Solver en la solución de modelos lineales

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AUTORES Msc. JORGE ACOSTA PISCOYA. Licenciado En Estadística Msc. DEBORA MEJIA PACHECO. Licenciado En Estadística

DOCENTES ASCRITOS AL DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA DE LA UNPRG – LAMBAYEQUE

2010

DOCENTES DE LA ASIGNATURA DE:

INVESTIGACION DE OPERACIONES I

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La opción Solver de EXCEL sirve para resolver problemas de

optimización lineal y no lineal; también se pueden indicar restricciones enteras

sobre las variables de decisión. Con Solver es posible resolver problemas que

tengan hasta 200 variables de decisión, 100 restricciones explícitas y 400

simples (cotas superior e inferior o restricciones enteras sobre las variables de

decisión). Para acceder a Solver, seleccione Tools en el menú principal y

luego Solver. La ventana con los parámetros de Solver aparecerá tal y como

se muestra a continuación:

1. ingresar al Excel.

2. Desplegar el menú herramientas, si no aparece el solver hay que activarlo

para lo cual hacemos clic en complementos, saldrá la siguiente ventana

activar solver y luego aceptar

3. Dado el siguiente modelo de programación lineal, resolver utilizando solver

Max.Z = x1 + 2x2 + 4x3 S.a:

3x1 + x2 + 5x3 ≤ 10 x1 + 4x2 + x3 ≤ 8

2x1 + 2x3 ≤ 7 Xj ≥ 0 donde j=1,2,3

4. Escribir el modelo de programación lineal, como se muestra:

3

5. En la celda de la función objetivo (C2) hay que escribir la formula como se

muestra en la imagen:

6. una vez ingresada la formula dar enter y a parecerá la función objetivo con

valor cero como se muestra:

4

7. En las restricciones también se debe escribir una formula, como se muestra

en la primera restricción (H6), luego dar enter y aparecerá cero haga lo

mismo con las siguientes restricciones. Para no escribir las formulas

ubíquese en la formula de la primera restricción y arrástrelo hasta la ultima

restricción, esto se puede dado de que no se fijo el coeficiente.

8. luego ubíquese en la celda de la función objetivo C2 ir al menú

herramienta, clic en solver y aparecerá la siguiente pantalla:

Clic

9. Ingrese los valores de la variable, como se muestra:

clic

10. Aparecerá la siguiente pantalla, luego deberá ingresar las, restricciones, clic en agregar, como se muestra:

5

Clic

11. Aparecerá la siguiente pantalla:

12. deben ingresarse las restricciones, como se muestra, una a una hasta la

última restricción, después de escribir la primera restricción no se olvide de

aceptar, para luego ingresar la otra y así sucesivamente:

13. Las restricciones de no negatividad se deben introducir manualmente como

se muestra:

6

14.- Luego clic en aceptar y aparecerá la siguiente pantalla

15. Luego clic en resolver y aparecerá la siguiente pantalla, y dar clic en

aceptar:

16. y se obtiene la solución del modelo:

Donde el valor de la función objetivo es 9.89473684 y los valores de la variable: X1=0 ; X2=1.5789;

X3= 1.6842

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Ejercicio de Aplicación 1.- (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100

hectáreas en los cuales puede sembrar Maíz y Arroz . Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo

del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la

recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por hectárea:

CULTIVOS COSTO DE

PLANTAR

DEMANDA HORAS-

HOMBRE

UTILIDAD

MAIZ $20 5 $ 100

ARROZ $40 20 $ 300

Formule el modelo de Programación lineal que permita maximizar sus utilidades del granjero.

Solución:

CULTIVOS HECTAREAS COSTO DE

PLANTAR

DEMANDA

HORAS-HOMBRE

UTILIDAD

MAIZ 1 $20 5 $ 100

ARROZ 1 $40 20 $ 300

RECURSO

DISPONIBLE

100 $3000 1350

Variable s de Decisión:

x1 = Producción de Maíz por hectárea.

x2 = Producción de Arroz por hectárea.

Función Objetivo: Maximizar sus utilidades

Restricciones:

R1. x1 + x2 < 100

R.2. 5x1 + 20x2 < 1350

R.3. 20x1 + 40x2 < 3000

Condición de No negatividad:

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Modelo de Programación Lineal:

Max Z = 100x1 + 300x2

Sujeto a:

x1 + x2 < 100

5x1 + 20x2 < 1350

20x1 + 40x2 < 3000

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Utilizando Solver para su solución:

1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel

http://www.monografias.com/trabajos7/coad/coad.shtml#costo

http://www.monografias.com/trabajos15/fundamento-ontologico/fundamento-ontologico.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/basda/basda.shtml

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2.- digitamos las formulas en los respectivos casilleros:

Primero la formula de la función objetivo

Luego las formulas de las restricciones:

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3.- luego seleccionamos herramientas y solver:

4. – Agregamos los valores de las variables.

