ x2, x1– 3 x2 + 2 x3) Definir una transformación lineal g: R4→ R3 tal que Nu (g) = Im (f) y Nu (f) < Im (g). 2. Hallar un polinomio P ∈ R(x), de grado mínimo que simultáneamente cumpla: P(2) = 36,

P(1 – i ) = 0 ( ) =∂∂

3Px

P(3) = 0.

3. Sea f :R3 → R3 la transformación lineal dada por: f (x1; x2; x3) = = (– x1 + 4x2, 2x1 – 3 x2, x1 + 5x2 + 2 x3). Encontrar una base B de R3 para la cual MB(f) sea una matriz diagonal. 4. Sea f: R3 → R3 dada por: f(x1, x2, x3) = (x1 – x3, x2 + x2 + x3, x1 + 2 x2).

Hallar una base B de R3 que MBE (f) =

200

110

021

Segundo Parcial: ´99 1. Dados los subespacios de R4: S = {x ∈ R4/ x1 – x2 – x3 = 0}, W = {x ∈ R4/ x1 – x2 – x3 = 0; x1 – x3 = 0}.

a) Definir, si es posible, una transformación lineal f: R4 → R4 que verifique f(W) = W y f(S) ⊂ W b) Determinar Un (f) e Im (f).

2. Encontrar todos los complejos z que verifican: ( ) 22)2(2 −=− zz

3. Hallar todas las raíces de P(x) = x5 + 4x4 + 7x3 + 28 x2 – 18 x – 72, sabiendo que P(- 3i) = 0. 4. Sean en R3 la base B = {(0, 0, 1); (0, 1, 1);(1, 1, 1)} y la transformación lineal f: R3 → R3

definida por MB (f) =

−

−

310

050

131

. Encontrar, si existe, una base B’ de R3 tal que MB sea

diagonal.

Algebra – Exactas – Segundo parcial – Cátedra Gutiérrez

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