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Interpretación de textos matemáticos
Mabel Rodríguez Universidad Nacional de General
Sarmiento
JORNADA DE MATEMATICA
ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA:
UN DESAFÍO CONSTANTE
El plan para el taller
Importancia de enseñar a interpretar textos en la formación docenteUn primer ejercicioAlgunas cuestiones teóricasUn segundo ejercicioCierre
La importancia de enseñar a interpretar textos matemáticos
Una meta de la formación superior: autonomía del estudiante
¿Qué incluye la “autonomía”?Estudiar / Integrar / Resolver problemas /
Crear / Aplicar / …
Agregamos:Interpretar un texto matemático
sea de contenido conocido o desconocido
¿Qué observamos ante la lectura de un texto
matemático?
repiten enunciados, definiciones o demostraciones sin manifestar que interpretan ni que comprenden.
Poder “leer los símbolos” parece ser suficiente indicador, para los estudiantes, de estar comprendiendo.
Algunos ejemplos preocupantes Formación de Profesores de Matemática
Asignatura de Educación MatemáticaPrevio a cuestiones didácticas, se pide: Desarrollo matemático de un contenido
(distintos contenidos en todo el curso)
Ejemplos (2013) Consigna: hacer un desarrollo matemático
de un tema dado
Características:- diversidad de temas, muchos de los cuales eran
desconocidos- obligatoriedad de uso de textos de nivel
superior- el texto debe evidenciar comprensión de parte
del autor
Entregas de un alumno (puntos notables de un
triángulo)Definiciones:1.1 Se llama mediatriz al punto medio del
segmento de la recta. 1.2 Se llama circuncentro de un triángulo a
la intersección O de las mediatrices de sus lados.
Teorema. Las tres mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes en el circuncentro del triángulo.
?
¿Qué dice 1.2?
Definición2.1 La bisectriz del ángulo ABC es el lugar
geométrico de los puntos P en el interior del ángulo que son equidistantes de los lados del ángulo.
Demostración: Se debe recordar que la distancia de un punto a una recta se mide perpendicularmente. Si P está en el interior del triángulo ABC como en la figura 1, se trazan las perpendiculares PX y PY a las rectas AC y CB. Decir que P es equidistante de los lados del ángulo, por tanto, es lo mismo que decir que PX=PY, y nuestra tarea es demostrar que esto ocurre si y solo si P está en la bisectriz…. SIGUE
¿Demostración de una definición…?
Otro alumno (sucesiones numéricas)
Definición: Las sucesiones son funciones an = f(n) valores reales donde la variable independiente toma solo valores naturales. Es decir an: N R pues si
n = k, ak = f(k).
Ejemplo:Si an = 1/n, es an = {1, ½, 1/3, …, 1/n}
??
En la devolución…
Sorpresadesconcierto
Se ratifica este riesgo
Leer símbolos nos hace creer que comprenden
Al enseñar, esperamos que
nuestros alumnos “lean símbolos”No advertimos
que no comprenden
Una primera consigna de trabajo
Una primera consigna - Encuadre
Reflexionar sobre cómo interpretamos un texto matemático (mirada matemática)
Reflexionar sobre cómo enseñamos a estudiantes a interpretar un texto matemático
Proponemos un escrito y pedimos:
Leer el escrito Explicar qué significa ese escrito Reflexionar sobre cómo nos manejamos
para interpretar un escrito
Ejemplo 1:Propiedad:
a, b R, a = b > 0, |a – b|< Dem. ) inmediato) si a b, podemos suponer sin pérdida de
generalidad que a > b. Sea a – b > 0. Por hipótesis |a – b|< a – b lo que es absurdo.◊
Algunas cuestiones teóricas
Enfoque teórico
Registros de representación semiótica Asignar y extraer significado Lenguajes interpretación de un texto como una
“habilidad matemática”. Decisión sobre el encuadre teórico:
Enfoque Cognitivo
ESCUELA ANGLOSAJONA(Polya – Schoenfeld)
ENFOQUE COGNITIVISTA
Pensamiento Matemático Avanzado (Tall – Vinner)
Teoría de los Campos Conceptuales
(Vergnaud)
Teoría APOS (Dubinsky)
Teoría Antropológica de lo Didáctico
(Chevallard)
ESCUELAFRANCESA
Teoría de Situaciones(Brousseau)
Ingeniería Didáctica(Artigue)
…
EDUCACIÓNMATEMÁTICA
CONSTRUCTIVISMORADICAL
(Von Glasersfeld)
SOCIOEPISTEMOLOGÍA(Cantoral – Farfán)
EDUCACIÓNMATEMÁTICA
CRÍTICA(Skovsmose)
EDUCACIÓNMATEMÁTICA
REALISTA(Freudenthal)
ENFOQUEONTOSEMIÓTICO
(Godino- Batanero - Font)
ETNOMATEMÁTICA(D’Ambrosio)
SOCIO-CONSTRUCTIVISMO
(Ernest)
EPISTEMOLOGÍA GENÉTICA(Ortiz Hurtado)
SIMBÓLICO
VERBAL O COLOQUIAL
NUMÉRICO
GRÁFICO
CONVERSION
OBJETO vs.
