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3. IntroduccinLa siguiente obra es una ayuda para cualquier
estudiante del nivel medio,superior nivel universitario que brinda
apoyo de gua en los ejercicios propuestos por el libro FISICA
VECTORIAL l de los autores Vallejo-Zambrano. No hay explicaciones
detalladas sobre los problemas,solo se sigue el camino de la razn y
lgica para llegar a la solucin es por eso que se pide al estudiante
tener conocimientos bsicos de lgebra,trigonometra y fsica
vectorial. Las dudas o sugerencias sern aceptadas en la direccin
que aparece a pie de pgina para poder conseguir un mejor
entendimiento si es que le hace falta a laobra expuesta. Se
considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la
capacidad del razonamiento matemtico en la solucin de problemas ms
complejos sin embargo las dudas de cualquier procedimiento no
entendible sern bienvenidas a las siguientes
direcciones:wwwfacebookcorn/ todoepntodo epngghotmailcomhttpM/
todoepnblogspotcom
5. EJERCICIO N 3l.Expresar en coordenadas rectangulares los
siguientes vectores:a) K = (152o])m SOLUCIN: A= (l5,-20)m= |Isen9 _
B (BwBy)Y E :l30Ncosl25" y =l30Nsenl25_ 1 (-74,56; l06,49)N Bx -
-74,56N By =106,49Nc) 6 =(37 cm,N37E)
6. y = |BIsen =Bicosqp(BVBY)(22,27; 29,55)cm22,27 Cm =29,55 cmx
_ _ By =37 cmsen37 By =37 cmcos37 _ _ B B)d) =25 kgr(o,6 as)
SOLUCIN: =25kgf(-0,6i-O,8j) = (152o)kgr B = (15,-20)kgf2. Expresar
en coordenadas polares los siguientes vectores:a) K
=(14+8])mSOLUCIN: II : _ 14 a = l809a =180 29, 74| K|= i6,12m
asoywK= (i6,12m;15o,26)b) B: (s7, 91)Nmm: [B] =4 K872 +912)_ B
(i25,90N;46,29) | B| =125,90N
7. c) B =45kgf(o,707 10,707 ])SOLUCIN: tanal =0707 a =27o+9y49
=270 +45 0 =315491 =tanl[0,707 0,707 a =45d) B= (22N, s28o)SOLCKN:
a =270w;a =27o23 B =(22 N,242) a =2423. Expresar en coordenadas
geogrcas los siguientes vectores:a) K :(52, -25)NSOLUCIN: Wim _ _
A= (57,7N; S64,32E) | AI=57,7Nb) B = (47N,245) =270 245y _ 250 B
=(47N,s25o)
8. SOLUCIN:c) E =32m+21]mSOLUCIN: IB] =4/322 +212_ E=
(38,2sm;N56,730) | CI =38,28mqi=56,73 d)
D=35cm(0,866i+0,5j)SOLUCIN: B =(35 cm;N30E)0,866] q) =304. Exprese
en funcin de sus mdulos y vectores unitarios los siguientes
vectores:a) K =(44 m,340) SOLUCIN:Ay =IAIcos 6 Ay =IAISenAy
=44mcos340 Ay =44msen340 A = (41,3515,05])m Ax =41,35m Ay =
15,05m
9. T5235 imim K=44m(0,940,34])11A = (0,940,34]) b) B= (25km,
Sl4"O)SOLUCIN: 6 =270+l4 49 =284By =IBICOS By =A| sen9 By =25krncos
284 By =25kmsen284 K :(6,051 24, 26])1qn BK =6, 05 km By =24,26km:3
UB m_(6,05i-24,26j)k1n213+ 25km B=25km(0,242i-0,97j)A,= (0,24 097])
c) E= (21,45)NSOLUCIN: EMEIBI =49,66N
10. 1% ICI_ (2li+45j)N _ y __ , Ll= C=49,66N(-0,421+0,9Oj)22
:(o,42+0,90) d) B= (17+9])kgr SOLUCIN: IBI =V172 +92 | B| =19, 24
kgf-2 nyyA (l7i+9j)kgf 2 y __ 22D = A D= l9,24kgf(O,881+0,47j)22D =
(O,88i+0,47j) 5. Expresar el vector R =(-13,-27)m en: a)
Coordenadas polaresb) Funcin de los vectores basec) Coordenadas
geogrcasd) Funcin de su modulo y unitarioSOLUCIN:B
=(_13,_27)ma)
11. IBI =i132 +272|1|= 29,97m6 t E27 9=64,29+180" =an 13
19=244,29a,= 64, 29b) B= (1327])m C)25 =270 244, 29 a=257nB =
(29,97m;s25,71o)B=29,97m(0,430,9])22D = (0,430,9]) 6. Expresar el
vector V =(200 km,318) en : a) Coordenadas geogrcasb) Coordenadas
rectangularesc) Funcin de los vectores based) Funcin de su modulo y
unitarioSOLUCIN:I= (200km,318)a) 25 =318 270y_ 480 V =
(200km,s48E)
12. Vy =IVlcos3l8 Vy =200 k1ncos3l8 Vy =l48,63kn1Vy = I7Isen318
Vy =200kmsen3l8 Vy = -l33,83kmV= (148,63;133,83)kn1V=
(148,63133,83])1qnvIVI (l48,63i-133,83j)krn200m E (0,743 - 0,
669])v: 7. Expresar el vector =(20 N,N 47 O) en: a) b) c)
d)Coordenadas polares Coordenadas rectangulares Funcin de su modulo
y unitario Funcin de los vectores baseSOLUCIN: a)
14. = (147cm;s71,57o)9=270+7L57 L =(147 cm;341,57) =341,57)
=147cm(0,948;-0,3l6) = (139,36;-19,99)cm d)= (139,3619,99])cm9.
