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Sistemas de Ecuaciones
Definición
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
mecuaciones
n incógnitas
Coeficientes del sistema
incógnitas
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x ba x a x a x a x b
a x a x a x a x b
términosindependientes
A: matriz de los coeficientes
Expresiónmatricial del
sistema
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x ba x a x a x a x b
a x a x a x a x b
El sistema puede ser escrito de la siguiente manera:
Matriz ampliada
X: matriz de las incognitas
B: matriz de los términos independientes
AX=B
nmnmmm
n
n
n
x
xxx
aaaa
aaaaaaaaaaaa
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
................
......
......
......
=
mb
bbb
3
2
1
A* =
mmnmmm
n
n
n
baaaa
baaaabaaaabaaaa
..................
......
......
......
321
33333231
22232221
11131211
Expresión matricial: ejemplo
El sistema 2x + 5y – 3z = 1 x – 4y + z = –2
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =
2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =
2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial:
2 5 –3
1 –4 1
x
y z
=
1
– 2
Solución de un sistema de ecuaciones
Una solución del sistema:
es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales que se verifican todas las ecuaciones:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x ba x a x a x a x b
a x a x a x a x b
mnmnmmm
nn
nn
bsasasasa
bsasasasabsasasasa
332211
22323222121
11313212111
Solución de un sistema de ecuaciones: ejemplo
1 3
3
zyx
• Los valores
• Los valores
1 1
3
zyx
son una solución del sistema por que:
Consideramos el sistema:
3 3222 1
yxzyxzyx
son una solución del sistema por que:
3 )1(3322)1()1(2 311)1(3
3 )3(3)3(22)1(32 31)1(33
Clasificación de un sistema según el número de soluciones
Sistemas deecuaciones lineales
Incompatible
Compatible
Sin solución
Con solución
Determinado
Indeterminado
Solución única
Infinitas soluciones
• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece.
I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del mismo.
Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.
Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:
III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras dos.
Sistemas equivalentes: ejemplo
442213
322
zyxzyxzyx
2213
322
zyxzyxzyx
3221322
zyxzyxzyx
12552
22
zyzyzyx
3552
22
zzyzyx
33 21EE
13 EE
122 3EEE
133 2EEE
233 2 EEE
Sistemas equivalentes
Sistemas de ecuaciones escalonados
Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus ecuaciones de forma conveniente, la matriz de los coeficientes es escalonada.
53432
yyx
233245324
zzyzyx
2234532
zyzyx
14432
zyxzzx
Ejemplos:
Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna.
Resolución de sistemas de ecuaciones
Métodos de resolución: 1. Método de Gauss.
2. Método de Cramer.
3. Método de la matriz inversa.
Resolución de un sistema escalonado: ejemplo
521483
92
zzyzyx
25
z
Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles:
6259 x
23
2014
y
Resolución de sistemas: método de Gauss
Se pueden dar los siguientes pasos:
I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.
II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.
III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).
IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.
un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.
El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener de un sistema:
,;
;
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
Método de Gauss: posibilidades
En el método de Gauss, una vez obtenida la matriz se pueden dar las siguientes posibilidades:
Incompatible
• Si no es incompatible, se considera el número de filas e incógnitas que quedan:
nº de ecuaciones = nº de incógnitas
compatible determinado
nº de ecuaciones < nº de incógnitas
compatible indeterminado
50 1483 92
zyzyx
52 1483 92
zzyzyx 92
1483 zyxzy 123 zyx
• Si alguna de las filas está formada por todos ceros menos el término independiente.
19103 1483
92
zyzyzyx
Método de Gauss: sistema compatible determinado
162442
92
zyxzyxzyx
52 1483
92
zzyzyx
(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec
(2ª ec) (–1) + 3ª ec
Se despejan incógnitas hacia arriba
25
231420
6529
z
yx
Método de Gauss: sistema incompatible
142442
92
zyxzyxzyx
19831483
92
zyzyzyx
50 1483
92
zzyzyx
(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec
(2ª ec) (–1) + 3ª ec
La última ecuación no tiene solución y por lo tanto el sistema es incompatible.
