1

MATEMÁTICAS

Sistemas de ecuaciones linealesMETODO DE GAUSS

2

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

3

PROBLEMA• CARACTERÍSTICAS CONCRETAS DE UN PROBLEMA

• 1.- A veces no está claro cuál es la pregunta, a diferencia de los ejercicios.

• 2.- De entrada se desconoce cómo abordarlo.

• 3.- Para su resolución se requiere profundizar, reflexionar, relacionar; a diferencia de los ejercicios, que se resuelven aplicando conocimientos y mecanismos aprendidos.

• 4.- No se sabe cuánto tiempo puede llevar conseguir un camino para su resolución.

• 5.- Suele ser factible e interesante para personas de muy diferentes niveles; mientras un mismo ejercicio su resolución es trivial para personas de un nivel superior e imposible para personas que no han alcanzado el nivel que requiere el ejercicio.

4

• CONSEJOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

• 1.- Entiende bien todos los términos del problema, asegurándote que comprendes cada dato, cada frase, …

• 2.- Concéntrate al máximo, ya que resolver un problema es una actividad mental compleja.

• 3.- Ten paciencia y constancia, no abandonando a la primera dificultad.

• 4.- Resuelve de nuevo un problema, especialmente si has necesitado ayuda para resolverlo la primera vez.

• 5.- Reflexiona sobre otras formas de resolución.

• 6.- Sácales partido a los buenos problemas, pues muchos son una buena fuente de aprendizaje. Entre otras cosas puedes inventar otros parecidos, interrogarte sobre cómo sería si se cambiase tal dato, etc.

• 7.- Intercambia conclusiones con tus compañeros.

5

• Cristina sale de compras con 60 €. Si adquiere unos calcetines, el pantalón y la camiseta deportivas, dejaría en la tienda una deuda de 2 €; si se llevase los calcetines y el pantalón la sobrarían 29 €; y si comprara el pantalón y la camiseta la sobraría 1 €. Halla lo que cuesta cada prenda.

• Resolución• Sea x = Lo que cuestan los calcetines.• Sea y = Lo que cuesta el pantalón.• Sea z = Lo que cuesta la camiseta.• Por la lectura detenida del enunciado:• x + y + z = 60 + 2• x + y = 60 – 29 • y + z = 60 – 1• Resultando el siguiente sistema a resolver:• x + y + z = 62• x + y = 31• y + z = 59

PROBLEMA_1

6

• Teníamos el sistema:• x + y + z = 62• x + y = 31• y + z = 59• Operando mediante Gauss:• F2 – F1• x + y + z = 62• – z = – 31 • y + z = 59• Cambiando de signo a F2 e invirtiendo las filas F2 y F3• x + y + z = 62• y + z = 59 • z = 31• Resolviendo:• z = 31 € cuesta la camiseta.• y + 31 = 59 y = 59 – 31 = 28 € cuesta el pantalón.• x + 28 + 31 = 62 x = 62 – 28 – 31 = 3 € cuestan los calcetines.

PROBLEMA_1

7

• En una cesta hay 22 piezas entre manzanas, peras y naranjas. El doble del número de peras más el triple del número de naranjas, es igual al doble del número de manzanas. ¿Es posible hallar con éstos datos el número de manzanas que hay?.

• Si se sabe además que el número de manzanas es el doble del de peras, ¿cuántas piezas hay de cada tipo?.

• Resolución• Sea m = Número de manzanas.• Sea p = Número de peras.• Sea n = Número de naranjas.• Por la lectura detenida del enunciado:• m + p + n = 22• 2.p + 3.n = 2.m • Tenemos el sistema:• m + p + n = 22• 2.m – 2.p – 3.n = 0

PROBLEMA_2

8

• Teníamos el sistema:• m + p = 22 – n • 2.m – 2.p = 3.n • Operando mediante Gauss:• F2 – 2.F1• m + p = 22 – n • – 4.p = 5.n – 44• Sistema compatible e indeterminado (p depende del valor de n).• Resolviendo:• 4.p = 44 – 5.n p = 11 – 1,25.n• m + 11 – 1,25.n = 22 – n m = 11 + 0,25.n• El número de manzanas depende del número desconocido de naranjas.• Resolviendo la segunda parte, sabiendo que m = 2.p:• 11 + 0,25.n = 2.(11 – 1,25.n) 11 + 0,25.n = 22 – 2,5.n • 2,75.n = 11 n = 11 / 2,75 = 4 naranjas hay.• p = 11 – 1,25.4 = 11 – 5 = 6 peras hay.• m = 11 + 0,25.4 = 11 + 1 = 12 manzanas hay.

PROBLEMA_2

9

• En un triángulo sabemos que su perímetro es de 24 cm. El menor de los lados mide el triple de la diferencia de los otros dos. El lado mayor es cuatro unidades más pequeño que la suma de los otros dos. ¿Cuánto mide cada lado?

• Resolución• Sea x = Lo que mide el lado mayor.• Sea y = Lo que mide el lado de valor intermedio.• Sea z = Lo que mide el lado más pequeño.• Por la lectura detenida del enunciado:• x + y + z = 24• z = 3.( x – y) • x = (y + z) – 4• Resultando el siguiente sistema a resolver:• x + y + z = 24• 3.x – 3.y – z = 0• x – y – z = – 4

PROBLEMA_3

10

• Teníamos el sistema:• x + y + z = 24• 3.x – 3.y – z = 0• x – y – z = – 4 • Operando mediante Gauss:• F2 – 3.F1 y F3 – F1• x + y + z = 24• – 6.y – 4.z = – 72 • – 2.y – 2.z = – 28 • Efectuando F2 / (– 6) y F3 / (– 2) • x + y + z = 24• y + (2/3) z = 12 • y + z = 14• Efectuando F3 – F2:• x + y + z = 24• y + (2/3) z = 12 • (1/3).z = 2

PROBLEMA_3• Resolviendo:• z = 3.2 = 6 cm mide el lado

menor.• y + (2/3).6 = 12 • y = 12 – 4 = 8 cm el otro

lado.• x + 8 + 4 = 24 • x = 24 – 8 – 4 = 12 cm

mide el lado mayor.

• El resultado es correcto, pues el lado mayor, 12, debe ser más pequeño que la suma de los otros dos lados, 6+8 = 14, para que efectivamente haya un triángulo.

11

• Las tres cifras de un número suman diez, y si se invierte el orden de las cifras el número aumenta en 297 unidades. Además sabemos que la cifra de las decenas menos la cifra de las unidades da por resultado la cifra de las centenas. ¿Qué número es?

• Resolución• Sea el número xyz pedido y zyx el número invertido.• Donde x = El cardinal que indica las centenas.• Donde y = El cardinal que indica las decenas.• Donde z = El cardinal que indica las unidades.• Por la lectura detenida del enunciado:• x + y + z = 10• zyx = xyz + 297 • y – z = x• Desarrollando algebraicamente los números:• x + y + z = 10• 100.z + 10.y + x = 100.x + 10.y + z + 297• x – y + z = 0

PROBLEMA_4

12

• Teníamos el sistema:• x + y + z = 10• 99.x – 99.z = – 297• x – y + z = 0 • Operando mediante Gauss:• F2 – 99.F1 y F3 – F2• x + y + z = 10• – 99.y – 198.z = – 1287 • – 2.y = – 10 • En este caso concreto interesa permutar las columnas de las Y y de las

Z, quedando resuelta la triangulación de Gauss.• Resolviendo:• y = 19 / 2 = 5 es la cifra de las decenas.• – 99.5 – 198.z = – 1287 z = (1287 – 495) / 198 = 792 / 198 = 4• x + 5 + 4 = 10 x = 10 – 5 – 4 = 1 es la cifra de las centenas.• El número buscado es: N = 154 y su inverso el N’ = 451

PROBLEMA_4