Expresar el vector =(-29 1+ 35j)m/ s en: a) Coordenadas
rectangularesb) Funcin de su modulo y unitario c) Coordenadas
polaresd) Coordenadas geogrcasSOLUCIN: a)b)IB) =4292 +352| B|
=45,45m/ s
15. _ nyy_.> (-29i+35j)m/ s H _ 45,45m/ s = (0,64i+0,77j)B
=45,45 m/s(-O,64i+O,77 j)0,64 0,77_1 0, 64 19 =90 +39, 73 =tan 0,77
19 =129,73 ( =39, 73B = (45,45m/s;129,73)B = (45,45m/s;N39,73o)tanq
= d)lO.Expresar el vector E =(9i+l2j)m/ s2 en: a) Coordenadas
rectangularesb) Coordenadas polaresc) Coordenadas geogrcasd) Funcin
de su modulo y unitarioSOLUCIN: a)aimB= (152n/ s2;53,13)
16. =90 -53,13{#360070 B= (15n1/s2;N36,87E)d)_ NE0-)_ _
(9i+12j)m/ s2 E T @= (0,6+0,83)B=15nvs2(0,6+0,83)11. Exprese en
funcin de sus vectores base los siguientes vectores:a) K =(65k1n/
h, 121) SOLUCIN:Ay =jAicos H Ay =jAlsen HAy =651cm/ hcosl21 Ay
=65km/ hsen12l A,=33,481qn/ h Ay =55,72km/ hA=
(-33,48i+55,72j)kn1/hb) B =(70N,NE) SOLUCIN:By =IBI cos HBy
=7ONcos45 B= (49,5+ 49,53)N By =49,5Nc)
C=120krn(O,873i-O,488j)mis:
17. E =(104,7658,563)16nd) B= (13,40)NSOLCKN: D=
(13+403)NEJERCICIO N" 4l.Si la magnitud de los vectores E y O son
40m y 30m respectivamente,determinar: a) La magnitud mxima del
vector resultante de la suma vectorial de 13+ C b) La magnitud
minima del vector resultante de la surna vectorial de E +6c) La
magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que
E y Cr sean perpendicularesd) La magnitud mxima del vector
resultante de la resta vectorial de E - BSOLUCIN: a) E= (40i+0j)mB
(30T+03)m | B|=702=70mB (70+03)mE= (40i+0j)mG (30+03)m |
B|=7W=10mB= (1003)mF= (40--03)m B (0+303)m | B|=7402 +302 =50mB
(40+303)m
18. =(40+0)m 13 =(40+03)m B =(30+03)m B= (30+03)mB = (70+03)m
II =702 Z 70m 2. Dados los vectores E =41+ 63 y =-6 i-j ,encontrar:
a) El ngulo formado por los vectores b) El rea del paralelogramo
formado por los vectores E y Oc) El vector unitario en la direccin
de- 2C)SOLUCIN: a) 29: 2 E11110_c0s_, (4>
20. Qx icos Qy =16)sen0 Q,=15m/ scos120 Q,=15m/ ssen120 Q=
(7,5+12,99])n1/s Q,=7,5m/ s Q,=12,99m/ sa) 13=(12 8])m/ s Q=
(7,512,99)m/ sQ= (19,52o,99])m/ s+13=(4,5+4,99])rn/ s C) 3 T
=5(121-8])m/ S F= (1s12])m/ s= (-7,5>< 25)
X[(37+25])m]=33,972 +22,952[372 +252 4372 +252:4o,99mNM =
(33,9722,95])m ) rea = 37=(-826,21+934,75) =33,54 m2 34,39 22,336.
Dados los Vectores =15N(m+ 0,48);I= (21N,SE) y 13 =
(12N,312),hallar: a) ++Fb) 2/33+5/2= c) 2/5(F-)d) (3x213)e) La
proyeccin de sobre el vector resultante de (+3)f) El ngulo
comprendido entre los Vectores " y SOLUCIN: =15N(m+0,48]) =
(2lN,SE)49 =270+45 49 =3l5IX =|Icos49 IY =I| sen19 Ix=21Ncos315
Iy=21Nsen315 I,=14,85 I,= 14,85:15N(0,33+o,48) = >= (13,2+7,2]):
(14,8514,85])N
23. F= (12N,312)F,=I13Icos9 F,= senc9 F,=12Ncos312 F,= 12
Nsen312 F,=8,o3 1:,=-15,60F= (8,o315,6o])Na) = (13,2+7,2])N =
(14,8514,85])N = (8,o315,6o])N++i= (36,o823,25])N2/3=
%(14,85-14,85])N 3= 3(13,2+7,2])N23= < 52, 9848, 42 x 87,44
(772,482 +18,422 )(752,982 +87,442)9 =73, 059 =cos10. Dados los
vectores D =(Skin,63),B =(-7, -1)km y T3 =(4 km;S70E) ,calcular: a)
2B++32b) -213c) -d) e) La proyeccin de sobre f) El ngulo
comprendido entre y ? g) El rea del paralelogramo formado por los
vectores B y SOLUCIN:a)
36. , ,3)( (2,27 3- 4,463)12m ( ) -B 2=7,523+2,743 km3- -21?=
(46,7932,723)12m c) B- (2,27> Ay =16 Calculando Axtan 37 =Ax 16
tan 37 AX =21,24 como esta en X(-) : > -21,24AxA= (-21,24+16])N
W :421,242 +162Para que X=0 BX = -Ax PBX =21,24:
(21,24+o])NEJERCICIO N5
39. 1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el
horero 80 cm determinar la posicin relativa del extremo del horero
respecto al extremo del minutero,en las siguientes horas: a) 10H10
b) 12H35 c) 5H40 d) 8H20 e) 9H10 ) 6H50 g) 2H40 h) 11H05 i)
4H00SOLCKN: Basados en el siguiente graco para determinar los
vectores: rnn =(1,2m;30)rxmin =1, 2 mcos 30rYmin =1,2 msen 30
=O,6mrYmin rxmin 1, 04 m(1,o4+o, )mrmin i
44. Q = (0,8m;330)rYhm =0, 8 msen 330 rxho,= 0, 8 mcos 1 5
0=o,4 rx, =o,69m IY mQ = (o,69o,4])mrhor/ min =rhor ' Buin rhm/ mm
= (0,69o,4])m(o+1,23)m = (0,691,6])mrhor/min2. Una persona vive a
2km en direccin NE del centro de 1a ciudad,si para ir a 1a tienda
mas cercana camina 200m al este y luego 100m a1 sur,determinar: a)
La posicin de 1a tienda respecto a 1a ciudad b) La posicin de 1a
tienda respecto a 1a casa de 1a persona c) La distancia en lnea
recta de la casa a la tiendaSOLUCIN: Datos:Ciudad= origenT= (21qn;
NE): >(1,41+1,41])1qncasar = (0,2i-0,1j)kmtenda/casaa)=
(200i-100j)m3r. nenda/casar' . a/casa :rtenda _rcasar.=r.+rtien ,3
tienda/casa casar.,= (1,41--1,41])1qn+(o,210,1j)1qntien, r =
(1,61--1,31])1qntienda=(200i-100j)m: > r. r tienda/ casa
=tienda/casa
45. rtenda/ casa :u+ r =223,60m30,223kmtenda/casa3. Los vrtices
de un triangulo son 10s puntos P1(0,5),2(2,-1) y P3 (3,6),
determinar: a) El Valor de los ngulos internos del triangulo b) El
tipo de triangulo en funcin de sus ladosSOLUCIN:
46. A 1 2> =90 f3 =63, 43A =cos'63,43+90+:=180=180 -90 -63,
43=26,57 b) Triangulo rectngulo4. Los vrtices de un triangulo son
los puntos A(8,9)m,B(-6,1)m ,C(0,-5 m), detenninar: a) El valor de
los ngulos internos del triangulo b) El rea del triangulo
ABCSOLUCIN:
47. mmgmwgammamm Ham EmIle q,.7 7 ' A A _ V w " i , 1 y:. 4 ,
.a - _ y _ e'. . a u.4 ,22, . .- n r1 '. _ 7 L1!, aH%1q;EEE? Lg:_,
ko.1i 9.. .., . 1ye 11:1E ELEIM._ - v y A .kr h"., 1 1 1. H a _ .1
t .w r o 3.v 1.. .:1 y _ a 5 * .. . l h1; 1 r r 3 _ 4 q,1 1 y 4
._,, 1 a t" E1! um4mO1v;t.t. 5,] j._ ga 1.El llQllll, LHfmfCm .
mm9mm1u, ;,9,, a,3mamm . ;.1m9 "14 rv/ i/ )ivii l1,2l
48. b) rea = IBX1- -8rea= = |19664|=132m22) s 145. Una ciudad
est delimitada por las rectas que unen los
vrtices:P(4,5)km,Q(0,4)kn1 ,R(1,1)kn1 ,S(5,2)kIn,determinar:a) La
forma geomtrica de la ciudad b) El rea de la ciudadc) La posicin
relativa del punto R respecto del punto P d) La posicin relativa
del punto S respecto del punto R a) Paralelo gramo b) )
=(0+4])lcn1(+])kmRQ= (-+3])km
49. Q= (5+2])1qn-(+])km @= (4+])km6. tiene las ciudades P,Q y
R;determine la posicin relativa de 1a ciudad P respecto a R para
los siguientes casos: a) rQ(50km; s60E) y Qokm No)b) Qgsokm;so) y
Q(251qn; N70o)c) Q(651qn; N15o) y Qmkm,s30o) d) Q, '(40km; N75E) y
Q(100km; s25E)SOLUCIN: WQ =IP - IQ= > PQ =r,4m . ... ... ... ...
... . . .(1)Q =P q:.. ... ... ... . . .(3)Igualando (l) y (2)rP-IP/
Q: ' (3) en (4)rP/ R =rP/ Q ' rR/ Qr -rR =rm -rR, Q . ... ... ...
..... (4) a) Q(501an;S60E)0 =270 +60 0 =330
52. Q(40km;N75"E)a =9075 a =15rP/ Qx =1rP, Q cos 9 rWy =1rP, ,Q
sen 9rP/ Qx =40 kmcos 1 5 rwQy =40 kmsen 1 5 rwQx =38, 64 km rwQy
=16,82 kmQ= (38,64+16,82)1qn Q(100k1n; s25E)9 =270 +259 =295rR/ Qx
=1 cos9 rwQy =1E sen9rmQx =100 kmcos 295 rwQy =100 kmsen 295 rmQx
=42, 26km rR/ Qy =-90,63kmQ,=1-45i-77,94j)kmQ=
(33,64+16,s2])k1n(4577,94])kmr = (83,64+94,76j)k1nP/ R7. Para los
casos del ejercicio anterior.Si se construye una carretera directa
en lnea recta desde 1a ciudad P hacia ciudad R,determine el ahorro
de combustible para un auto que consume 1 galon de gasolina por
cada 45 km,si se compara el nuevo camino con la ruta que une las
ciudades P hacia Q y Q hacia R en lnea recta. .Dados los puntos
L(8, - 6)m y J (4, 3)m ,determinar: a) Los vectores posicin de E y
respecto al origenb) La posicin relativa de E con respecto a
53. c) La distancia entre los puntos E y SOLUCIN:a){=
(86)mb)E-r Q= (86])m(4+3])mQ (129])m c) Q = /l22 +92rm = l5m9. La
cumbre de la montaa A est a 3km del suelo y la cumbre de la montaa
B a 2km del suelo.Si las montaas se unen como indica el siguiente
graco: "A AADeterminar: a) La posicin relativa de la cumbre de la
montaa B respecto a la cumbre de la montaa Ab) La longitud del
cable para instalar un telefrico de la cumbre de la montaa A a la
cumbre de la montaa BSOLUCIN:
54. tan 60 Z 3kmtan 60 rAy =l,73kmAy=
(-1,731+3j)kma)rB/A(2,38i+2j)km-(-l,73i+3j)k1nQ (4,11J)k1nb)1Q =
,/4,112+1Q =4, 23 kmConsiderando ida y vuelta por cables
independientes 4,23 km>< 2 =8, 4610. Las coordenadas de los
puntos inicial y nal de un vector E son (5, -2)1n y(-4, 7)m
respectivamente,determinar: a) Las componentes rectangulares del
Vector E b) La magnitud del vector Ec) El vector unitario del
vector E351x12a)
55. Ezm_ (9i+9j)m E7127p,:(-0,706i+0,706j)m11. Un avin de
aeromodelismo est a (4 km,SO) de la torre de control.En
esemomento,su dueo desea impactar en un blanco que esta ubicado en
el punto (6, - 4) km ,determinar: a) La posicin del avin respecto