Método de Gauss: sistema compatible indeterminado
148392
zyzyx
tz
ty
ttx
3
148
314829
8824442
92
zyxzyxzyx
00 1483
92 zyzyx
(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec
tz
ty
tx
38
314
32
313
Se despejan incógnitas hacia arriba, después de hacer z = t
Regla de Cramer: sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Esta solución puede ser expresada de la siguiente forma:
Se observa que:
• El denominador de las soluciones es el determinante de la matriz de los coeficientes.
• Cada numerador es el determinante de la matriz obtenida al sustituir la correspondiente columna de coeficientes por la los de términos independientes.
El sistema al ser resuelto por reducción se llega a:
2222121
1212111
bxaxabxaxa
;
2221
1211
222
121
1
aaaaabab
x
2221
1211
221
111
2
aaaababa
x
aaaabaabx 212221
1
aaaaabbax 211211
2
Regla de Cramer: sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
Si | A | 0, el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas A · x = B tiene solución única dada por:
Esta regla es válida para cualquier sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas y se llama regla de Cramer.
x1 =
b1 a12 a13 b2 a22 a23
b3 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
; x2 =
a11 b1 a13 a21 b2 a23
a31 b3 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
; x3=
a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
Regla de Cramer (demostración)
Sea S un sistema de Cramer (por definición es sistema compatible determinado). La solución se obtiene como un cociente entre el determinante de la incógnita correspondiente (el que se obtiene sustituyendo la columna de dicha incógnita por los términos independientes) y el determinante de la matriz de coeficientes.
D./ Como el sistema es compatible, (s1,s2,....sn) que es solución del sistema, es decir
B= s1C1+s2C2+....+snCn
det(C1,C2,.....B,....Cn) = det(C1,C2,........, s1C1+s2C2+....+snCn,.........Cn) =
det(C1,C2,...., s1C1....Cn) + det(C1,C2,..., s2C2,....Cn) +......+ det(C1,C2,....., snCn,....Cn)
Todos los determinantes, excepto el que tiene todas las columnas distintas son cero por tener dos columnas proporcionales. Luego
= det(C1,C2,....., siCi,,....Cn) = si det(C1,C2,....., Ci,....Cn) y despejando si se obtiene lo que queríamos.
ni1 )C,...C,...C,Cdet()C,...B,...C,Cdet(s
ni21
n21i
Resolución de sistemas: método de la matriz inversa
A . X = B
Si | A | 0 la matriz A es inversible.Multiplicamos por la izquierda a ambos miembros por A-1
.
A-1 . A . X = A-1 . B
I . X = A-1 . B
X = A-1 . BY esta última igualdad nos resuelve el sistema.
El sistema a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
tiene la siguiente expresión matricial:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
x1
x2 x3
=
b1
b2 b3
Compatibilidad de sistemas. Teorema de Rouché
Enunciado: Un sistema de m ecuaciones con n incognitas, es compatible si y sólo si, los rangos de las dos matrices son iguales.
rg(A) = rg (A*)
Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
siendo A y A* la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada:
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa
...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaaaaaaaaaa
A
..................
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
mmnmmm
n
n
n
b
bbb
aaaa
aaaaaaaaaaaa
A...
..................
...
...
...
* 3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
Teorema de Rouché: demostración
• Escribimos el sistema en forma vectorial (con las columnas)C1x1+ C2x2+.........+Cnxn= B [Sistema S]
DemostraciónCond. necesaria) Si S es compatible, existe al menos una solución (s1,s2,s3,....sn)tal que
C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= BPor tanto B es combinación lineal de las columnas C1,C2,....Cn y el rango de la matriz
ampliada con esa columna B no varía. Luego rg(A) = rg(A*)
Cond. suficiente) Si rg (A ) = rg (A+) una fila o columna es combinación lineal de las demás. Sólo puede ser B porque el resto son iguales que las de A, luego:
C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= BLo que quiere decir que los coeficientes (s1,s2,s3,....sn) son una solución del sistema por
lo que el sistema es compatible.
