SEMINARIO 7

Salud Benítez García Grupo 1

PROBLEMAS DE PROBABILIDAD

1. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son

niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas

tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala

selecciona un infante al azar.

• a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24

meses.

• b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la

probabilidad que sea una niña.

• P(M)= 0,60 (60%)

• P(H)= 0,40 (40%) • X: < 24 meses

a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

• P (X/H): 0.35 (35%)

• P(X/M): 0.20 (20%)

Utilizamos el Teorema de la Probabilidad Total:

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

P(X)= P(H)x P(X/H)+P(M)x P(X/M)

P(X)= (O,40 x 0,35)+ (0,60 x 0,20)

P(x)= 0,26

Respuesta: El valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses es de 0,26, o lo que es lo

mismo, un 26%

b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una

niña.

• Para ello vamos a utilizar el Teorema de Bayes, cuya fórmula universal es la siguiente:

Ajustamos la fórmula a nuestro problema,

P(M/X)= 𝐏 𝐌 𝐱 𝐏(𝐗/𝐌)

𝐏(𝐱); P(M/X)=

𝟎,𝟔𝟎 𝐱 𝟎,𝟐𝟎

𝟎,𝟐𝟔; P(M/X)= 0,46

Respuesta: La probabilidad de que sea niña si el infante es menor de 24

meses es de 0,46, o lo que es lo mismo, un 46%

2. Un 15% de los pacientes atendidos en la Consulta de

Enfermería del Centro de Salud de el Cachorro padecen

hipertensión arterial (A) y el 25% hiperlipemia (B). El 5% son

hipertensos e hiperlipémicos.

a. Cuál es la P de A, de B y de la unión.

b. Representa la situación en un diagrama de Venn:

c. Calcula la probabilidad de que una persona al azar no padezca

ni A ni B

a. Cuál es la P de A, de B y de la unión.

• P(A)= 0,15 (15%) Pacientes con HTA

• P(B)= 0,25 (25%) Pacientes con Hiperlipemia

• P(AUB)= [(0,15-0,05)+(0,25-0,05)+0,05]= 0,35

P(A∩B)= 0,05 (5%) Pacientes con HTA e Hiperlipemia

b. Representa la situación en un diagrama de Venn:

15%

5% 25%

A

B

65%

A∩B

c. Calcula la probabilidad de que una persona al azar no padezca ni A ni

B

• La probabilidad de que pase algo va de 0-1, entendiendo 0 como que

nunca ocurre y 1 como que siempre.

• Por tanto si sumamos las personas que sufren HTA (A) más las personas

que sufren Hiperlipemia (B) más las personas que sufren ambas

enfermedades (A∩B) nos da el valor de 0,35 (como hemos hecho

anteriormente al calcular la unión o P(AUB)) que restándoselo a 1 nos da

un resultado de 0,65

1-0,35=0,65

Respuesta: La probabilidad de que una persona al azar no padezca ni A

ni B es de 0,65, lo que sería un 65%

3. Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de

forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la

línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de

que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para

cada línea.

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

• P(A)= 0,45 (45%) Línea 1

• P(B)= 0,25 (25%) Línea 2 X: Probabilidad de que se averíen diariamente

• P(C)= 0,30 (30%) Línea 3

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

• P(X/A)= 0,02 (2%)

• P(X/B)= 0,03 (3%)

• P(X/C)= 0,01 (1%)

Vamos a utilizar el Teorema de la Probabilidad Total:

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

P(X)= P(A) x P(X/A)+P(B) x P(X/B) + P(C) x P(X/C)

P(X)= [(0,45 x 0,02) + (0,25 x 0,03) + (0,30 x 0,01)] ; P(X)= 0,0195

Respuesta: La probabilidad de que en un día un autobus sufra una avería es entorno a 0,0195, o lo

que es lo mismo, 1,95%.

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería

• Si la probabilidad de el autobús de la Línea 1, por ejemplo, sufra una avería es de 0,02, la probabilidad de que no sufra un accidente será 1-0,02= 0,98. Así lo haremos en los demás casos:

Y= Probabilidad de que no se averíe

• P(Y/A)= 0,98

• P(Y/B)= 0,97

• P(Y/C)= 0,99

Usando la siguiente formula P(Y)= P(A) x P(Y/A)+P(B) x P(Y/B) + P(C) x P(Y/C)

P(Y)= [(0,45 x 0,98) + (0,25 x 0,97) + (0,30 x 0,99) ; P(Y)= 0,98

Respuesta: La probabilidad de que en un día un autobús no sufra avería es de 0,98, o lo que es lo mismo, 98%.

Otra manera más fácil de hacerlo es así:

Teniendo en cuenta que 1 es el total y 0,0195 es la probabilidad de que se averíe, 1-0,0195= 0,98

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería? Para ello

utilizamos el Teorema de Bayes, que utilizamos en el Problema 1, para cada línea de

autobús:

• Línea 1(A)

• P(A/X)= 𝐏 𝑨 𝐱 𝐏(𝐗/𝐀)

𝐏(𝐗)=𝟎,𝟒𝟓 𝐱 𝟎,𝟎𝟐

𝟎,𝟎𝟏𝟗𝟓= 0,46

• Línea 2 (B)

• P(B/X)= 𝐏 𝑩 𝐱 𝐏(𝑿/𝑩)

𝐏(𝐗)=𝟎,𝟐𝟓 𝐱 𝟎,𝟎𝟑

𝟎,𝟎𝟏𝟗𝟓= 0,38

• Línea 3 (C)

• P(C/X)= 𝐏 𝑪 𝐱 𝐏(𝑿/𝑪)

𝐏(𝐗)=𝟎,𝟑𝟎 𝐱 𝟎,𝟎𝟏

𝟎,𝟎𝟏𝟗𝟓= 0,15

Respuesta: Es mas probable que un autobús de la Línea 1 sufra una avería, con un 46%

de probabilidad

4. La probabilidad de que A dé en el blanco es 1/4 y la de B es 2/5.Si A y B disparan,

¿Cuál es la probabilidad de que pegue en el blanco?

• P(A)= 0,25 (25% o 1/4)

• P(B)= 0,40 (40% o 2/5)

Para averiguar la probabilidad de que pegue en el blanco, vamos a utilizar la fórmula de la Probabilidad de la intersección sucesos independientes:

P(A∩B)=P(A) · P(B/A)

P(A∩B)= 0,25 x 0,40= 0,1

Respuesta: La probabilidad de que pegue en el blanco es de 0,1, lo que sería de

un 10%.

p(A