5.- clic en resolver y se obtiene los siguientes resultados:

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INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

Para obtener una utilidad máxima de 21000 dólares, se debe cultivar 30 hectáreas de Maíz y 60

hectáreas de Arroz.

Ejercicio de Aplicación 2.- (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar la

combinación más barata de dos productos, A y B, que contienen:

al menos 0.5 miligramos de tiamina

al menos 600 calorías

PRODUCTO TIAMINA CALORIAS

A 0.2 mg 100

B 0.08 mg 150

Solución:

PRODUCTO TIAMINA CALORIAS

A 0.2 mg 100

B 0.08 mg 150

REQUERIMINETOS

MINIMOS

0.5 600


x1 = Cantidad mas Barata del producto A

x2 = Cantidad mas Barata del Producto B

Función Objetivo: Minimizar Recursos

Restricciones:

R1. 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5

R.2. 100x1 + 150x2 > 600


x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

http://www.monografias.com/trabajos7/plane/plane.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/transf-calor/transf-calor.shtml

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Min Z = x1 + x2

Sujeto a:

0.2x1 + 0.08x2 > 0.5

100x1 + 150x2 > 600

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0




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3.- luego seleccionamos herramientas y luego solver ingresamos los valores de la variable y

seleccionamos la opción minimizar, dado a que se trata de un modelo de programación lineal cuya

función objetivo es minimizar:

:

4.- clic en resolver:


Para Minimizar los costos a $4.4091 se deben Adquirir 1.2273 mg. Del producto A, y 3.1818

mg. Del producto B.

Ejercicio de Aplicación 3.- Un granjero tiene 200 cerdos que consumen 120 libras de comida

especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las

siguientes composiciones: Libras por Libra de Alimento

Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/lb)

Maíz 0.001 0.09 0.02 0.2

Harina de

Soya

0.002 0.6 0.06 0.6

Los requisitos de alimento de los cerdos son:

1. Cuando menos 1% de calcio

2. Por lo menos 30% de proteína

3. Máximo 5% de fibra

http://www.monografias.com/trabajos/elmaiz/elmaiz.shtml

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Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día

Solución:


x1 = Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento

x2 = Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento

Función Objetivo: Minimizar el costo de alimento por día.

Restricciones: R1. 0.001x1 + 0.002x2 > (120)(0.01)

R.2. 0.09x1 + 0.6x2 > (120)(0.3)

R.3. 0.02x1 + 0.06x2 < (120)(0.05)

Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0


Min Z = 0.2x1 + 0.6x2

Sujetos a:

0.001x1 + 0.002x2 > 1.2

0.09 x1 + 0.6 x2 > 36

0.02 x1 + 0.06 x2 < 6

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0




http://www.monografias.com/trabajos7/alim/alim.shtml

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3.- luego seleccionamos herramientas y luego solver ingresamos los valores de la variable y

seleccionamos la opción minimizar, dado a que se trata de un modelo de programación lineal cuya

función objetivo es minimizar:


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Para Minimizar los costos de alimento en $60, se debe comprar solamente 218.182 libras de

harina de soya y 27.27 libras de Maíz

Ejercicio de Aplicación 4.- Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres

máquinas. El tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. El

tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son: Minutos Por Unidad

Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia

1 10 6 8 $2

2 5 20 15 $3

Determine cuantas unidades de cada productos se deben producir por día, que permita

maximizar las Ganancias.

Solución:


x1 = Cantidad de Unidades del Producto 1, a producir por día.

x2 = Cantidad de Unidades del Producto 2, a producir por día.

Función Objetivo: Maximizar las Ganancias.

Restricciones: R1. 10x1 + 5x2 < 10(60)

R.2. 6x1 + 20x2 < 10(60)

R.3. 8x1 + 15x2 < 10(60)


Modelo de Programación Lineal: Max Z = 2x1 + 3x2

Sujetos a:

10x1 + 5x2 < 600

6x1 + 20x2 < 600

8x1 + 15x2 < 600

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

.

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2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes

3.- Ingresamos los valores de las variables

17

4.- clic en resolver


Para tener una ganancia máxima de $141,8182 dólares diarios se deben producir por día 55

unidades del producto 1 y 11 unidades del producto 2, por día.