al blanco b) La direccin que debe tomar el avin para lograr su
propsito c) La distancia del avin al blancoSOLUCIN: a)(4 km,SO)Ax
=1A1cos9 Ay =sen9A,= 4kmcos225 A,= 4kmsen 225 A =(2,83 2,33])km
A,=-2,83km A,=-2,83km
56. Q (-2,83i-2,83j)km-(6i-4j)kmQ (8,83+1,17j)k1nb) =tan =82,
45S82,45Ec) Q = y(8,832+l,17ZQ,1=8,91km12. En un aeropuerto,un avin
B se halla parqueado en 1a posicin (200 m,N 28E)respecto a la torre
de control.En ese instante otro avin A se encuentra en laposicin
(200 m,SO) respecto a la misma torre de control,determinar: a) La
posicin relativa de B respecto de A b) La distancia que existe
entre los dos avionesSOLUCIN:a)(200m,N28E)Bx =1B1cos9 By =1B1sen9
B,= 200 mcos62 By =200 msen 62 B =(93,89i+176,59j)m B,=93,89m
By=176,59m(200 m,so)
57. Ay =1A1cos9 Ay =1A1sen9 Ay =200mcos225 Ay =200msen 225 A
=(-l41,42i-14l,42j)m A,= 441,42 Ay =-141,42Q
(93,89+176,59j)m-(-14l,42i-141,42j)m Q (235,31+318,01])mb)1Q1= .
/235,312 +318,0l1Q1: 395,60m13. Un bote tiene 2 motores fuera de
borda.El primer motor impulsa el bote en direccin NO con una
velocidad de 20m/ s, el segundo motor impulsa al bote en direccin
N25E con una velocidad de 15m/ s, detenninar: a) La velocidad
resultante del bote en magnitud y direccinb) El vector unitario del
vector velocidad resultante c) Los ngulos directores del vector
velocidad resultanteSOLUCIN:a)A = (20m/s;NO)Ay =1A1cos9 Ay =1A1sen9
Ay =20mfscosl35 Ay =20n1/ssenl35 A =(-l4,l4i+l4,l4j)m/ s
A,=-14,14na/ s Ay = l4,14m/ sB= (15m/ s;N25E)
58. By =1B1cos9 By =1B1sen9 By=15m/ scos65 By= l5rr1/ssen65 B=
(6,34i+13,59j)m/ s B, =6,34n1/s By= l3,59n1/sy (-14,l4i+l4,l4j)m/
s+(6,34+l3,59j)rn/ s y (-7,8i+27,73j)m/ s1711: 47,82 +27,732 y,=
tan-I (Q27,73) V= (28,81n1/s; N15,71o)1v1=28,81n1/s b)a=15,71TV 171
__,8i+27,73j)m/ s "V 7Q y= (0,27+o,96])m/ sC)a =90+l5,7l=15,71 a=
l05,7l 14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones: a)
La posicin relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A b) La
posicin relativa de la buchaca C respecto a la buchaca Ec) El ngulo
formado por los vectores EX y
59. d) La posicin relativa de una bola ubicada en el punto Q
respecto a la buchaca D e) La proyeccin del vector E sobre
mSOLUCIN: Considerando A como origen: a)Q = (2,8i-1,5j)mb)=
(2,8+0])m , =(1,41,5])m Q (2,8*+0])1n(1,41,5])m Q= (1,4+1,5])mc)A=
A-E czag - --1,4i+1,5j)1n c= (1,4+1,5])ml,4>
72. (2) en (5) A7 =vmot Vmotoy xAt +V. x(AtAtmyyyy)moto bici+V
xAt-Txm :5moto bici bici motoT>
76. 9. Dos puntos A y B estn separados 80m.Desde A parte hacia
B un mvil con una rapidez constante de 3 in/s.Cinco segundos despus
y desde B un mvil con lamisma direccin y sentido que el primero y
con una rapidez constante de 2 m/s ; determinar: a) Analticamente y
grcamente cuando y donde se encuentran b) En qu tiempo la distancia
que los separa ser nuevamente 80mSOLUCIN: (3) Y (4) 611 (2) VBxtB=
VAxtA-80m . ... ... .. (l)en (5) VB(tA-5s)= VA>