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1Mat 121 b
Sucesiones
Objetivos
- Enunciar los términos de una sucesión.- Determinar si una sucesión converge o diverge.- Escribir una fórmula para el término n-ésimo de una sucesión.- Usar las propiedades de las sucesiones monótonas y de las sucesiones acotadas.
Una sucesión es una colección de objetos que están ordenados de manera que tienen un primer miembro, un segundo miembro, un tercer miembro y así sucesivamente.
Matemáticamente una sucesión se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, es común representar las sucesiones empleando subíndices, por ejemplo:
1, 2, 3, 4, …...., n
a1 , a2 , a3 , a4 ,… .. , an
Los números a1, a2 , a3 , a4 ,…,an son los términos de la sucesión. El número an es el término
n-ésimo de la sucesión y la sucesión completa se denota por {an }.
Ejemplo 1.
a) Los términos de la sucesión {an }={3+ (−1 )n } son
3+ (−1 )1 ,3+(−1 )2 ,3+ (−1 )3 ,3+(−1 )4 ,…
2, 4, 2, 4, …
b) Los términos de la sucesión {bn }={ n1−2n } son
11−2(1)
, 21−2(2)
, 31−2 (3)
, 41−2(4)
,…
−1 ,−23,−35,−47 , ….
Dar los términos de una sucesión
2Mat 121 b
c) Los términos de la sucesión {cn }={ n2
2n−1 } son
d) Los términos de la sucesión definida en forma recursiva o recurrente {dn }, donded1=25 y dn+1=dn−5, son
Una sucesión cuyos términos tienden a valores límite, se llaman convergentes.
12, 14, 18, 116
, 132
…converge a 0.
Teorema 1. Límite de una sucesiónSea L un número real. Sea f una función de una variable real tal quelimx→∞
f (x)=L.
Si {an } es una sucesión tal que f n=an para cada entero positivo n, entonces limx→∞
an=L .
Teorema 2. Propiedades de los límites de una sucesión
Sea limx→∞
an=L y limx→∞
bn=K
1. limx→∞
an±bn=L± K
2. limx→∞
c an=cL, donde c es un número real.
3. limx→∞
(anbn)=LK
4. limx→∞
an
bn= L
K,bn≠0 y K ≠0
Límite de una sucesión
Reconocimiento de patrones en las sucesiones
3Mat 121 b
A veces los términos de una sucesión se generan mediante alguna regla que no identifica el término n-ésimo de la sucesión. En tales casos, puede ser necesario descubrir el patrón en la sucesión y describir el término n-ésimo. Una vez que el término n-ésimo se ha especificado, se puede investigar la convergencia o divergencia de la sucesión.
Ejemplo 2. El término n-ésimo de una sucesión.
Hallar una sucesión {an } cuyos 4 primeros términos son 3, 7, 11, 15, …
Y después determine si la sucesión en particular que se ha elegido converge o diverge.
Hasta ahora se ha determinado la convergencia de una sucesión encontrando su límite. Aun
cuando no pueda determinarse el límite de una sucesión particular, puede ser útil si la sucesión
converge. El siguiente teorema proporciona un criterio de convergencia para sucesiones sin
determinar el límite. Primero, se dan algunas definiciones preliminares.
Sucesión monótona: Una sucesión {an }es monótona si sus términos son crecientes o
decrecientes. a1≤a2≤a3≤⋯≤an o a1≥a2≥a3≥⋯≥an
Ejemplo 3. Determinar si una sucesión es monótona.
Determinar si la sucesión que tiene el término n-ésimo dado es monótona.
a) an=3+(−1 )n b) bn=2n1+n c) cn=
n2
2n−1
Solución
a) Esta sucesión alterna entre 2 y 4. Por tanto no es monótona.
Sucesiones monótonas y acotadas
4Mat 121 b
Sucesión acotada:
1. Una sucesión {an } es acotada superiormente o por arriba si existe un número real M tal
que an≤M paratodon . El número M es llamado una cota superior de la sucesión.
2. Una sucesión {an } es acotada inferiormente o por abajo si hay un número real N tal que
N ≤an para todo n. El número N es llamado una cota inferior de la sucesión.
3. Una sucesión {an } es acotada si lo está superior e inferiormente.
Ejemplo 4. Sucesiones acotadas y monótonas.
a) ¿La sucesión {an }={1/n } converge?
b) ¿La sucesión {bn }={n2/(n+1) } converge?
c) ¿La sucesión {cn}={ (−1 )n } converge?
Teorema 3. Sucesiones monótonas acotadas.Si una sucesión {an } es acotada y monótona, entonces converge.
5Mat 121 b
Ejercicios propuestosEn los ejercicios del 1 al 5, escribir los primeros cinco términos de la sucesión
1. an=3n
2. an=(−14 )n
3. an=sen nπ2
4. an=(−1 )n(n+1 )/2
n2
5. an=5−1n+ 1n2
En los siguientes ejercicios escribir los primeros cinco términos de la sucesión definida por recurrencia.
6. a1=3 , ak+ 1=2(ak−1)
7. a1=32 ,ak+1=12ak
8. a1=4 , ak+1=( k+12 )ak
9. a1=6 , ak +1=13 (ak )2
En los siguientes ejercicios asociar la sucesión con su gráfica. [Las gráficas se etiquetan a), b) c) y d).]
En los siguientes ejercicios, relacionar la sucesión con
la expresión correcta para su término n-ésimo. [Los
términos n-ésimos se indican mediante a), b), c) y d).]
a) an=23n c) an=16 (−0.5 )n−1
b) an=2−4n d) an=
2nn+1
14. −2 ,0 ,23,1 ,…
15.23, 43,2, 83,…
16. 16 ,−8 ,4 ,−2 ,…
17. 1 ,43, 32, 85,…
En los siguientes ejercicios, escribir los siguientes dos términos de la sucesión. Describir el patrón que se utilizó para encontrar esos dos términos.
18. 3, 5, 7, 9, 11, …
19. 2 ,5 ,8 ,11 ,…
20.72,4 , 92,5 ,…
21. 5 ,10 ,20 ,40 ,…
22. 1 ,−12, 14,−18,…
23. 3 ,−32, 34,−38,…
24. 1 ,−32, 94,−278,…
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10. an=10n+1
11. an=(−1 )n
12. an=10nn+1
13. an=(−1 )n
n
En los siguientes ejercicios, encontrar el límite ( si es posible) de la sucesión.
25. an=5n2
n2+2
26. an=2n
√n2+1
27. an=5−1n2
28. an=5n
√n2+4
29. an=sen 1n
30. cos2n
En los siguientes ejercicios determinar la convergencia o divergencia de la sucesión con el término n-ésimo dado. Si la sucesión converge, encontrar su límite.
31. an=(0.3 )n−1
32. an=5
n+2
33. an=(−1 )n( nn+1 )
34. an=3n2−n+42n2+1
35. an=4−3n
En los siguientes ejercicios, escribir una expresión para el término n-ésimo de la sucesión.
36. 1 ,4 ,7 ,10 ,…
7Mat 121 b
37. −1 ,2,7 ,14 ,23 ,…
38.23, 34, 45, 56,…
39. 2 ,1+12,1+ 1
3,1+ 1
4,1+ 1
5,…
40.12∙3
, 23 ∙4
, 34 ∙5
, 45 ∙6
,…
41. 3 ,7 ,11 ,15 ,…
42. 1 ,12, 16, 124
, 1120
,…
43. 1 ,−11∙3
, 11∙3 ∙5
,− 11 ∙3 ∙5∙7
,…
Series y convergencias
Objetivos - Entender la definición de una serie infinita convergente.- Usar propiedades de las series infinitas geométricas.- Usar el criterio del término n-ésimo para la divergencia de una serie infinita.
Series infinitas
Una aplicación importante de las sucesiones infinitas es la representación de “sumas infinitas”. Informalmente, si {an } es una sucesión infinita., entonces
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∑n=1
∞
an=a1+a2+a3+⋯+an+⋯ series infinitas
Es una serie infinita (o simplemente una serie). Los números a1 , a2 , a3 son los términos de la serie. En algunas series es conveniente empezar con el índice n=0 (o algún otro entero). Como convenio de escritura, es común representar una serie infinita simplemente como ∑ an. En tales casos, el valor inicial para el índice debe deducirse del contexto establecido.
Para encontrar la suma de una serie infinita, se debe considerar la siguiente sucesión de las sumas parciales.
S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
⋮
Sn=a1+a2+a3+⋯+an
Si esta sucesión {Sn} de sumas parciales converge a L , se dice que la serie converge y
tiene la suma indicada (suma de la serie) como el límite L de la sucesión Sn.
Ejemplo: determinar si la serie converge o diverge y encontrar su suma.
a) La serie ∑n=1
∞ 12n
Series geométricas
La serie dada por
∑n=1
∞
arn=a+ar1+ar2+ar3+⋯+a rn+⋯ ,a≠0
Es una serie geométrica de razón r.
Teorema 4. Convergencia de una serie geométrica.
Una serie geométrica de razón r diverge si |r|≥1. Si 0<|r|<1 , entonces la serie converge a la suma.
∑n=0
∞
arn= a1−r
,0<|r|<1.
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Ejemplos: Verificar si la serie converge o diverge utilizando el teorema 4.
a) ∑n=0
∞ 32n
Criterio del término n-ésimo para la divergencia.
El siguiente teorema establece que si una serie converge, el límite de su término n-ésimo
debe ser cero.
Teorema 4. Convergencia de una serie geométrica.
Una serie geométrica de razón r diverge si |r|≥1. Si 0<|r|<1 , entonces la serie converge a la suma.
∑n=0
∞
arn= a1−r
,0<|r|<1.
Teorema 5. Límite del término n-ésimo de una serie convergente y divergente.
Si∑n=0
∞
an converge , entonces su limn→∞
an=0 y Si limn→∞
an≠0entonces diverge .
10Mat 121 b
Ejemplo: Aplique el Teorema 5 para determinar si la serie converge o diverge.
a¿∑n=0
∞
2n
b¿∑n=1
∞ n+1010n+1
Criterio de la integral
Teorema 6.