Ejercicio de Aplicación 5.- Las restricciones pesqueras impuestas por el ministerio obligan a

cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de jurel,

además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el

precio de la merluza es de $1000 por kg y el precio del jurel es de $1500 por kg, ¿ Qué

cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?.

Solución:

TIPO DE

PESCADO PEZCA EN TONELADAS PEZCA PRECIO $

MERLUZA 1 0 1 1000

JUREL 0 1 1 1500

RECURSO

MAXIMO

2000 2000 3000

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x1 = Tonelada de Merluza a pescar.

x2 = Tonelada de Jurel a pescar.

Función Objetivo: Maximizar los Beneficios.

Restricciones: R1. x1 < 2000

R.2. x2 < 2000

R.3 x1 + x2 < 3000


Modelo de Programación Lineal: Max Z = 1000x1 + 1500x2

Sujeto a:

x1 < 2000

x2 < 2000

x1 + x2 < 3000

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0



2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes.

19

3.- Ingresamos los valores de la variable

4.- clic en resolver

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Para tener una ganancia máxima de 4000000 dólares se debe pescar 1000 toneladas de Merluza y

2000 toneladas de Jurel.

Ejercicio de Aplicación 6.- Se desea contratar movilidad para trasladar a 400 personas y se

dispone de las siguientes alternativas. Hay 8 buses con capacidad para 40 personas y cada una

cuesta $12000 y 10 buses con capacidad 50 personas, con un valor de $16000 cada uno. Si se

dispone sólo de 9 conductores para esa oportunidad. ¿Cuántos buses de cada tipo convendría

arrendar para que el viaje resulte lo más económico posible?

SOLUCION

Variables de Decisión:

x1 = cantidad de buses que se deben arrendar con capacidad para 40 personas.

x2 = cantidad de buses que se deben arrendar con capacidad para 50 personas.

Función Objetivo: Minimizar los costos.

Restricciones: R1. 40x1 + 50x2 ≥ 400

R.2. x1 + x2 = 9

R.3 x1 < 8

R.4. x2 < 10



Min Z = 12000 x1 + 16000 x2

Sujeto a:

40x1 + 50x2 ≥ 400

x1 + x2 = 9

x1 < 8

x2 < 10

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0



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3.- Ingresamos los valores de las variables.

22

4.- clic en aceptar


Para tener un gasto mínimo de $124000, se debe arrendar 5 buses de capacidad de 40

personas y 4 buses de capacidad para 50 personas.

Ejercicio de Aplicación 7.- Se aplica un examen que contiene preguntas del tipo A que

valen 4 puntos y del tipo B que valen 7 puntos. Se debe responder al menos 5 del tipo A y

al menos 3 del tipo B, pero las restricciones de tiempo impiden responder más de 10 de cada

tipo. En total, no se puede responder más de 18 preguntas. Suponiendo que las respuestas de

un alumno sean correctas:

a) ¿cuántas preguntas de cada tipo debe responder el alumno para maximizar su

Puntuación?

b) ¿cuál es la calificación máxima?

SOLUCION


x1 = Número de preguntas tipo A resueltas de 4 puntos.

x2 = Número de preguntas tipo B resueltas de 7 puntos.

.

Función Objetivo:

Maximizar los puntajes.

Restricciones:

R1. x1 ≥ 5

R.2. x2 ≥ 3

R.3 x1 < 10

R.4. x2 < 10

R.5. x1 + x2 < 18


x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

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Máx. Z = 4 x + 7 x2

Sujeto a:

x1 ≥ 5

x2 ≥ 3

x1 < 10

x2 < 10

x1 + x2 < 18

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Digitamos el modelo de programación lineal en la hoja de cálculo de Exel.


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INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS:

(a) Para maximizar su puntuación debe responder 8 preguntas tipo A y 10 preguntas tipo B.

(b) La calificación máxima es de 102 puntos

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Ejercicio de Aplicación 8.- En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de

tipo normal valen $ 450 y las de halógenos $ 600. La producción está limitada por el hecho de

que no se pueden fabricar al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total.

Si se vende toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la

máxima ganancia?

SOLUCION:


x1 = Número de Bombillas Normales a producir.

x2 = Número de Bombillas de Halógeno a producir.

.

Función Objetivo:

Maximizar las ganancias.

Restricciones:

R1. x1 < 400

R.2. x2 < 300

R.3. x1 + x2 < 500



Máx. Z = 4 x + 7 x2

Sujeto a:

x1 < 400

x2 < 300

x1 + x2 < 500

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Digitamos el modelo de programación lineal en la hoja de cálculo de Exel.


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Para tener una utilidad máxima de 270000 dólares se debe producir 200 bombillas

Normales y 300 bombillas de halógeno.

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