Tema iii rango de una matriz uts

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 ÁLGEBRA LINEAL

TEMA III: RANGO DE UNA MATRIZ

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

En álgebra lineal, el rango de una matriz es el número de columnas (filas respectivamente) que

son linealmente independientes. Si el rango fila y el columna son iguales, este número es

llamado simplemente rango de A. Comúnmente se expresa como r(A).

El número de columnas independientes de una matriz nmA es igual a la dimensión del espacio

columna de .A También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será,

por tanto, mayor o igual que uno y menor o igual que el mínimo entre m y .n

El rango es una propiedad no sólo de las matrices sino extensible a las aplicaciones lineales de

las cuales las matrices es una representación fijada la base.

Una propiedad muy importante del rango así definido y el rango de matrices definido

anteriormente, es que ambos coinciden. Es decir, dada una base arbitraria la aplicación lineal se

puede representar mediante esa base en forma de matriz resultando el rango de esa matriz

idéntico al rango de la aplicación lineal que representa.

DEFINICIÓN: Sea la matriz ,nmijaA

denominamos rango de A y lo denotamos )(Ar al

número máximo de filas lineales independientes de ,A considerando estas como vectores de .nR

Aceptamos sin demostración las siguientes afirmaciones:

i) El número máximo de filas linealmente independientes de una matriz A es igual al número

máximo de columnas linealmente independientes.

ii) Si WVT : es una transformación lineal y BB , son bases de V y W respectivamente,

entonces el rango de la transformación lineal T (es decir, igual a )Im(dim T ) y este

número no depende de las bases escogidas B y .B

EJEMPLO: Sea la matriz

121

020

101

A

Entonces el rango de la matriz A es 2 ( 2)( Ar ), puesto que las dos primeras filas son

linealmente independientes y la tercera se obtiene como combinación lineal de las dos primeras.

EJERCICIO: Demostrar que en realidad se cumple que las dos primeras filas son linealmente

independientes, formando dos vectores de la siguiente forma: ),1,0,1( ).0,2,0(


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Escríbalos luego como combinación lineal del vector ),1,2,1( notando que los escalares deben ser

igual a 1.

a) Sea la matriz

011

110

111

B

Entonces ,3)( Br pues las filas son linealmente independientes como podrás a bien verificarlos

como ejercicio.

b) Consideremos la matriz

3033

3011

3210

0201

C

Veamos que las dos primeras filas son linealmente independientes. En efecto, sean Rba , tales

que:

)0,0,0,0()3,22,,(

)0,0,0,0()3,2,,0()0,2,0,(

)0,0,0,0()3,2,1,0(0,2,0,1

bbaba

bbbaa

ba

De donde obtenemos que:

03

022

0

0

b

ba

b

a

Como 0a y ,0b tenemos que las dos primeras filas son linealmente independientes.

Luego, )(Cr es mayor o igual a 2 ( 2)( Cr ). Veamos si las tres primeras filas son linealmente

independientes: Sean Rcba ,, tales que:

)0,0,0,0()33,22,,(

)0,0,0,0()3,0,,()3,2,,0()0,2,0,(

)0,0,0,0()3,0,1,1()3,2,1,0(0,2,0,1

cbbacbca

cccbbbaa

cba



Entonces

033

022

0

0

cb

ba

cb

ca

Es decir:

(IV)

(III)

(II)

(I)

cb

ba

cb

ca

Sustituyendo la ecuación (II) en la ecuación (IV) tenemos que ,cc es decir, 0 cc lo cual

da como resultado que 02 c o bien .0c Así, en la ecuación (I) tenemos nos queda que 0a

y en la ecuación (III) que .0b Por tanto, las tres primeras filas son linealmente independientes

y así .3)( Cr

Verifiquemos finalmente si ,4)( Cr es decir, si las cuatro filas de la matriz C son linealmente

independientes. Sean Rdcba ,,, tales que

)0,0,0,0()3,0,3,3()3,0,1,1()3,2,1,0(0,2,0,1 dcba

De donde puedes verificar lo siguiente:

0333

022

03

03

dcb

ba

dcb

dca

O equivalentemente:

bd

bc

ba

2

Luego, dado un valor de b digamos ,0t obtenemos una combinación lineal no trivial de las

filas de C que es igual al vector nulo y estas filas son entonces linealmente dependientes.

El rango de C es entonces igual a 3 ( 3)( Cr ).



OPERACIONES ELEMENTALES

La forma de determinar el rango de una matriz hecha en los ejemplos anteriores puede resultar

muy tediosa sobre todo para matrices de orden superior a 3. A continuación veremos un método

que permite calcular el rango de una matriz de una manera más sencilla el cual nos servirá

también en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales; este método se basa en lo que

denominaremos operaciones elementales entre filas de una matriz y que se expondrá a

continuación.

OPERACIONES ELEMENTALES (ENTRE LAS FILAS DE UNA MATRIZ)

I) Intercambiar dos filas.

II) Multiplicar una fila por un número real no nulo.

