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Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
y
Ax
Q
sen
(-)-1
sen
(+)
M
1sen
(+)
N
sen
(-)
P
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS Ciclo 2012-III
TRIGONOMETRÍA “Circunferencia Trigonométrica”
Definición
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del sistema. En el gráfico adjunto tenemos:
By
M
B' N
R = 1
A' Ax
(+)
(-)
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en grados sexagesimales, en radianes o como números reales, para ello se recomienda tener en cuenta:
y
2
2
0
x
3
2
y90º
180º
360º
270º
0º
x
y
0
x
1,57
6,28
4,71
3,14
Líneas
trigonométricas
Son segmentos de medida positiva, negativa o nula; que van a representar los valores numéricos de las razones trigonométricas de un arco, ángulo o número real, siempre que esté definido.
1. L.T. seno y
Ax
Q
sen
(-)-1
sen
(+)
M
1sen
(+)
N
sen
(-)
P
Variación del seno de un arco:
IC
02
IIC
2
IIIC
32
IVC
232
0 1 1 0 0 -1 -1 0
0<sen <1 0<sen <1-1<sen <0-1<sen <0
sen
2. L.T. coseno y
x
NM
cos
(-)
-1
1
cos
(+)
A
P
cos(-)
cos
(+)Q
Variación del coseno de un arco:
IC
02
IIC
2
IIIC
32
IVC
232
0 11 0 0 -1 -1 0
0<cos <1 0<cos <1-1<cos <0-1<cos <0
cos
Semana Nº 5
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
3. L.T. tangente
y
x
N
O
PQ
M
T
T1
A
tan
tan
tan
tan
4. L.T. Cotangente
C.T.
P
0
T
rad
Tangente Geométrica
En el gráfico:
Se observa que BT representa a la cotangente del arco trigonométrico .
Línea Secante:
tangente geométrica
C.T.
P
0
rad
A
Y
En el gráfico:
Se observa que OR representa a la secante del arco trigonométrico .
Línea Cosecante:
tangente geométricaC.T.
P
M
0rad
B(0;1)Y
En el gráfico:
Se observa que OM representa a la cosecante del arco trigonométrico .
PROBLEMA DE CLASE
01 . Señale verdadero (V) o falso (F), según
corresponda en:
I. sen140º > sen160º
II. sen200º > sen250º
III. sen200º > sen320º
a) VVV b)VFF c)VVF d)FVV e) FFF
02 . Señale la variación de: L = 7 - 3sen IR
a) [4; 7] b) [-6; 8] c) [-4; 10]
d) [-2; 8] e) [4; 10]
03 . Sabiendo que IR, además: 3
1n2cos
¿cuál es la suma de los valores enteros que
toma "n"?
a)1 b)2 c)-1 d)-2 e)0
04 . Sabiendo que IIC; señale la extensión de:
C = 3sen + 1
a) <1; 4> b)[1; 4> c)[-2; 4] d)<-1; 4] e)[2; 5]
05 . Sabiendo que: IIIC; señale el rango de:
C = 3cos + 2
a) [2; 3] b)<2; 3> c)<-1; 2> d)[-1; 2] e)[-1; 5]
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
06 . Sabiendo que: 30º < < 120º; señale la
extensión de: C = 4sen - 1
a)<1; 3] b)<1; 3> c)<1; 2 + 1> d)<1; 2 + 1] e)<2; 3>
07 . Sabiendo que: <60º; 210º>; señale la
extensión de: C = 8cos + 1
a)<-7; 5] b)[1; 4> c)[-7; 5> d)<-6; 5] e)[-6; 5>
08 . En el círculo trigonométrico, calcular el área
de la región sombreada.
O
a) )1CosSen(
2
1
b) )1CosSen(
2
1
c) )CosSen1(
2
1
d) )Cos21(
2
1
e) )Sen21(
2
1
09 .Señale la variación de: 1cos
1cos3C
si: IVC
a)<1; 2> b)
2;2
1
c)
1;2
1
d)<1; 3> e)<2; 3>
10 . En la C.T. mostrada, hallar la longitud de A'P.
By
B’
A’ Ax
P
M
a)-cos b)1 - cos c)1 + cos d)1-sen e)1 + sen
11. En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, mAM = , determinar el área de
la región sombreada.
a) cos15,0 sen b) cos15,0 sen
c) cos15,0 sen d) cos15,0 sen
e) cos18,0 sen
12. En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, si mAp = , determinar la suma
de las áreas de las regiones BOP y PQA.
a)
2
cos tgsen b) 2
cos tgsen
c) 2
cos Ctgsen d) 2
cos Ctgsen
e) tgsen cos
13. En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada; si mAB´P = , determinar el área
de la región sombreada.
a)
1
5,0
tg
b)
1
1
tg
c)
1
2
tg
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d)
1
5,0
tg
e)
1
2
tg
14.En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, la medida del arco
ABM es , determinar el área de la región
sombreada.
a)
2
cosctg b) 2
cosctg c) 2
cos ctg
d) 2
cosctg e) 2
costg
15.En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mABM es ,
determinar el área de la región sombreada.
a)
cos..2
1sen b)
csc..2
1tg
c) sec..
