Centro de Enseñanza Técnica IndustrialRegistro: 12310146Nombre del Alumno: Rubén Israel García Villagómez20 de Mayo de 2013

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Integración antes del calculo

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto

Donde se demuestra que ya se conocía

una fórmula para calcular el

volumen de un tronco piramidal

1800 A.C.

Siglo XVIII

Formalización de las

integrales

Newton y LeibrizLos principales adelantos en

integración vinieron en el siglo XVII con el descubrimiento

del teorema fundamental del

cálculo.

El teorema fundamental del cálculo permite

resolver una clase más amplia de

problemas.

El teorema demuestra una

conexión entre la integración y la

derivación.

Siglo XVIII

Para indicar summa (en

latin; suma o total), adopto

el simbolo de la integral “ ʃ ”

La notación moderna de las

integrales indefinidas fue presentada por

Gottfried Leibriz en 1675

El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de

los límites

Notación

Historia del Calculo Integral

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original.Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

La integral definidaConsideremos una curva situada sobre el eje X que representa la gráfica de la función con ecuacion y = f(x).Se desea encontrar el área S de la superficie limitada por la curva con ecuación y = f(x), el eje X y las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Para tal efecto, dividimos el intervalo [a; b] en n partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuación:

Denotamos con x1 la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con x2 y así sucesivamente hasta la ultima xn. En cada parte elegimos puntos r1; r2; …rn, de tal forma que f(r1).x1 nos da el área del primer rectángulo, (x1, es la base y f(r1) la altura), f(r2) x2 da el área del segundo rectángulo y por lo tanto f(rn) .xn da el área del enesimo rectángulo. Luego se tiene que:Sn = f(r1) .x1 + f(r2) .x2 + … + f(rn) .xnes la suma de las áreas de los rectangulos de la figura anterior.

Integral indefinidaIntegral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee : integral de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:∫ f(x) dx = F(x) + CPara comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida•La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx•La integral del producto de una constante por una función es igual a laconstante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

La suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Se verifica:

Estas propiedades son consecuencia de la linealidad de la derivación:

Utilizando la propiedad de linealidad de la integral indefinida y las primitivas de funciones sencillas podemos calcular la siguiente integral:

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

1) donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para más de dos funciones)3) Si x está definida para x = a entonces = 0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces

5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces

Teorema de existencia

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica:El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].Quizá sea interesante hacer varias observaciones:1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.

FUNCION PRIMITIVA

Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original

ejemplo:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

METODOS DE INTEGRACION

1. Integración por partes

2. Integrales racionales

3. Integración por sustitución o cambio de variable

4. Integrales trigonométricas

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Integración por partes

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Integrales racionales

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical: