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PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
HISTORIA DE LAS FUNCIONES Y LÍMITES
El concepto de función vino a conocerse en el siglo XVII. En la historia de las matemáticas
se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler, por precisar el concepto de función,
así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo
sus derivadas e integrales.
Antes de Euler, el matemático y filósofo francés René Descartes, mostró en sus trabajos de
geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de variable y función, realizando
una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos
de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones
que las representan. Afirmó:
“Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada
de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o
cantidades constantes”.
También fue el responsable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar
las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. Inventó el método de
los exponentes (como en 2x ) para indicar las potencias de los números. Formuló la regla
(conocida como la ley cartesiana de los signos) para descifrar el número de raíces negativas
y positivas de cualquier ecuación algebraica, término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El termino función fue usado por primera vez
en 1673 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia 2x de la
variable .x
En otro orden de ideas, aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos
XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien,
en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue
conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y
parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.
La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en
los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con
límites. La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida
a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA I
CONCEPTO DE FUNCIÓN (REAL DE VARIABLE REAL)
Una función es una relación entre dos variables, x e .y A cada valor de la x (variable
independiente) le corresponde un único valor de y (variable dependiente). La función se
represente gráficamente sobre los ejes cartesianos. Según alas graficas de la figura:
Representaciones graficas de relaciones.
La primera gráfica corresponde a una función: a cada valor de x le corresponde un único
valor de .y La segunda gráfica no es de una función: Hay valores de x que les
corresponde más de un .y
Las funciones describen fenómenos mediante las relaciones entre las variables que
intervienen. Observando la gráfica de una función podemos comprender cómo evoluciona
el fenómeno que en ella se describe.
Así, tenemos más formalmente que:
“Una función es el conjunto de pares ordenados de número reales yx, en los
cuales dos pares ordenados distintos no tienen el mismo primer número. El conjunto de
todos los valores permisibles de x es llamado dominio de la función ( fD ), y el conjunto
de todos los valores resultantes de y se conoce como rango o recorrido ( fR ) de la
función”.
Por ejemplo, podemos notar existe una relación: Es un conjunto de pares ordenados que
están formadas por un elemento del primer conjunto (salida), y un elemento del segundo
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA I
conjunto (llegada). Destacando que este concepto de relación implica la idea de
correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.
Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una
relación, la cual no necesariamente es una función como veremos en los ejemplos:
a) La ecuación de la recta:
La ecuación punto-pendiente de la recta
está definida por la relación:
13 xy
Y notamos que para cada valor de x
existe uno y solo un valor de ,y por
tanto es una función que por su
característica la definimos más adelante.
b) La ecuación de una circunferencia:
La ecuación de la circunferencia centrada en
0,0C y radio 3r está definida por la relación:
922 yx
Y notamos que para cada valor de x distinto de
3,-3, existen dos valores de ,y por ejemplo para
,2x tenemos que ,92 22 y es decir
54994 222 yyy o bien
5y y por tanto no es una función, pero de
ella podemos obtener dos funciones despejando la
variable dependiente, por ejemplo:
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA I
De la relación 922 yx despejamos la
variable y y obtenemos en este caso la
parte positiva: .9 2
1 xy
De la relación 922 yx despejamos la
variable y y obtenemos en este caso la
parte negativa: .9 2
2 xy
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen.
RxfRxfDom /
RANGO DE UNA FUNCIÓN
Sea xfyx
RRDf
: una función, se denomina rango o recorrido de una función
al conjunto de los valores reales que toma la variable y o .xf En forma de conjunto:
xfyDomfxRyfRg :/
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA I
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos yx, cuando x varía
en el dominio .D
D / x xx, f =fGráfica
FUNCIÓN POLINÓMICA
En matemáticas, se tiene que una función polinómica es una función asociada a
un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).
Formalmente, es una función:
xPxf :
Donde xP es un polinomio definido para todo número real ;x es decir, una suma finita
de potencias de x multiplicados por coeficientes reales, de la forma:
NnxaxaxaxaxaxP n
n
n
n
n
i
i
i
,1
1
1
1
0
0
0
Debemos tomar en cuenta que los exponentes deben ser naturales puesto que la expresión
,322
123 2345 xxxx no es un polinomio pues el exponente -3 es entero.
Otra definición: Si xP es un polinomio en la variable x entonces decimos que esta es
una función polinomial RRP : que asigna a cada punto Rx el valor .RxP
FUNCIONES POLINÓMICAS BÁSICAS
Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA I
GRADO NOMBRE EXPRESIÓN
0 Función constante ay
1 Función lineal baxy es un binomio del primer grado
2 Función cuadrática cbxaxy 2 es un trinomio del segundo grado
3 Función cúbica dcxbxaxy 23
es un cuatrinomio de
tercer grado
Dominios de diversas funciones:
Función Constante: ,kxf con Rk una constante.
,: RfDom
Función Identidad: .xxf
,: RfDom
Función lineal: ,kxxf con Rk una constante.
,: RfDom
Función lineal en general: ,bmxxf con m la pendiente de la recta y b el
punto de corte de la recta en el eje .Y
,: RfDom
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 7 MATERIA: MATEMÁTICA I
Función Cuadrática: .2 cbxaxxf
,: RfDom
Función Polinómica: Nnxaxaxaxaxf n
n
n
n
,1
1
1
1
0
0
,: RfDom
FUNCIÓN RACIONAL
Una función racional se forma con el cociente de dos funciones polinómicas:
xQ
xPxf
El dominio de una función racional está formado por todos los elementos que tienen
imagen o cuya imagen es real.
0/
0/
/
/
xQRxRfDom
xQRxfDom
RxQ
xPRxfDom
RxfRxfDom
Esto es, para hallar el dominio de una función racional hallamos los valores para los cuales
el divisor es diferente de cero.
Por ejemplo: Hallar el dominio de la función .1
32
x
xxf
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 8 MATERIA: MATEMÁTICA I
Llamemos 32 xxP y ,1 xxQ luego notemos que:
.1010 xxxQ
Por tanto: 1 RfDom
Otro ejemplo: Hallar el dominio de la función .65
12
2
xx
xxf
Llamemos 12 xxP y ,652 xxxQ luego notemos que:
.0320650 2 xxxxxQ
Factorizando, tomando en cuenta que: 532 y .632
Luego:
32
0302032
xx
xxxx
Por tanto:
3,2 RfDom
NOTA: Para factorizar la ecuación de segundo grado se puede usar el resolvente cuadrático
o Ruffini.
EJERCICIOS: Hallar los dominios de las funciones:
.53
672
x
xxxf
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 9 MATERIA: MATEMÁTICA I
.1
672
2
x
xxxf
.652
6723
2
xxx
xxxg
.1
673
2
x
xxxf
FUNCIÓN RADICAL
Una función radical se forma cuando la cantidad subradical de la función es un polinomio e
inclusive un cociente de dos funciones polinómicas:
n xPxf
n
xQ
xPxf
El dominio de una función racional está formado por todos los elementos que tienen
imagen o cuya imagen es real.
DOMINIO DE LA FUNCIÓN RADICAL DE ÍNDICE PAR
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o
igual que cero.
Por ejemplo, sea 652 xxxf
Notemos que:
.0320652 xxxx
Factorizando, tomando en cuenta que:
532 y .632
Luego:
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 10 MATERIA: MATEMÁTICA I
32 32
0302 0302032
2 Caso 1 Caso
xxxx
xxxxxx
Geométricamente:
Por tanto:
,32, fDom
DOMINIO DE LA FUNCIÓN RADICAL DE ÍNDICE IMPAR
El dominio es R o un subconjunto de este de acuerdo con la función que este en la cantidad
subradical.
Por ejemplo, para la función 3 2 65 xxxf se tiene que el dominio es:
RfDom
Mientras que para la función 32 65
xx
xxg tenemos que el dominio es, de
acuerdo con la factorización del ejemplo anterior: 3,2 RfDom
EJERCICIOS: Hallar los dominios de las funciones:
57 xxf
56152 xxxg
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 11 MATERIA: MATEMÁTICA I
5 2 5615 xxxh
.53
672
x
xxxi
.1
672
2
x
xxxj
.652 23 xxxxk
ALGEBRA DE FUNCIONES Y SUS DOMINIOS
Suma y Diferencia de Funciones: xgxfxgf
gDomfDomgfDom
Producto de Funciones: xgxfxgf
gDomfDomgfDom
Cociente de Funciones:
,xg
xfx
g
f
.0xg
0/
xggDomxgDomfDom
g
fDom
Composición de Funciones: Dos funciones Y f:X y ,Zg:Y donde
la imagen de f está contenida en el dominio de ,g se define la función
composición Zxfg : como ,xfgxfg para todos los elementos
de .X
El dominio de fg es:
Dom gxDom f y fR | xx = fgDom
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 12 MATERIA: MATEMÁTICA I
LIMITE DE FUNCIONES
DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE: Sea f una función definida en un intervalo
abierto que contiene a c y L un número real: cx
Lxf
)(lim
Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:
Lxfcx )(entonces ,0
Geométricamente:
Si una función xf cumple esta definición, decimos que es convergente en a .
NOTA: Para que una función tenga límite en un punto de abscisa a , o sea convergente en
ese punto, no es necesario que la función esté definida en ese punto.
Demostrar aplicando la definición épsilon – delta que el límite existe.
Ejemplo: Comprobar que .912lim4
= x + x
Solución:
Puesto que 12x + xf está definido para cualquier número real, para cualquier
intervalo abierto que contenga a 4 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon –
delta. Ahora se debe demostrar que:
Lxfax )( /00 > , 0 >
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 13 MATERIA: MATEMÁTICA I
Tomando la segunda parte de la expresión Lxfax )( 0 y sustituyendo en
ella los valores dados en el límite entonces .912 40 xx
Luego hagamos estos cálculos previos:
912x 82x 42 x
42 x 42 x .2
4
x
Para que 912x es suficiente que 2
4
x < por lo que podemos formar
.2
Prueba formar (Comprobando que el hallado funciona):
Si dado , 0 > tomamos ,2
entonces
912422
44 xxxx
Vemos que con que 2
logramos lo que queríamos, que es
.912 40 xx
Luego,
912lim4
= x + x
Veámoslo gráficamente:
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 14 MATERIA: MATEMÁTICA I
La parte de gráfica encerrada entre las rectas verticales 85,3x y 15,4x también
queda encerrada entre las rectas horizontales 55,8y e 45,9y
El procedimiento realizado podría repetirse fijando otros valores para .9xf A
esos valores (positivos) se los llama, en forma genérica, (épsilon) y para cada uno
de ellos se obtiene un valor (delta) también positivo, tal que: si 4x y
,44 x entonces .99 xf
Utilizando notación de distancia. Si 4x y ,40 x entonces .9 xf
O en forma equivalente: Si 4x y ,4,4 x entonces .9,9 xf
EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL LÍMITE: Si f es una función y ,c L son números
reales, el límite de xf cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:
LxfyLxfcxcx
)(lim)(lim
EJEMPLO: Comparación de los límites laterales
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 15 MATERIA: MATEMÁTICA I
Pruebe que x
x
x 0lim
no existe.
Solución: Puesto que:
0 si ,
0 si ,
xx
xxx
Se tiene que
11limlimlim
11limlimlim
000
000
xxx
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
Como los límites laterales derecho e izquierdo son diferentes, se deduce que el límite no
existe. A continuación se muestra la gráfica de la función .x
xxf
Razone en términos de épsilon – delta la no existencia del límite.
LÍMITES BÁSICOS: Si b y c son números reales y n un entero positivo. bbcx
lim
y .lim cxcx
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES: Si b y c son números reales y n un entero
positivo, f y g funciones con los límites siguientes: Lxfcx
)(lim y .)(lim Kxgcx
Tenemos que se cumplen:
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 16 MATERIA: MATEMÁTICA I
1. MÚLTIPLO ESCALAR: bLxfbcx
)(lim
2. PRODUCTO: LKxgxfcx
)()(lim
3. SUMA O DIFERENCIA: KLxgxfcx
)()(lim
4. COCIENTE: 0,)(
)(lim
Kquesiempre
K
L
xg
xf
cx
5. POTENCIAS: nn
cxLxf
)(lim
6. ÍMITE DE UNA FUNCIÓN RADICAL: Si n es un entero positivo: nn
cxcx
lim
Para toda c si n es impar. 0c si n es par.
7. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA: Si f y g son funciones tales que:
Lxgcx
)(lim y ).()(lim LfxfLx
Entonces: )())(lim())((lim Lfxgfxgfcxcx
LÍMITES ESPECIALES:
1lim0
x
senx
x 0
cos1lim
0
x
x
x
11
lim0
x
ex
x
ax
ax
xln
1lim
0
k
x
xe
x
k
1lim
EJERCICIOS DE LÍMITES
1. Calcular los siguientes límites:
a) 65lim 2
1
xx
x
Solución:
Como se trata de un límite directo, y como cada límite sumando existe hallamos su valor del así:
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 17 MATERIA: MATEMÁTICA I
)cantidades estas todassumamos (Y 2651
.constante) la es constantefunción una de límite (El 6151
función). dicha de limite elpor escalar
del producto el es unafunciónpor
escalar un de producto del límite ely
función la de limite del potencia la es
función una de potencia la de límite (El 6limlim5lim
función). cada de límites los de suma la es
funciones de suma una de límite (El 6lim5limlim65lim
2
11
2
1
11
2
1
2
1
xxx
xxxx
xx
xxxx
b) 103
1262lim
2
23
2
xx
xxx
x
Solución:
Como se trata de una función racional, calculemos el límite directo de la función del
numerador y de la función del denominador (Justifica cada paso de acuerdo con el ejercicio
anterior):
1)
01212881226222
12limlim6lim2lim
12lim6lim2limlim1262lim
23
22
2
2
3
2
22
2
2
3
2
23
2
xxxx
xxxxx
xxx
xxxxxx
2)
0106410232
10limlim3lim
10lim3limlim103lim
2
22
2
2
22
2
2
2
2
xxx
xxxx
xx
xxxx
De acá tenemos que el límite presenta una indeterminación de la forma .0
0
Ahora descomponemos tanto la función polinómica del numerador como de la función
polinómica del denominador: Para el primero usamos la regla de Ruffini:
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 18 MATERIA: MATEMÁTICA I
De aquí tenemos que un factor es 660 22 xx xxP y ,2 xxQ es decir,
tenemos que:
.621262 223 xxxxx
Para el segundo notamos que .252525103 22 xxxxxx
Si aun no tienes claro esta factorización puedes usar la ecuación de segundo grado.
Luego levantemos la indeterminación:
7
2
7
64
52
62
5limlim
6limlim
limites). los de cociente el es cociente
un de limite elaplicar podemos cero de
diferentesson y existen limites los (Como 5lim
6lim
r).simplifica podemosy 02 sea o
2 que tenemos2(Como 5
6lim
52
62lim
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
xx
x
x
x
x
x-
x xx
x
xx
xx
Cocientes del dividendo
1 -2 -6 12
2 2 0 - 12
1 0 -6 0
Resto
Coeficiente del cociente
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 19 MATERIA: MATEMÁTICA I
Así,
7
2
103
1262lim
2
23
2
xx
xxx
x
c) 2
4lim
4
x
x
x
Solución:
Como se trata de una función racional, calculemos el límite directo de la función del
numerador y de la función del denominador (Justifica cada paso de acuerdo con el ejercicio
anterior):
a) 04444 limlimlim444
xxx
xx
b) 0222422 limlimlim444
xxx
xx
De acá tenemos que el límite presenta una indeterminación de la forma .0
0
Ahora debemos racionalizar:
2
4
24
4
424
222
842
2
2.
2
4
22
x
x
xx
x
xxx
xxx
xxxx
x
x
x
x
Luego levantemos la indeterminación:
42224222
4limlimlimlim
4444
xxxx
xxx
x
Así,
42
4lim
4
x
x
x
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 20 MATERIA: MATEMÁTICA I
EJERCICIOS PROPUESTOS
a) .2
242 346
2lim
x
xxx
x
b) .3
182 234
3lim
x
xxx
x
c) 25
1522
2
5lim
x
xx
x
d) 103
442
23
2lim
xx
xxx
x
e) .8
823
24
2lim
x
xxx
x
f) .63
3091263 354
2lim
x
xxxx
x
g) 652
9923
23
3lim
xxx
xxx
x
h) 21
1lim
1
x
x
x
OPERACIONES CON INFINITO Y CERO
DEFINICIÓN DE LÍMITES INFINITOS: Sea f una función definida en todo número
real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c ).
Definimos las expresiones:
00
k
0
k 0
k 0
0
0
k si 0k k
0
0 Es una forma indeterminada.
Es una forma indeterminada.
. Es una forma indeterminada. 0 Es una forma indeterminada
00 Es una forma indeterminada.
0 Es una forma indeterminada.
cx
xf
)(limcx
xf
)(lim
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 21 MATERIA: MATEMÁTICA I
ASINTOTAS
ASÍNTOTA VERTICAL: Si
xfax
lim o bien
xfax
lim entonces la recta vertical
de ecuación ax es una asíntota vertical.
ASÍNTOTA HORIZONTAL: Si bxfx
lim o bien bxfx
lim entonces la recta de
ecuación by es una asíntota horizontal.
ASÍNTOTA OBLICUA: Llamaremos asíntota oblicua de la curva (grafico de f ), a la
recta de ecuación ,bcxy si x
xfc
x lim y .lim cxxfd
x
d)
x
x x
x
1
1lim
Solución: Veamos si es indeterminado el límite: Primeramente notemos que .lim
xx
Ahora bien, a pesar que como en
1
1lim
x
x
x tenemos que
1lim x
xy
1lim xx
aparentemente tenemos una forma indeterminada .
Levantado esta
indeterminación obtenemos:
11
1
01
01
1lim1lim
1lim1lim
11lim
11lim
11
11
lim
)fracciones de restay (Suma 1
1
lim
potencia)mayor la entre
r denominado comonumerador tantoo(Dividiend 1
1
lim1
1lim
x
x
x
x
x
x
xx
xxx
x
x
xx
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
xx
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 22 MATERIA: MATEMÁTICA I
Y de aquí tenemos que el límite presenta una indeterminación de la forma .1 Para calcular
este límite usamos el hecho que: .1lim k
x
xe
x
k
Luego, tenemos que
1
21
1
2
1
1
1
21
1
1
xxx
x
x
x
x
x
Y sustituyendo en el límite tenemos que:
1111
1
21lim
1
21lim
1
21lim
1
21lim
1
1lim
xxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Luego, como .111
21lim 1
1
xxY además:
.principio) al mostrada propiedad o hecho el(Según
) que teniendo
,1 variablede cambio el (Haciendo2
1lim1
21lim
2
1
e
yx
xyyx
y
y
x
x
Por tanto: .11
1lim 22
ee
x
xx
x
e) 2
tanlim
2 x
x
x
Solución: Veamos si es indeterminado el límite: Primeramente notemos que 0lim2
xx
y
.0222limlim2lim222
xxx
xx Por tanto aquí se presenta una forma
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 23 MATERIA: MATEMÁTICA I
indeterminada .0
0 Realicemos el cambio 2 xy (De donde tenemos que
02 yx y además 2 yx ). Luego:
.2tan
lim0 y
y
y
Además,
.tan1
tan
01
0tan
2tantan1
2tantan2tan2tan y
yy
y
yyy
Por tanto:
11 cos
1limlim
cos
1lim
coslim
coslim
tanlim
tanlim
tanlim
2tanlim
00
00
00000
yy
ysen
yy
ysen
yy
ysen
y
y
ysen
y
y
y
y
y
y
y
y
yy
yy
yyyyy
Ya que: ,1limlim00
u
senu
y
ysen
uy
haciendo el cambio yu (Teniendo que
00 uy y usando el limite elemental: .1lim0
x
senx
x Y además:
11
1
0cos
1
0cos
1
coslim
1lim
cos
1lim
0
0
0
yyy
y
y
Así, tenemos que: .2
tanlim
2
x
x
x
2. Calcular las asíntotas de las siguientes funciones:
a) 2
22
x
xxf
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 24 MATERIA: MATEMÁTICA I
Solución: Veamos primero si tiene asíntota horizontal y para ello revisamos el siguiente
límite:
2
2lim
2
x
x
x (Comprobarlo). Así, la función no tiene asíntota horizontal. Ahora
revisemos si tiene asíntota vertical, tomando en cuenta que 2 RDomf calculamos
el siguiente límite:
2
2lim
2
2 x
x
x (Comprobarlo). De donde obtenemos que la asíntota
vertical es la recta .2x Para hallar la asíntota oblicua, la cual existe ya que el grado del
numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.
NOTA: Las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles. Si hay unas no puede
haber de las otras. Así, 12
2
lim
2
x
x
x
cx
(Comprobarlo)
22
2lim1
2
2lim
2
22
xx
xx
x
xb
xx(Comprobarlo)
Y la ecuación de esta recta oblicua a la grafica de la función es: .2 xy
b) xexf1
Solución: Veamos primero si tiene asíntota horizontal y para ello revisamos el siguiente
límite: 1lim 0
1
ee x
x (Comprobarlo). Así, la función tiene asíntota horizontal, cuya
ecuación es .1y Ahora revisemos si tiene asíntota vertical, tomando en cuenta que
0 RDomf calculamos el siguiente límite:
ee x
x
1
0lim (Comprobarlo). De
donde obtenemos que la asíntota vertical es la recta .0x Verificar que no tiene asíntota
oblicua.
CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Una función f es continua en c si se satisfacen:
)()(lim
)(lim
)(
cfxf
existexf
definidaestacf
cx
cx
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 25 MATERIA: MATEMÁTICA I
EJEMPLO: Estudiar la continuidad de la función 5
5
x
xxf en los puntos 2x y
.5x
Solución:
Continuidad de la función en el punto .2x
1. Existe ,af esto debido a que .5 RDomf El valor de 2x forma
parte del dominio de la función y es: .3
10
3
10
52
252
f
2. Existe ,lim2
xfx
y como los límites de las funciones del numerador y del
denominador existen podemos aplicar la propiedad del cociente de límites para hallar
el valor de limite así: .
3
10
3
10
52
25
5lim
5lim
5
5lim
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
3. Además, notemos que: .5
5lim2
2
x
xf
x
Vemos que se cumplen las 3 condiciones luego la función es continua en el punto .2x
a. Continuidad de la función en el punto .5x
No existe ,af esto debido a que .5 RDomf El valor de 5x no forma parte
del dominio de la función. Es decir, 5f no existe y por tanto la función es discontinua. Si
calculamos ,lim5
xfx
tenemos que: .0
25
5
5lim
5
x
x
xAsí, la recta de ecuación
5x es una asíntota vertical y la función tiene una discontinuidad de salto infinito allí.
NOTA: Las funciones racionales tendrán una discontinuidad de salto infinito en aquellos
valores de x donde no estén definidas. Veamos la figura:
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 26 MATERIA: MATEMÁTICA I
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO: Si es continua en cada punto del
Intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros , es
continua en todas partes.
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO: Una función
f es continua en un intervalo cerrado ba, si es continua en el Intervalo abierto ba, y
en los extremos. La función f es continua por la derecha en a y continúa por la izquierda en
.b Es decir:
PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD: Si b es un número real y f y g son
continuas en ,cx entonces las siguientes también son continuas en :c
MÚLTIPLO POR UN ESCALAR: bf SUMA O DIFERENCIA: gf
PRODUCTO: fg COCIENTE: g
f, si .0cg
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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números naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. (6).
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González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios
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Leithold, L. (1992). El cálculo con geometría Analítica. Harla, México.
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)()(lim)()(lim bfxfyafxfbxax