2
1tg d)
csc..2
1Ctg
e) sec..
2
1Ctg
16.En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mABP es ,
determinar el área de la región sombreada.
a) 1cos2cos.2 2sen b) 1coscos.3 2sen
c) 1cos4cos.2 2sen d) 1cos2cos.2 2sen
e) 3cos4cos.2 2sen
17.En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mAB´P = ,
determinar el área de la región triangular A´TP.
a)
sensen
12
cos.cos1 b)
sensen
12
cos.cos1
c)
12
.cos1
sensensen d)
12
.cos1
sensensen
e)
12
.cos1
sensensen
18.En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mAB´M = ,
determinar el área de la región sombreada .
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a) 1
2
1senctg
b) senctg 1
2
1
c) sentg 12
1 d) 1
2
1sentg
e) 1
2
1sentg
19 . En la C.T. mostrada, hallar el área de la región
sombreada.
By
B’
A’ Ax
M
a)-sen b)-2sen c)cos d)2cos e)cos
PROBLEMA DE REPASO
1 . En la C.T. mostrada, hallar el área de la región
sombreada.
By
B’
A’ Ax
M
a)sen b)-cos c) ½sen d)-½sen e)- ½cos
2 . En la circunferencia trigonométrica, se pide
indicar el valor de DBOC , en función del
ángulo "α"
O
A
B
C
D
a) TanSec b) TanSec
c) Sen
Cos1
d) CscSec
e) Sen
Cos1
3 . Se define el valor absoluto de un número real
"x", como:
0x;x
0x;xx
Según esto, reducir:
C = 2sen3sen2sen3sen
L = 2cos3cos2cos3cos
a) C = 2sen3 b) C = 2sen2 c) C = 2sen3
L = 2cos3 L = -2cos2 L = -2cos2
d) C = 2sen3 e) C = 2sen2
L = -2cos3 L = -2cos3
4 . Señale la variación de: C = 7sen + 1; IR
a) [-6; 8] b)[-7; 7] c)[-5; 8] d)[-7; 9] e)[-5; 9]
5 . Calcular BQ en el círculo trigonométrico
adjunto en función de "α"
O
B
Q
a) Sen1 b) Sen1
c) )Sen1(2 d)
)Sen1(2 e)
)Cos1(2
6 . En la C.T. mostrada, determine la superficie de
la región sombreada.
By
B’
A’ A
x
M
T
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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a) )tansen(2
sen2
b) tansen
sen2
c) )tansen(2
sen
d) 2
)tansen(cos
e) tansen
sen2 2
7 . Calcule la suma del máximo y mínimo valor de la
expresión:
P = 7senx - 4cosy - 2
Siendo "x" e "y" variables independientes.
a)-13 b)9 c)4 d) -4 e)-9
8 . Halle el máximo valor de la expresión:
E = cos2x - 4senx
a) 3 b) 5 c)4 d) 2 e) 6
9 . Calcule las coordenadas del punto P.
x
y
P
a) (cos ;sen ) b) (sen ; cos )
c) ( cos ; sen ) d) (cos ; sen )
e) (sen ;cos )
10 . Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
x
y C.T.
a)
1cos (1 sen )
2 b) cos (1 sen )
c) cos (1 sen ) d)
1cos (1 sen )
2
e) cos (1 sen )
11 . Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
x
y
AO
a) sen .cos b) sen .cos
c) sen .cos d) sen .cos
2
e) sen .cos
2
12 . Calcular el área de la región sombreada en
términos de " ".
x
yx + y = 1
22
A)
1cos sen
2 B)
1cos sen
2
C)
1cos sen
2 D)
1cos sen
2
E)
1sen cos
2
13 . Si “A” es el máximo valor y “B” el mínimo valor
de la expresión: M = (3 + senx) (3 - senx)
Calcular: “A + B”
a)2 b)0 c)17 d)9 e)1
14 . Si s e n . t g 0
, halle la extensión de la
expresión:
2cos 1E
2cos 1
a)
1 1;
3 3 b) 1;1 c)
11;
3
d) ;11
3 e) ;11
3
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41. Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
x
y
A
C.T.
a)
1(1 sen cos )
2 b)
1(1 sen cos )
2
c)
1(1 sen cos )
2 d)
1(1 sen cos )
2
e)
1(1 sen .cos )
2
09 . Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ".
x
y x + y = 122
O
A
a)
1(1 2sen )
2 b)
1(1 2sen )
4
c)
1(1 2sen )
2 d)
1(1 2sen )
4 e) (1 2sen )
14 . Halle el área de la región sombreada:
a)
1sen (1 sen )
2 b)
1sen .sec
2
3
c)
1sen .cos
2 d)
1sen . 1 sen
2
2
e)
1.cos .csc
2
3
15 . Halle el área de la región sombreada:
a)
1.sen
2 b)
1.sen
2
c) sen d) sen
e) no se puede determinar
03 . Hallar si el área de la región sombreada es
1u
8
2
a) 6 b) 8 c) 4
d) 6 e) 3
05. En la figura, calcule la longitud del
segmento PQ
a) sec2 -1 b) csc +1 c) sec -1
d) 1-tg e) 1-cot
8
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