La simetría de una molécula se puede describir en términos del conjunto de operaciones de simetría que posee:

El número de operaciones puede ser muy pequeño o muy grande (infinito en el caso de moléculas lineales)

En una molécula, todos los elementos de simetría pasan por un punto en el centro de la estructura

Por eso la simetría de las moléculas se denomina

simetría de grupo puntualsimetría de grupo puntual

Es frecuente que coexistan EJES DE ROTACION del mismo orden en una molécula pero que geométricamente

no sean equivalentes.

XeF4:

(1) C4

(5) C2

Al eje binario colineal con el eje principal no se le añade ninguna identificación adicional.

Se suele añadir una ( ‘ ) para los ejes que pasan por un mayor número de átomos.

Dobles comillas para los que pasan por un número menor de átomos

Los ejes de orden par implican la presencia de ejes demenor orden:- Un eje de orden 4 implica la necesaria coexistencia de otro de orden 2- Un eje de orden 6 implica la necesaria coexistencia de uno de orden 3 y otro de orden 2.

Operaciones generadas por un CnOperaciones generadas por un Cn

Las operaciones que son geométricamente equivalentes seagrupan en clases de operaciones.

En las TABLAS DE CARACTERES aparecen agrupadas por clases. El coeficiente numérico indica cuántas operaciones genuinas

contiene

Planos de ReflexiónPlanos de ReflexiónEn una molécula cuadrada plana podemos identificar 3 planos de

reflexión geométricamente no equivalentes:

σh: Plano de simetría horizontal Se sitúa perpendicularmente al eje de rotación propia principal

σv: Plano de simetría vertical Plano que contiene al eje de rotación principal. Se reserva para los planos que atraviesan el mayor número de átomos o para los que contienen a los ejes cartesianos de referencia

σd: Plano diédrico (tipo especial de plano vertical) Plano que biseca el ángulo diédrico determinado por el eje de rotación principal y dos ejes binarios perpendiculares adyacentes al eje principal

XeF F

FF F F

FFXe

σδ

ΞεΦ Φ

ΦΦση σϖ

InversiónInversión

Eje de rotación impropia Snm

Compuesta por rotación-reflexión

El orden con que se llevan a cabo estas dos operaciones es indiferente dado que las operaciones de rotación y de reflexión conmutan.

Snm = Cn·σ = σ·Cn

Coexistencia de SCoexistencia de Snn con C con Cnn y y σσ

Si existe un SSi existe un Snn: el eje C: el eje Cnn y y σσ no tienen porqué ser no tienen porqué ser necesariamente elementos de simetría de la moléculanecesariamente elementos de simetría de la molécula

Ej. Tetraedro (SEj. Tetraedro (S44))

Si existe un eje SSi existe un eje Snn con n par entonces existe un eje C con n par entonces existe un eje Cn/2n/2 colineal con él colineal con él

Ej. EtanoEj. Etano Si exíste un eje SSi exíste un eje Snn con n impar entonces existen C con n impar entonces existen Cnn y y σσhh

Ej. EtanoEj. Etano Si exístenSi exísten CCnn y y σσ (perpendicular) entonces (perpendicular) entonces

necesariamente existe un Snnecesariamente existe un SnEj. Molécula cuadrado planarEj. Molécula cuadrado planar

Operaciones generadas por un eje SnOperaciones generadas por un eje Sn SS11 σσhh

SS22 i i

SSnn n > 2 n > 2 Si Si n es parn es par S Snnn n = E= E

Si Si n es imparn es impar S Snnn n = = σσhh y S y Snn

2n 2n = E= E

Si Si m es parm es par S Snnm m = C= Cnn

m m (si m<n) y (si m<n) y

SSnnm m = C= Cnn

m-nm-n (si m>n) (si m>n)

Si Si m es imparm es impar S Snnm m = C= Cnn

mm σσh h

EE, , σσ, , ii,, Una única operación de simetría Una única operación de simetría

CCnn, S, Snn varias operaciones varias operaciones

Algunas operaciones generadas tienen el mismo efecto Algunas operaciones generadas tienen el mismo efecto que las generadas por otro elemento de simetría, se que las generadas por otro elemento de simetría, se

cuenta la más sencillacuenta la más sencilla

CC4422 =C =C22 Solo se cuenta C Solo se cuenta C22

Dos operaciones de simetría aplicadas sucesivamente Dos operaciones de simetría aplicadas sucesivamente dan otra operación de simetría diferentedan otra operación de simetría diferente

GrupoGrupo

Elementos relacionados entre sí mediante ciertas reglas. Elementos relacionados entre sí mediante ciertas reglas. Pueden ser Pueden ser finitos o infinitosfinitos o infinitos

El agrupamiento de todos los elementos de simetría El agrupamiento de todos los elementos de simetría presentes en una molécula, junto con la presentes en una molécula, junto con la identidad, identidad, se se conoce como :conoce como : GRUPO DE SIMETRIAGRUPO DE SIMETRIA O también como O también como GRUPO PUNTUAL DE SIMETRIAGRUPO PUNTUAL DE SIMETRIA

Varias propiedades de las moléculas se pueden predecir Varias propiedades de las moléculas se pueden predecir empleando la teoría de grupos.empleando la teoría de grupos.

En sentido matemático, un grupo es un conjunto de En sentido matemático, un grupo es un conjunto de operaciones que cumplen las siguientes reglas:operaciones que cumplen las siguientes reglas:

1.1. El producto de dos operaciones cualquiera debe ser una El producto de dos operaciones cualquiera debe ser una operación del grupo.operación del grupo. (Se dice que un grupo es cerrado (Se dice que un grupo es cerrado respecto a la multiplicación).respecto a la multiplicación).

2.2. Cada grupo debe tener la operación identidad, ECada grupo debe tener la operación identidad, E, ya que , ya que el producto de una operación y su inversa es la el producto de una operación y su inversa es la identidad.identidad.

3.3. Cada operación debe tener su inversaCada operación debe tener su inversa4.4. Todas las operaciones del grupo deben ser asociativasTodas las operaciones del grupo deben ser asociativas

(AB)C = A(BC) (AB)C = A(BC)5.5. Si presentan la propiedad conmutativa se dice que el Si presentan la propiedad conmutativa se dice que el

grupo es abelianogrupo es abeliano.

C∞vD∞h i C5i

Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales

GRUPOS INFINITOS

Tienen un número infinito de elementos:Moléculas lineales con o sin centro de simetría

H C N

oo σϖ

Χ οο

Grupo C∞v

No tiene centro de simetría

O C O

σϖοο

σϖ

ι

οοΧ

οο Χ2

Grupo D∞hTiene centro de simetría

GRUPOS INFINITOS

GRUPOS ESPECIALES

Grupos puntuales cúbicos: tetraedro, octaedro e icosaedro

1.- Tetraedro

C

H

HH

H

C3

4 ejes C3

3 ejes C2C2

C2

C2 S4

S4

S4 3 ejes S4

σds d6

Grupo Td

17 elementos de simetría (contando E)

24 operaciones de simetría

2.- Octaedro

C3

4 ejes C3

3 ejes C2

C2

2 ejes C2

C2

C2

4

C4

C4

C4

3 ejes C4

3 ejes C2 (C42)

C2

C2

C2

i

centro de inversi� n

S4

S4

S4

3 ejes S4

4 ejes S6

S63 planos σ

2 planos σδ 4 πλανοσ σδ

Grupo Oh

34 elementos de simetría (contando E)

48 operaciones de simetría

3.- Icosaedro

Grupo Ih

120 operaciones de simetría (contando E)[B12H12]2-

Un eje S2n coincidente con el eje Cn, da origen al grupo puntual S2n

(PNCl2)4

PN

Cl

NP

P

N

N

P

Cl

Cl

Cl

Cl

Cl

ClCl

N N

P P

N

P

N

P

(-)

(+)

(+)

(-)

(-)

(+)

(+)

(-)

es decireje S4

grupo S4

OTROS GRUPOS

La molécula de mínima simetría posee únicamente la operación identidad que puede considerarse también como una rotación de 360º es decir C1

C

FCl

H

Br

Grupo C1

Existen dos grupos que poseen un solo elemento de simetría además de la identidad.

Si el elemento adicional es un plano de simetría el grupo es Cs, si es un centro de simetría el grupo es Ci

S

Br F

O O

σ

Χ Χ

Βρ

Βρ

Η Η

Χλ

Χλ

ι

grupo Cs grupo Ci

Si se añade al eje Cn un plano horizontal de simetría se obtiene el grupo Cnh

N N

F

F

ση

Χ2

ΒΗΟ

ΗΟΟΗ

ση

Χ3

grupo C2h grupo C3h

Si se añade un plano vertical de simetría se obtiene el grupo Cnv

C2

....H H

O

σϖσv(2)

s v(3)

s v(1)

C3

H3

H2H1

N

grupo C2v grupo C3v

Si la molécula posee solo un eje Cn además de la identidad pertenece al grupo puntual Cn

H2O2

OO

H

H111.5¼

94.8¼

C2

Grupo C2

La adición de un eje de orden n que forme ángulo recto con el eje Cn de un sistema Cn conduce al grupo puntual Dn

C C

H H

H

H

H

H

conformacii n gauche

C3

C2

grupo D3

Si al grupo Dn se añaden planos que contengan al eje Cn (eje de mayor orden) y dividen en ángulos iguales a los ángulos existentes entre los C2’ (planos diedrales) el grupo obtenido es Dnd

H

H

H

H

H

H

CC C3

σδ

σδ

σδ

Χ

ΗΗ

Η

ΗΗ

Η

Χ2∋

Χ2∋

Χ2∋

CH3-CH3 intercalado. Grupo D3d

Los últimos de los grupos que pueden encajarse en este esquema son los formados por la adición de un plano horizontal a los elementos del grupo Dn , dando los grupos Dnh.

C CH H

HH

ση

Χ2

Χ2∋

grupo D2h

C OO

OC2

C2

C2

C3

ση

grupo D3h

C6 y C 2''

C2'

C2

C2'

ση

grupo D6h

CLASIFICACIÓN DE UN GRUPO

1.- Determinar si la molécula es lineal o si pertenece a un grupo altamente simétrico (Td, Oh, Ih). Si no es así pasar a 2

2.- Hallar el eje de rotación propia de orden superior (Cn). En ausencia de tal eje buscar:

(a) un plano de simetría (Cs) (b) un centro de simetría (Ci) (c) ningún elemento de simetría en absoluto (C1)

CLASIFICACIÓN DE UN GRUPO

3.- Si se encuentra un eje Cn, buscar un conjunto de n ejes C2 perpendiculares al mismo. Si estos se encuentran seguir con 4. Si no existen buscar:

(a) un plano horizontal (Cnh) (b) n planos verticales (Cnv) (c) un eje S2n coincidente con el Cn (S2n) (d) ningún plano de simetría ni otros ejes de simetría (Cn)

4.- Si existe un eje Cn y n ejes C2 perpendiculares buscar la presencia de:

(a) un plano horizontal (Dnh) (b) n planos verticales y ningún plano horizontal (Dnd) (c) ningún plano de simetría (Dn)