REPRESENTACIÓN
ASIGNAR SIGNIFICADO
EXTRAER SIGNIFICADO
Registros de representación semiótica
En la elección de registros
Dada f: R R, f(x) = 2x + 1, hacer una tabla y graficar
Se revierte fácilmente…
Ejemplos de “circuitos privilegiados”
f: R R, f(x) = 2x + 1x f(x)0 1
1 3
Características de la conversión. Ejemplo anterior. ¿SE CONSERVA
LA INFORMACIÓN?
¿SE CONSERVA LA
INFORMACIÓN?
¿SE CONSERVA LA
INFORMACIÓN?
Características de la conversión
11
3
c R, n N / n c
El conjunto de los números naturales es no acotado
Ejemplo de extraer significado
Dos números reales son iguales si la distancia entre ellos puede hacerse arbitrariamente chica.
Sean a, b R.∀ Ɛ > 0, ∣a – b∣< Ɛ a = b
Ejemplo de asignar significado
Intención de comunicación Se da/usa entre partes Hay mensajes a transmitir y recibir. Hay símbolos y acuerdos, en una
comunidad, de sus significados según el contexto de uso
No basta leer símbolos No basta la interpretación “local”
Lenguajes
Volvamos con esto a la “interpretación de textos
matemáticos”
¿Cómo encarar la interpretación de un texto?
El segundo nivel de control incluye, para cada contenido con el que se trabaje:
(a) reconocer la estructura del texto (identifica secciones)
(b) identificar las distintas finalidades de las secciones
(c) según la finalidad identificada, particulariza cómo encarar la interpretación.
¿-presenta una definición, -ejemplifica
-y muestra aplicaciones?
¿-discute sobre una nociónsin definirla,
-ahonda en precisiones y -finalmente presenta una definición?
etc.
¿demuestra un resultado?¿comunica sólo el enunciado? Y lo explica
¿explica un procedimiento?¿esboza la idea de una demostración?
¿muestra una aplicación?¿exhibe un procedimiento?¿define un concepto nuevo?
etc.Detallamos estoen breve
Pensemos cómo enseñar esto… ¿qué hacemos nosotros cuando queremos
interpretar la demostración de un resultado?
¿y cuando queremos interpretar una parte de un libro?
Para una demostración Expresar oralmente qué dice el resultado Reconocer cuáles son los datos con los
que se cuenta y a dónde se debe llegar Realizar una mirada global de la
demostración. Poder expresar cómo es el plan para demostrar.
Entender “cada paso” que está explicado / completar las explicaciones que faltan (mirada local)
¿Cómo enseñar esto?Pista…. “de lo global a lo
particular” Realizar una mirada global del texto,
identificar “secciones” Identificar qué pretende el autor en cada
sección. Expresarlo oralmente Adentro de cada sección hay que empezar
de nuevo de lo global a lo particular: Eso que pretende, ¿cómo lo hace? detalles
Algo no muy usual en alumnosIncorporar como algo “natural”:
Se necesita leer varias veces Con distintas “lupas” Se necesita “poder decir” No poder explicar o comunicar es señal de “falta comprensión”
Un segundo ejercicio
Consigna 1: Identificar “secciones” dentro esa parte y “la finalidad que cada una persigue” (no necesariamente estén identificadas como tales)
Consigna 2: Para cada “sección” (excepto la demostración) hacer un escrito en el que retomes lo que ahí se trabaja, explicando lo matemático, ampliando, completando, corrigiendo si es necesario, etc.
Consigna 3: reescribir la demostración atendiendo a las siguiente pautas
Expresar en lenguaje natural el resultado Reconocer datos y meta Expresar cuál es el plan que usó el autor Completar cada paso, explicando lo que
falte
Consigna 4: Te invitamos a hacer una reflexión en la que pienses sobre: ¿cómo solés hacer (hiciste) para interpretar el texto?, si tuvieras que explicar ese texto, ¿qué tendrías en cuenta?, ¿qué aporte te llevás sobre lo trabajado para tu tarea docente usual?
Presenta el tema con
un problema
Resuelve
Dice que “se aprecia” que son rectas paralelas y que tener la
misma pendiente es
la causa. Define
Da un ejemplo
Dice que “se aprecia la
perpendicularidad en el gráfico, “es
decir” que se intersecan a 90º
Demuestra que son
perpendiculares
?
Instrumento para evaluar el desarrollo de la habilidad
Un rubric
Coherente con evaluar “proceso de aprendizaje” y no resultados
HMG: Interpretar un texto matemático
NIVEL MENOS DESARROLLADO NIVEL INTERMEDIO NIVEL DE MAYOR
DESARROLLO
Operativización de la habilidad
INDICADORES DEL SEGUNDO NIVEL DE CONTROL:Identifica secciones del texto
No analiza globalmente el texto para identificar
secciones y sus particularidades
Identifica las secciones del texto a medida que las
lee. No repara previamente en la estructura general.
Reconoce que primero identificará las distintas
secciones del texto
INDICADORES OPERATIVOS
Lee ingenuamente el texto, considera que “leer
los símbolos” y reproducirlos es
interpretar
Reconoce que leer una definición, o un ejemplo,
etc. sin advertir cómo está organizado el texto
Menciona la organización general del
texto
INDICADORES DEL SEGUNDO NIVEL DE CONTROL: Identificar las finalidades de las secciones del texto
No se plantea reconocer qué
finalidad persigue cada sección
Reconoce la finalidad de las secciones
cuando está explicitada en el texto y cuando no está, no
lo hace.
Tiene claro que debe entender qué es lo
que en cada sección se intenta comunicar
INDICADORES
OPERATIVOS
Lee el texto, sin previo análisis
Anticipa que se encontrará con una
definición o propiedad cuando el texto lo
explicita
Es capaz de expresar si el texto intenta demostrar, ejemplificar, etc.
INDICADORES DEL SEGUNDO NIVEL DE CONTROL: Para cada finalidad, encara su interpretación
No advierte que ante cada finalidad, el texto tendrá características
diferentes
Con algunas finalidades, es capaz
de anticipar las características
esperables
Identifica las características
esperables en el texto, según la finalidad de la
sección
INDICADORES
OPERATIVOS
Lee el texto, sin previo análisis
Reconoce que el texto persigue cierta
finalidad y en alguna anticipa, previo a la
lectura, las características
esperables
Explica claramente cómo son las
características de cada sección, según
su finalidad.
Cierre
En primer lugar
¿Enseñamos a interpretar un texto matemático?
Propiedad: a, b R, a = b > 0, |a – b|<
Dem. ) inmediato) si a b, podemos suponer sin pérdida de
generalidad que a > b. Sea a – b > 0. Por hipótesis |a – b|< a – b lo que es absurdo.◊
¿Qué hacemos
en el aula?
Ejemplo 2: en un libro encontramos…
Terminamos esta sección, mencionando que resulta evidente, y por eso no lo demostramos aquí, que vale que el conjunto de los números naturales es no acotado.
Queda como tarea para el lector dejar expresada esta propiedad en símbolos. La misma se llama Principio de Arquímedes.
Y en este caso, ¿qué hacemos
en el aula?
¿Cómo llega un alumno del texto a esto?
c R, n N / n c
Empecemos de a poco…
¡¡pero empecemos!!
Mucho para pensar
Un tercer ejercicio
Propiedad: IDem: supongamos que = p/q para p, q
naturales co-primosEntonces 2 = p2/q2. Luego2. q2 = p2 de donde p2 es par
por lo que p es par. Así, p = 2.n (n N), por lo que 2. q2 = (2n)2 2. q2 = 4n2
q2 = 2n2 de donde q es par. Absurdo
2
2
Miradaglobal
Miradalocal
Mirada local Poder responder: ¿por qué vale? ¿Qué significa? ¿Cómo llegó acá?