Consecuencias: El rango indica el nº de ecuaciones linealmente independientes.SI el nº de incógnitas es mayor que el rango, el sistema tiene infinitas soluciones. Para
resolverlo se eligen r ecuaciones independientes y se pasan al segundo miembro las n – r últimas incógnitas, obteniéndose un sistema de r ecuaciones y r incógnitas que ya se puede resolver y que dependerá de n-r parámetros (grados de libertad)
Discusión de un sistema mediante el Teorema de Rouché
Sistemas deecuaciones lineales
Incompatible
Compatible
Sin solución
Con solución
Determinado
Indeterminado
Solución única
Infinitas soluciones
Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.• Sea A la matriz de los coeficientes y sea p su rango.• Sea A* la matriz ampliada y sea q su rango.
p q
p = q = n
p = q
p = q < n
Discusión y resolución de un sistema dependiente de un parámetro
• En ocasiones, alguno de los coeficientes o términos independientes pueden tomar cualquier valor: es un parámetro de sistema de forma que al darle valores obtenemos sistemas de ecuaciones diferentes.
• Discutir el sistema según los valores de dicho parámetro es averiguar según sus valores cuándo el sistema es compatible o incompatible, y en caso de compatibilidad si es determinado o indeterminado.
Los siguientes pasos pueden ser útiles para discutir un sistema:
Hallar los valores del parámetro que anulan al determinante de la matriz de
los coeficientes
Para dichos valores estudiar la naturaleza del sistema
Para los valores que hacen que el determinante de la matriz de los
coeficientes no sea nulo, estudiar la naturaleza del sistema
Sistema dependiente de parámetro: ejemplo
Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:
Las matriz de coeficientes y la matriz ampliada asociadas al sistema son:
532
23
zymxzyxzmyx
11211
31
m
mA
5113211231
*m
mA
42223231 22 mmmmmA
2104220 2 mmmmA
..... continuación .....
Sistema dependiente de parámetro (continuación) : ejemplo
111211
311A
511132112311
*A
CASO I. Cuando m = −1: Las matrices son
rg(A) = 2
rg(A*) = 3
El sistema es incompatible
112211
321A
511232112321
*A
CASO II. Cuando m = 2:Las matrices son
Su única solución se puede obtener mediante la regla de Cramer:
rg(A) = 2 =rg(A*) Compatible indeterminado
38 ,
351 txty
tyxtyx
tz23
322,
CASO III. Cuando rg(A) = rg(A*) = 3 = número de incógnitas
2 ,1m
Compatible determinado 4222613115
21332
2
mm
mA
m
x
422261315
231321
2
mm
mA
my
23
42263351
31121
2
2
mmmm
Am
m
z
Compatibles
es siempre solución del sistema
021 nxxx
Sistemas homogéneos
Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son 0.
Los sistemas homogéneos pueden tener, pues, una o infinitas soluciones:
Si el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo,el sistema es compatible determinado y tiene como única solución la solución trivial.
Si el determinante de la matriz de los coeficientes es nulo, el sistema es compatible indeterminado. Entre sus infinitas soluciones se encuentra la solución trivial.
0
00
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
Interpretación geométrica de una ecuación linealcon dos incógnitas
Los puntos (x, y) que verifican la ecuación lineal a1x + a2y = b forman una recta; se dice que a1x + a2y = b es la ecuación de una recta en el plano.
Interpretación geométrica de un sistema con dos incógnitas
Las dos rectas sólo tienen un punto en común: el sistema es compatible determinado.
Las dos rectas no tienen puntos en común: el sistema es incompatible.
Las dos rectas tienen infinitos puntos en común: el sistema es compatible indeterminado.
Para resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones
1. Se identifican las incógnitas.
2. Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones.
3. Se resuelve el sistema.
4. Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al enunciado del problema.
