Semejanza de triaacutengulos

bull En esta presentacioacuten encontraraacutes

Descripcioacuten del concepto

de semejanza y ejemplos

Definicioacuten y ejemplos del concepto de semejanza

Criterios de semejanza

de triaacutengulos y ejemplos

Una sencilla demostracioacuten

Todos estos elementos son la base de los contenidos

relacionados con la unidad

de semejanza

Algunos ejercicios sencillos

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son

proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los

dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10 =Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son

respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son

proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioAA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute de lo anterior se deduce que γ = γacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterioLLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de

razoacuten de semejanza

Es deciraaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Semejanza

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son

proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los

dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10 =Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son

respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son

proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioAA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute de lo anterior se deduce que γ = γacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterioLLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de

razoacuten de semejanza

Es deciraaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo

Ejemplos de figuras semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son

proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los

dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10 =Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son

respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son

proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioAA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute de lo anterior se deduce que γ = γacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterioLLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de

razoacuten de semejanza

Es deciraaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

No son figuras semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son

proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los

dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10 =Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son

respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son

proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioAA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute de lo anterior se deduce que γ = γacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterioLLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de

razoacuten de semejanza

Es deciraaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es constante es decir son

proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes

EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes

5cm

2cm

10cm

4cm

iquestTienen sus lados respectivos proporcionales

Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son

congruentes

Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los

dos rectaacutengulos son semejantes

2

4

5

10 =Asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son

respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son

proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioAA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute de lo anterior se deduce que γ = γacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterioLLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de

razoacuten de semejanza

Es deciraaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Triaacutengulos semejantes

Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son

respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son

proporcionales

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioAA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute de lo anterior se deduce que γ = γacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterioLLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de

razoacuten de semejanza

Es deciraaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioAA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute de lo anterior se deduce que γ = γacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterioLLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de

razoacuten de semejanza

Es deciraaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioAA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute de lo anterior se deduce que γ = γacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterioLLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de

razoacuten de semejanza

Es deciraaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterioAA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute de lo anterior se deduce que γ = γacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterioLLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de

razoacuten de semejanza

Es deciraaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterioLLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de

razoacuten de semejanza

Es deciraaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

II Segundo criterioLLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de

razoacuten de semejanza

Es deciraaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

III Tercer criterioLAL

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Ejercicio

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

Ejercicio

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

Otro ejercicio similar

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

Una aplicacioacuten

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245 X = 3 bull 45

2

Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes