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PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 ÁLGEBRA LINEAL
TEMA I: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también
conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto
de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de
primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo1.
Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
Este es un sistema con 3 ecuaciones lineales y 3 incógnitas, donde zyx ,, son las
incógnitas y los números iii cba ,, con 31i son los coeficientes del sistema sobre el
cuerpo de números reales. El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de
las variables yx, y z que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de
señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación
lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales
sobre el cuerpo ,R es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las
ecuaciones son números reales.
1 En álgebra abstracta, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto A
y dos operaciones, llamadas usualmente suma y producto ,,, A de modo que ,A es
un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto
es conmutativo hablaremos de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro
para el producto, lo llamaremos anillo con unidad (a la que designaremos 1) o anillo
unitario. El ejemplo más intuitivo de un anillo es el conjunto de los números enteros.
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA LINEAL
TIPOS DE SISTEMAS
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que
pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
a) Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
b) Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de
soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de
(hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto.
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o
rectas que se cruzan sin cortarse.
Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se
cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión
menor.
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 ÁLGEBRA LINEAL
TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN
1) RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN:
Se efectúan los siguientes pasos:
a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
b) Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
c) Se resuelve la ecuación.
d) El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que
aparecía despejada la otra incógnita.
e) Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Vamos a explicarlo a través de un ejemplo:
Tenemos que resolver el sistema:
1852
2234
yx
yx
Esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales
se conoce su ecuación.
Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un
sistema equivalente (en este caso elegimos y ):
5
2183
422
xy
xy
Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los
segundos también lo son, por lo tanto:
5
218
3
422 xx
Luego:
xx 21834225
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 ÁLGEBRA LINEAL
Esto es:
4
14
56
5614
11054620
65420110
x
x
x
xx
xx
Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la
segunda):
5
4218 y
Operamos para hallar el valor de :y
2
5
10
5
818
y
y
y
Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente :2,4, yx
181082542
226162344
Ahora sí, podemos asegurar que 4x e .2y
Ejercicio: Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando
en las dos ecuaciones.
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 ÁLGEBRA LINEAL
2) RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN:
Se efectúan los siguientes pasos:
a) Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
b) Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una
ecuación con una sola incógnita.
c) Se resuelve la ecuación.
d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita
despejada.
e) Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Vamos a explicarlo a través de un ejemplo:
Tenemos que resolver el sistema:
1852
2234
yx
yx
Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y
en la primera ecuación):
3
422 xy
Y la reemplazamos en la otra ecuación:
183
42252
xx
Operamos para despejar la única variable existente ahora:
183
201102
xx
Esto es:
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 ÁLGEBRA LINEAL
4
14
56
5614
3
11054
3
206
3
11018
3
202
183
20
3
1102
x
x
x
xx
xx
xx
Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos
arbitrariamente la primera):
2
3
6
63
16223
22316
22344
y
y
y
y
y
y
Hallamos la respuesta ,4x ,2y obviamente igual que en el caso anterior.
Nota: No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.
Ejercicio: Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo.
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 ÁLGEBRA LINEAL
3) RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN:
Se efectúan los siguientes pasos:
a) Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
b) La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
c) Se resuelve la ecuación resultante.
d) El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
e) Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Vamos a explicarlo a través de un ejemplo:
Tenemos que resolver el sistema:
1852
2234
yx
yx
El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo
que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.
Nota: También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.
Si se quiere eliminar la ,x ¿por qué número debo multiplicar a la segunda
ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?
La respuesta es -2. Veamos:
2Por 1852
2234
yx
yx
Con lo que obtenemos:
147
36104
2234
-y -
yx
yx
Y la sumamos la primera obteniéndose:
2
7
14
y
y
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 8 ÁLGEBRA LINEAL
Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:
22234 x
Y finalmente hallar el valor de :x
4
4
16
164
6224
2264
x
x
x
x
x
Hallamos la respuesta ,4x ,2y obviamente igual que en el caso anterior.
No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.
Ejercicio: Realice este mismo ejemplo pero eliminando .y
Geométricamente ocurre que:
4) RESOLUCIÓN GRÁFICA:
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema El proceso
de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en
los siguientes pasos:
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 9 ÁLGEBRA LINEAL
Se despeja la incógnita ( y ) en ambas ecuaciones.
Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la
tabla de valores correspondientes.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas ., yx "Sistema compatible determinado".
b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las
respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas.
"Sistema compatible indeterminado".
c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. "Sistema
incompatible".
Ejemplos: Entre Adriana y Carlos tienen 600 Bs, pero Carlos tiene el doble de Bs
que Adriana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
Llamemos " x " al número de Bs de Adriana y " y " al de Carlos.
Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones:
Si los dos tienen 600 lempiras, esto nos proporciona la ecuación .600 yx Si
Carlos tiene el doble de lempiras que Adriana, tendremos que .2xy Ambas ecuaciones
juntas forman el siguiente sistema:
02
600
yx
yx
Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas
ecuaciones y tendremos:
xy
xy
2
600
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 10 ÁLGEBRA LINEAL
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:
x 200 600
600 xy 400 0
x 100 200
xy 2 200 400
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en
los ejes “X” y "Y", podemos ya representar gráficamente:
Descripción de la grafica:
Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto
(200, 400), luego la solución del sistema es 200x e .400y
La respuesta del problema planteado es que:
200x (Adriana)
400y (Carlos)
Ejercicio propuesto: Resuelve por los cuatro métodos anteriores:
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 11 ÁLGEBRA LINEAL
4084
44
1
2
3
yx
yx
Nota: Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se
caracterizan porque el determinante de la matriz de los coeficientes es diferente de cero:
0det odeterminad compatible Sistema A
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello
seguiremos los siguientes pasos:
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer
grado.
2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así
los valores correspondientes de la otra incógnita.
Ejemplo:
7
2522
yx
yx
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para
ello seguiremos los siguientes pasos:
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer
grado.
xy 7
2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 12 ÁLGEBRA LINEAL
25722 xx
3. Se resuelve la ecuación resultante.
0127
024142
02549142
251449
2
2
2
22
= x + - x
= x + - x
= -x + - x
= x + x - + x
Luego, usando la resolvente de la ecuación de segundo grado:
a
cabbx
2
42
Tomando ,12,7,1 cba tenemos que:
2
17
2
17
2
48497
12
1214772
x
De aquí obtenemos:
42
8
2
171
x
32
6
2
172
x
4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así
los valores correspondientes de la otra incógnita.
4373 y = - = y x =
3474 y = - y = x =
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 13 ÁLGEBRA LINEAL
Ejercicios:
1. Resuelve los siguientes sistemas usando los métodos de igualación, sustitución,
reducción, grafico y determinantes:
a)
1034
8
yx
yx b)
1642
643
yx
yx c)
043
132
yx
yx
d)
12
24
52
3
yx
yx
e)
11002016
60
yx
yx f)
234
723
yx
yx
g)
yyx
yx
53
52
3
h) La suma de las edades de 2 niños es 8
años, el triple de uno más el doble del otro
es 23 años” Hacer el sistema y encontrar
las edades de los niños.
2. Resuelve los siguientes usando los métodos (Gauss Simple y la regla de Cramer) :
a)
9432
164
135
zyx
zyx
zyx
b)
1334
423
622
zyx
zyx
zyx
c) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 Bs. por 24 lts. de leche, 6
kg de jamón serrano y 12 lts. de aceite de oliva. Calcular el precio de cada
artículo, sabiendo que 1 lts. de aceite cuesta el triple que 1 lts. de leche y que 1
kg de jamón cuesta igual que 4 lts. de aceite más 4 l de leche.
d) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste
americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30%
del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror
al representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 14 ÁLGEBRA LINEAL
e) Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice
se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las
longitudes de los radios de las circunferencias.
3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a)
12
8
yx
yx b)
17
16922
yx
yx c)
5
122
yx
xyy
d)
111
1311
22
yx
yx
e) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son
esos números?
f) Halla una fracción equivalente a 7
5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen
1184
g) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son
esos números?
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial
Limusa, S. A de C. V. Noriega Editores. México.
Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones
y la programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish
Edition. ISBN-10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015.
https://www.createspace.com/5230822
Grossman S. Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. The McGraw-Hill Companies, Inc.
Sexta Edición. México D. F
Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera
reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.
Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.
Editorial Reverté.
Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F
“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”
Siddhartha