Si f es positiva, continua y decreciente para x≥1 y an=f (n ) , entonces
∑n=1
∞
an y∫1
∞
f (x)dx
O ambas convergen o ambas divergen.
11Mat 121 b
Ejemplo:
Aplica el criterio de la integral a la serie dada para determinar si converge.
1¿∑n=1
∞ nn2+1
2¿∑n=1
∞ 1n2+1
Una serie de la forma
∑n=1
∞ 1np=
11p
+ 12p
+ 13p
+…Serie p
Es una serie p donde p es una constante positiva. Para p = 1, la serie
∑n=1
∞ 1n=1+ 1
2+ 13+…Serie armónica
Series p y series armónicas
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Una serie armónica general es de la forma ∑ 1 /(an+b). En música, las cuerdas del mismo
material, diámetro y tensión cuyas longitudes forman una serie armónica producen tonos
armónicos.
Ejemplo:
Dada la serie p, determinar por el teorema 7 si converge o diverge.
1¿∑n=1
∞ 1n
2¿∑n=1
∞ 1n2
Este tipo de criterio permite comparar una serie de términos complicados con una serie
más simple cuya convergencia o divergencia es conocida.
Teorema 7. Convergencia de series p.
La serie p
∑n=1
∞ 1np=
11p
+ 12p
+ 13p
+…
Converge si p > 1 y diverge si 0< p≤1.
Criterio de comparación directa.
Teorema 8. Criterio de comparación directa
Sea 0<an<bn para todon .
1.Si∑n=1
∞
bn converge , entonces∑n=1
∞
anconverge .
2.Si∑n=1
∞
andiverge ,entonces∑n=1
∞
bndiverge .
13Mat 121 b
Ejemplo: Aplicar el criterio de comparación directa para determinar la convergencia o
divergencia.
a¿∑n=1
∞ 12+3n
b¿∑n=1
∞ 1n0.3+1
Criterio de comparación en el límite.
Teorema 9. Criterio de comparación en el límite.
Suponga que an>0 , bn>0 , y
limn→∞ ( an
bn)=L
Donde L es finito y positivo. Entonces las dos series ∑ an y∑ bn o convergen ambas o divergen ambas.
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Ejemplo: Determinar la convergencia o divergencia utilizando el criterio de comparación
en el límite.
1¿∑n=1
∞ √nn2+1
2¿∑n=1
∞ n2n
4n3+1
En esta sección se estudiarán series que contienen términos positivos y negativos. Las
series más sencillas de este tipo son las series alternadas o alternantes cuyos términos
alternan en signos.
Teorema 10. Criterio de la serie alternada o alternante.
Sea an>0. Las series alternadas o alternantes
∑n=0
∞
(−1)nan y∑n=0
∞
(−1)n+1an
Convergen si se satisfacen las siguientes dos condiciones.
1. limn→∞
an=02.an+1≤an , para todon .
Series alternadas o alternantes.
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Ejemplo: Determinar si la serie geométrica alternante converge.
1¿∑n=0
∞
(−12 )n
2¿∑n=0
∞ (−1 )n(5n−1)4n+1
Convergencia absoluta y condicional.
Algunas series tienen términos positivos y negativos, pero no son series alternadas. Una
manera de analizar la convergencia de estas series es mediante el siguiente teorema.
Teorema 11. Convergencia absoluta y condicional.
1.∑ anes absolutamente convergente si∑|an|converge .
2.∑ an es condicionalmenteconvergente si∑ an converge pero∑|an|diverge .
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Ejemplo: Determinar si las series convergen o divergen. Clasificar en absolutamente
convergente o condicionalmente divergente.
1.∑n=1
∞ (−1 )n
√n
2.∑n=1
∞ (−1 )n(n+1)/2
3n
3 .∑n=1
∞ (−1 )n
ln (n+1)
Este criterio es implica la convergencia absoluta.
Criterio del cociente.
Teorema 12. Criterio del cociente.
Sea∑ anunaserie con términosdistintos decero .
1.∑ an es absolutamenteconvergente si limn→∞ |an+1
an|<1.
2 .∑ anesdiverg ente si limn→∞ |an+1an
|>1o limn→∞ |an+ 1
an|=∞.
3. Elcriteriodel cociente noesconcluyente si limn→∞ |an+1
an|=1 .
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Ejemplo: Determinar la convergencia o divergencia de
1.∑n=0
∞ 2n
n!
2.∑n=0
∞ n22n+1
3n
3.∑n=1
∞
(−1)n √nn+1
Este criterio es especialmente para series que involucran n-ésimas potencias.
Criterio de la raíz.
Teorema 13. Criterio de la raíz.
Sea∑ anuna serie
1.∑ anconvergeabsolutamente si limn→∞
n√|an|<1.
2 .∑ andiverge si limn→∞
n√|an|>1o limn→∞
n√|an|=∞ .
3. Elcriteriodel cociente noesconcluyente si limn→∞
n√|an|=1.
18Mat 121 b
Ejemplo: Determinar la convergencia o divergencia de
1.∑n=1
∞ e2n
nn
2 .∑n=1
∞
( n+12n+1 )
n
