Tarea 2Geometrıa Analıtica II - Semestre 2015-2

1. Dados los siguientes datos, encuentre la ecuacion general de la conicacorrespondiente (Notacion: F se refiere a un foco, V es un vertice, e serefiere a la excentricidad y d es una directriz).

(a) F1 = (0, 2), F2 = (2, 2), e = 12 .

(b) F1 = (0, 1), F2 = (0, 5), V1 = (0, −1).

(c) F = (2, 3), d → x = 12 , e = 1

2 .

(d) F = (2, 4), d → x = 0.

(e) V = (3, 2), d → x = 2.

(f) F = (1, 3), V =(− 1

2 , 3).

(g) F1 = (2, 2), V1 = (1, 2), e = 2.

(h) F1 = (1, 0), F2 = (1, 4), V1 = (1, 1).

(i) F1 = (2, 2), F2 = (6, 0), e = 32 .

(j) F = (3, 1), d → y = 52 , e = 2.

2. Dadas las siguientes ecuaciones, calcular los focos, directrices, vertices ycentro de cada una de las conicas correspondientes. Grafique.

(a) 3x2 + 4y2 + 12x − 24y + 36 = 0

(b) 4x2 + 3y2 − 32x − 12y + 64 = 0

(c) x2 − 4x − 4y + 16 = 0

(d) y2 + 8x − 4y + 12 = 0

(e) −3x2 + y2 + 12x − 2y − 8 = 0

(f) x2 − 8y2 + 6x + 17 = 0

3. Demuestre que si se ubica el eje focal en el eje Y y el centro o el verticesigue estando en el origen, las ecuaciones canonicas tienen la forma

y2

a2+x2

b2= 1, x2 = 4py,

y2

a2− x2

b2= 1.

4. Demuestre que los puntos P ∈ R2 de coordenadas (a cos θ, b sen θ)pertenecen a una elipse en posicion canonica, cuyos semiejes mayor ymenor miden, respectivamente, a y b.

5. Por traslacion de ejes remueva los terminos de primer grado en

a) 2xy − x − y + 4 = 0

b) x2 + 2xy + 3y2 + 2x − 4y − 1 = 0

6. Cada una de las siguientes es la ecuacion de una conica. Determine lanaturaleza de cada una.

1

(a) 3x2 + 6xy − 2y2 + 4x − 3y + 20 = 0.

(b) 41x2 − 84xy + 76y2 + 168 = 0.

(c) 2x2 + 2xy + 5y2 − 2x − 9 = 0.

(d) 16x2 + 24xy + 9y2 − 30x + 40y = 0.

(e) 4x2 + 4y2 − 48x − 8y + 123 = 0.

(f) 4x2 + 4xy + 6x − 5y + 8 = 0.

(g) xy + x − 2y + 3 = 0.

(h) x2 − 4xy + 4y2 − 4 = 0.

(i) 3x2 + 6xy + 3y2 + 15x − 2y + 7 = 0.

7. Transforme la ecuacion de cada una de las siguientes conicas, rotando losejes de acuerdo al angulo que se especifica.

(a) x2 − y2 = a2, ϕ = −π4 .

(b) −3x2 + y2 + 24x − 36 = 0, ϕ = π3 .

(c) 4x2 + 3y2 + 32x − 12y + 64 = 0, ϕ = 2π3 .

(d) x2 − 4x − 4y + 4 = 0, ϕ = π4 .

(e) x2 − 8y2 − 2x + 40y − 47 = 0, ϕ = −π4 .

(f) 5x2 + 9y2 − 60x − 18y + 144 = 0, ϕ = π6 .

8. Sea C una conica (elipse o hiperbola) con elementos C = (h, k), V1 =(h + a, k), V2 = (h − a, k), F1 = (h + c, k), F2 = (h − c, k),

d1 → x = h + a2

c y d2 → x = h − a2

c . Si se aplica una rotacionde magnitud ϕ a la conica C y se obtiene una nueva conica C′, ¿cualesserıan el centro, vertices, focos y directrices de C′?

9. Simplifique cada una de las siguientes ecuaciones por medio de una rotaciony traslacion de ejes

a) 2x2 + xy + 2y2 = 90.

b) 2x2 − 5xy + 2y2 = 18.

c) 4x2 − 3xy = 18.

d) 17x2 + 12xy + 8y2 + 46x + 28y + 17 = 0.

e) 386x2 − 720xy − 97y2 + 720x + 194y + 481 = 0.

f) 108x2 − 312xy + 17y2 + 480x − 380y − 100 = 0.

10. En cada caso, encontrar la ecuacion canonica de la conica correspondiente,el angulo de rotacion y grafique cada caso

(a) 7x2 + 4xy + 4y2 − 24 = 0

(b) 2x2 + 4xy − y2 + 6 = 0

(c) 8x2 + 8xy + 2y2 + 2√

5x −√

5 y = 0

2

(d) 7x2 + 6xy + 7y2 − 20 = 0

(e) 9x2 + 4xy + 6y2 − 10 = 0

11. Encuentre la ecuacion de la conica que resulta de intersecar las conicascon ecuaciones

2x2 + xy + 2y2 − 3x + 3y − 5 = 0, x2 − 3x − 2y − 4 = 0

y que pasa por el origen.

12. Dadas las siguientes ecuaciones, determine que tipo de superficie cuadricaes, reduzca a sus respectivas ecuaciones canonicas y grafique.

(a) 9x2 + 4y2 + 36z2 − 36x− 8y − 72z + 40 = 0

(b) x2 − 4y2 − 4z2 + 2x+ 8y + 8z − 11 = 0

(c) x2 − 4y2 + z2 − 2x+ 8y − 4z = 0

(d) 4x2 + 4y2 − 24x− 36y + 36 = 0

(e) x2 + 4y2 − 2x− 8y − 4z + 3 = 0

(f) x2 + 5y2 − 8x+ 12y − 4z + 6 = 0

13. Encontrar la ecuacion general de cada superficie cuadrica.

(a) La esfera con centro en el punto C = (3, 1, 1) y radio r = 2.

(b) El elipsoide con centro en el punto C = (−1, 2, 0) y ejes a = 2, b =3, c = 2.

(c) El hiperboloide de un manto con centro en (1, 1,−2), ejes a =2, b = 2, c = 1 y tal que la hiperbola generadora abre a lo largodel eje X.

(d) El hiperboloide de dos mantoa con centro en (0, 3, 2), ejes a =13 , b = 1, c = 2 y tal que los signos de los coeficientes de losterminos cuadraticos x2, y2 y z2 son, respectivamente −,−,+.

14. Demuestre que cualquier cilindro tiene un numero infinito de planos desimetrıa.

15. Demuestre que la familia de elipsoides cuyo centro es el origen, obtenidaal variar k ≥ 0 en la ecuacion

x2

4+y2

4+z2

9= k

llena el espacio, en el sentido de que cada punto P (x, y, z) ∈ R3 pertenecea uno de esos elipsoides.

16. Haga el analisis de las posibles superficies correspondientes a la ecuacionx2 + 2y2 + 3z2 +Gx+Hy+ Iz+J = 0, dependiendo del signo de G,H, Iy J.

3

17. Encuentre las dos rectas que pasan por el punto P (0, 2,√

3) y contenidasen el hiperboloide de un manto x2 + y2 − z2 = 1.

18. Encuentre las dos rectas que pasan por el punto (2, 2, 0) de la silla demontar x2 − y2 = z, contenidas en ella.

4