SUMATORIAS

SUMATORIAS

CONTENIDOIntroduccinDefinicinPropiedades Sumatorias Notables Ejercicios ResueltosConclusiones

INTRODUCCINrase una vez un nio alemn llamado Carl F. Gauss. Cuando tena diez aos, su profesor de la escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban mal, le puso un problema matemtico al pequeo Carl y a sus compaeros.Los nios deban sumar todos los nmeros del 1 al 100, es decir: 1+2+3+4+5++98+99+100

El profesor se sent en su silla a leer el peridico, confiaba en que tendra horas hasta que los nios sumaran todos los nmeros. Sin embargo, el pequeo Gauss no tard ni cinco minutos en ir hacia el profesor y darle el resultado: 5050.

Cmo lo haba hecho?

Gauss tena que sumar lo siguiente:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100Se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simtricos, facilitaba enormemente las cosas, es decir: 1 +100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 4 + 97 = 101 5 + 96 = 101 ...46 + 55 = 10147 + 54 = 10148 + 53 = 10149 + 52 = 10150 + 51 = 101

50 veces 101, es decir 50 x101= 5050

De donde se deduce la frmula de la sumatoria de los n primeros nmeros.

Conociendo esta frmula podremos resolver el problema planteado a Gauss, que fue de sumar los 100 primero nmeros.

DEFINICINLa sumatoriaes la operacin de la adicin de una secuencia de nmeros, el resultado es la suma total.NOTACINndice superiorTrmino generalndice inferiorsigma

P1. El nmero de sumandos y de trminos de una sumatoria es igual al ndice superior menos el ndice inferior mas la unidad.Ejemplo:Hallar el nmero de trminos de la siguiente expresin:

PROPIEDADES

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P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del nmero de sumandos por la constante.Ejemplo:Hallar la sumatoria de la siguiente expresin:PROPIEDADES

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P3. La sumatoria en el que el trmino general es una suma algebraica sta se puede descomponer en sumatorias independientes.Ejemplo:

Donde: k y k son constantes.PROPIEDADES

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P4. Una sumatoria cuyo ndice inferior no es la unidad puede descomponerse de sta manera:Ejemplo:Hallar la sumatoria de la siguiente expresin:PROPIEDADES

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SUMATORIAS NOTABLES

Los n primeros nmeros naturales

SUMATORIAS NOTABLES

Los n primeros nmeros pares naturales

Demostracin:

lqqd

SN primeros NFactorizacin

SUMATORIAS NOTABLES

Los n primeros nmeros impares naturales.Demostracin:P3:SN #pares y P2:simplificacinlqqd

SUMATORIAS NOTABLES

Los n primeros nmeros cuadrados perfectos

SUMATORIAS NOTABLES

Los n primeros nmeros cubos perfectos.

SUMATORIAS NOTABLES

Los n primeros nmeros cuartos perfectos.

SUMATORIAS NOTABLES

Los n primeras potencias.

SUMATORIAS NOTABLES

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Escriba con notacin a) 3+9+27+81+(10 trminos)Resolucin:3+9+27+81+(10 trminos) 3+9+27+81+(10 trminos) =EJERCICIOS RESUELTOS

b) 2+6+10+14+18(10 trminos)Resolucin:2+6+10+14+18(10 trminos)2+6+10+14+18(10 trminos) =EJERCICIOS RESUELTOS

2. HallarResolucin::propiedad 3

:S.N y :propiedad 2:propiedad 2

3. Calcular P , si P = 3 +24 + 81 + 192 + + 8232Resolucin::factorizando

:S.N. cubos

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4. Hallar n: Resolucin::S.N. nmeros pares

:Ec. De 2 grado

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5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..Resolucin:

:Propiedad 3

15 trminosS = 4 + 7 +12 + 19 + . ..

15 trminos:S.N. y Propiedad 2

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6. Calcular E: Resolucin::Decimal a fraccin

:Factorizando

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7. Se tiene: Resolucin:

Encontrar el valor de: Por Tanto:M =9A=4R=6

B: Hallando2n-1=69n=35Aplicando S.N Nmeros impares

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8. Un mnibus sali de su paradero inicial con 7 pasajeros, y en cada estacin suben 2 pasajeros ms de lo que subieron en la estacin anterior. Si al llegar a su paradero final se contaron con 520 pasajeros. En cuntas estaciones se detuvo el mnibus a recoger pasajeros?Resolucin:

Inicio: 1 2 3 n Final 7 9 11 13 __ 520

Total de pasajeros: 7 +9+11+13++n=520

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9. Un obrero ha ahorrado este mes S/. 178 soles y tiene con esto S/. 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/ 12 ms que el mes anterior. Cunto ahorro el primer mes?Resolucin:

1 2 3 n Mes Mes Mes 1 Mesactual pasado antepasado de ahorro 178 + 166 + 154 + +(190-12n) = 1410

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10. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fsiles prometindole pagar una suma por el primer fsil que encuentre y que luego se le ir duplicando dicha suma paraCada nuevo fsil encontrado. Si encuentra 12 fsiles y recibeS/. 12285 Cunto le pagaron por el octavo fsil encontrado?Resolucin:

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Las sumatorias notables, son sumatorias ya calculadas que nos permiten resolver problemas.

La definicin de sumatoria ayuda en el entendimiento base en problemas de sumatorias.Las propiedades de las sumatorias facilitan en la resolucin de problemas.CONCLUSIONES