Sistemas de ecuaciones 2 x2

SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2

ING ORLANDO MARIO FUENTES GUEVARA

ING DE MINAS UFPS CUCUTA

La presente presentación tiene como objetivo

mostrar de una forma muy clara la diferentes formas de solucionar sistemas de ecuaciones 2x2 ya que a muchos estudiantes de 9 grado se les dificulta un sistema de ecuaciones 2x2 son aquellos sistemas el cual cuenta con dos incógnitas y dos ecuaciones ya se cuentan con calculadoras que las resuelven pero es bueno conocer los diferente métodos de solución que existen y el estudiante escoja el que más fácil le parezca.

INTRODUCCION

Los diferentes sistemas de ecuaciones que se

conocen son los siguientes:1. Por sustitución.2. Por igualación.3. Por reducción o suma y resta.4. Por determinantes.5. Método grafico.

SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2

Este método consiste en que se tiene dos

ecuaciones de dos incógnitas y se escoge una de las ecuaciones y se despeja la incógnita que se dese despejar y luego remplazar en la ecuación que se dejo quieta y resolverla como se resuelve en un sistema de ecuaciones de una sola incógnita.

Consejos: busca la incógnita mas fácil de despejar para que no se te complique lo demas.

SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE SUSTITUCION

Ejemplo de manera explicativa paso por paso. sea el sistema

Lo primero que hacemos es escoger la ecuación que se desea despejar para dejarla en función de la otra incógnita en este caso escogemos la ecuación (1) 3X+Y =11 y despejamos y quedando así.


Y= 11-3X queda la variable y en función de x. Luego remplazamos Y en la ecuación (2) quedando de la siguiente

manera: 5X-11+3X=13. Ya teniendo esto resolvemos las x de un lado y las variables

independientes del otro lado quedando así: 5X+3X=13+11 resolvemos y recordemos que lo que suma pasa del otro lado negativo y viceversa. luego de resolver queda de la siguiente manera: 8X=24 ya aquí recordemos lo que multiplica del otro lado sale a dividir y viceversa. Nuestra ecuación queda así : X=24/8 donde X=3. Ya conociendo el valor de X remplazamos en cualquier ecuación ese

valor y hallamos Y .


Remplazamos en la ecuación (2) el valor de X

el cual quedaría así: 5(3)-Y=13 y despejamos Y recordando que lo

que suma de un lado pasa a restar y multiplica de un lado pasa a dividir y viceversa.

Resolviendo quedaría así: 15-Y=13 , Y =15-13 , Y=2

Finalmente queda nuestro sistema de ecuaciones resuelto X=3 Y=2.


Este método consiste en coger las dos

ecuaciones y despejar las misma incógnitas que queden en función de la misma incógnita y luego igualamos y resolvemos como se resuelve un sistema de ecuaciones de una sola incógnita.

recordando que lo que suma de un lado pasa a restar y lo que multiplica pasa a dividir del otro lado y viceversa.

SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE IGUALACION


Lo primero que hacemos es despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita en este caso la Y por que sale mas fácil de remplazar y sin compliques.


La ecuaciones quedan así: Ecuación (1) Y=11-3X Ecuación (2) Y=5X-13

quedando ecuación 3 y 4. Ahora hacemos 3=4 quedando así: 11-3X=5X-

13 resolvemos y recordando lo mencionado anteriormente.

Ahora quedaría esta ecuación de esta manera: -3X-5X=-13-11 y resolviendo nos queda así: -8X=-24 dejamos X solo para saber su valor quedando: X=-24/-8X=3


Luego que hallamos la variable X ahora

remplazamos en cualquier ecuación el valor de X y hallamos Y

Escogemos la ecuación (1) y queda de esta forma:

3(3)-Y=11 resolviendo 9-Y=11 , Y= 11-9 , Y=2 X=3 Y=2.


Este método también conocido como suma y

resta consiste en realizar sumas y restas con el objetivo de eliminar una de las incógnitas o sea que el valor de una de las incógnitas quede positiva y la otra negativa con el mismo valor absoluto y despejar la incógnita que nos quedo.

recordando que lo que suma de un lado pasa a restar y lo que multiplica pasa a dividir del otro lado y viceversa.

SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE REDUCCION


Lo primero que hacemos es ver que incógnita es mas fácil de eliminar y analizamos que la incógnita Y sale más sencilla de eliminar resolviendo quedaria.


3X+Y=115X-Y=13________8X+/- 0 =24 Ya teniendo esto hallamos X que quedaría así:

X=24/8 X=3. En cualquier ecuación despejamos el valor de

X pero ahora eliminaremos la variable X .


témenos el sistema

Ahora como se dijo eliminaremos X para eso tenemos que nos queda mismo valor absoluto pero diferente signo y para que se cumpla multiplicamos ecuación (1) por 5 y ecuación (2) por -3 quedando asi.


15X+5Y=55 (*5)-15X+3Y=-39 (*-3)____________0 +8Y=16 Buscamos el valor de Y quedando : Y=16/8 , Y =2 X=3 Y=2


Una de las aplicaciones más importantes de

los determinantes la encontramos en la resolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Así se puede adicionar otro método de resolución de éste sistema de ecuaciones a los vistos anteriormente.

Sea el sistema de ecuaciones:

SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE DETERMINATES

Resolviendo éste sistema de ecuaciones por

alguno de los métodos de eliminación vistos anteriormente, por ejemplo sustitución se tiene:

de la ecuación

se despeja la variable x, para luego sustituirla en la otra ecuación:


Al sustituir el valor de x en la ecuación (2):


Ahora remplazando este valor en cualquiera

de las dos ecuaciones iniciales, resulta el valor de x:

Los valores encontrados para las dos variables se pueden escribir también:



Lo primero que se hace es meter los valores numérico en la matriz o determinante teniendo en cuenta la variable a encontrar.


Para X seria: X=

Ahora aplicamos la multiplicación en cruz según estas formulas


11 113 -1

3 15 -1

Resolvemos: X= (11)*(-1)-(1)*(13) (3)*(-1)- (5)*(1) X= (-11)- 13 (-3) – 5 X= -24/-8 X= 3


Para Y seria: Y=

Ahora aplicamos la multiplicación en cruz según estas formulas pero ahora para Y


3 115 13

3 15 -1

Resolvemos: Y= (13)*(3)-(11)*(5) (3)*(-1)- (5)*(1) Y= (39)- 55 (-3) – 5 Y= -16/-8 Y= 2 Finalmente queda resuelto X=3 Y=2


Este método consiste en despejar la variable Y

en las dos ecuaciones y dejarla en función de X hay dos formas de realizarlo:

Por intercepto : que consiste en hacer X=0 cuanto vale Y e Y =0 cuanto vale X en las dos ecuaciones como una línea recta es la distancia mínima entre dos puntos graficamos los puntos en el plano cartesiano y vemos que sucede.

Tablas: dando valores a X encontramos valores de Y e graficamos.

SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO GRAFICO

Diferentes formas de graficas: aquí se presenta

3 tipos de graficas que son las siguientes: Líneas paralelas: son líneas que no se cruzan

en ningún punto y allí no existe solución alguna al sistema.

Líneas oblicuas o perpendiculares: son líneas que se cruzan en un punto en común y allí existe solución única.

Líneas que tiene muchos puntos en común nos dice que tiene infinitas soluciones.



Lo primero que hacemos es despejar Y para que quede en función de X quedando de esta forma:

Ecuación (1) Y=11-3X Ecuación (2) Y=5X-13 Ya teniéndolas despejadas resolvemos por

intercepto o por tabulación en este caso lo hare por intercepto por que es mas corto y rapido.


Teniendo las ecuaciones (1) Y=11-3X (2) Y=5X-13

decimos: X=0 Y seria igual Y=11-3(0) Y= 11 Y=5(0)-13 Y=-13 (0,11) (0,-13) Y=0 X seria igual 0=11-3(X) X= 11/3 0=5(X)-13 X=13/5 (11/3,0) (13/5,-13) Graficamos esos puntos.



La anterior es la grafica de las ecuaciones

propuestas vemos que hay un punto de corte nos dice que allí es la solución del sistema de ecuaciones y nos indica que es de única solución donde X=3 Y=2.


Aurelio baldor Álgebra de Baldor

Publicaciones Cultural, S.A. de C.V (México D.F.).

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/sistemas_ecuaciones/ap10_determinantes.php#.UMbk7W8e7gE

BIBLIOGRAFIA




http://www.fisicanet.com.ar/matematica/sistemas_ecuaciones/ap10_determinantes.php



Logramos aprender de una forma paso a paso

de como resolvemos sistema de ecuaciones 2x2.

Buscamos recordar como despejar bien y sin errores.

analizamos y podemos escoger el método mas sencillo de resolverlas que todos llegaran a la misma respuesta.

CONCLUSIONES

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