III) Sumar a una fila el producto de otra fila por un número real.

Estas operaciones elementales no alteran el valor del rango de una matriz, por esto, cuando

queremos hallar el rango de una matriz dada, aplicaremos estas operaciones elementales a dicha

matriz a fin de obtener otra en la cual sea más fácil determinar el valor del rango.

MÉTODO DE REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN

El método de Gauss-Jordan, consiste en aplicar operaciones elementales a una matriz con el fin

de obtener una nueva matriz que sea más sencilla de tratar que la matriz inicial, en el sentido de

que tenga muchos ceros. A continuación señalamos los pasos a seguir en la aplicación del

método.

Dada una matriz ,A seguimos los siguientes pasos:

a) Ubicar, si existe, un elemento igual a 1 en la matriz .A Si no hay tal elemento este se

puede obtener por las operaciones entre filas (salvo si 0A ), la fila en que se halla el

elemento 1, se llama fila pivote.

b) Con la operación III convertir en cero los demás elemento de la columna en que se halla

el elemento 1 escogido.

c) Repetir los pasos a y b escogiendo el elemento 1 entre aquellos elementos que no

pertenecen a filas pivotes anteriores.

EJEMPLO: Veamos ahora como utilizar el método de Gauss-Jordan para hallar el rango de una

matriz dada. Consideremos la matriz

2803

4132

3520

4111

A



i) Escogemos el elemento .111 a Con la primera fila como la fila pivote.

ii) Con la operación III (Multiplicando la primera fila por -2 y sumándola a la tercera fila y

multiplicando la primera fila por -3 y sumándola a la cuarta fila)obtenemos la matriz:

10530

12110

3520

4111

iii) Multiplicando la tercera fila por -1 (Operación II), para colocar esta tercera fila como fila

pivote, obtenemos:

10530

12110

3520

4111

iv) Aplicamos la operación III (Multiplicando la tercera fila por 1 y sumándola a la primera fila,

multiplicando la tercera fila por -2 y sumándola a la segunda fila y multiplicando la tercera

fila por -3 y sumándola a la cuarta fila) obtenemos:

46200

12110

21300

16201

v) Convirtamos en 1 un elemento que no esté en las filas primera y tercera, es decir, en las

anteriores filas pivotes, aplicando la operación II por ejemplo, a la segunda fila:

46200

12110

7100

16201

Lo cual se obtiene dividiendo por -3 todos los elementos de esta tercera fila.

vi) Multiplicando la segunda fila por -2, -1 y -2 y sumándola a las filas primera, tercera y cuarta,

respectivamente, obtenemos:



32000

19010

7100

30001

vii) Multiplicando la cuarta fila por 32

1 nos queda:

1000

19010

7100

30001

viii) Multiplicando la cuarta fila (Fila pivote) por -30, 7 y -19, y sumándola a las filas primera,

segunda y tercera, respectivamente, obtenemos:

1000

0010

0100

0001

Y esta matriz tiene evidentemente rango 4, luego la matriz A considerada anteriormente tiene

rango 4.

EJERCICIO: Sea la matriz

35432

26053

13627

50312

A

Efectué operaciones elementales a la matriz A y verifique que se puede llegar a la siguiente

matriz:

003900170

0197042

10903

0042117



En esta última matriz se observa que las columnas segunda, tercera, cuarta y quinta son

linealmente independientes, luego el rango de la matriz es mayor o igual a 4, pero como la matriz

tiene solo 4 filas, el rango es menor o igual a 4, en conclusión el rango es 4.

INVERSA DE UNA MATRIZ

Se puede probar, aunque aquí se acepte sin demostración, que una matriz A cuadrada de orden

n es invertible si y sólo si tiene rango máximo, es decir, .)( nAr

Una forma de encontrar la inversa de una matriz cuadrada nn con el método de Gauss-Jordan

es la siguiente:

1) Se copian las matrices nI (Matriz identidad de orden n ) y la matriz A de la siguiente

forma: nIAB

2) Se efectúan operaciones elementales entre filas de ;B si se consigue transformar A en la

matriz identidad entonces la matriz identidad de la derecha quedará trasformada en ,1A

la matriz inversa de la matriz .A Si la matriz A no es invertible, al efectuar las

operaciones elementales puede conseguirse al menos una fila cuyos elementos son todos

nulos, en cuyo caso .)( nAr

EJEMPLO: Determinemos si existe la inversa de la matriz

1000

1300

2120

0021

A

Copiemos la matriz 4IA y aplicamos operaciones elementales a está tratando que la matriz A

se transforme en .4I Realice las operaciones elementales y colóquela sobre las flechas que

separan cada bloque abreviándola de la siguiente manera por ejemplo si tenemos la siguiente:

Multiplicando la primera fila por -2 y sumándola a la tercera fila lo colocamos .2 31 FF

10003

1

3

100

6

5

6

1

2

10

3

5

3

111

1000

0100

0010

0001

10003

1

3

100

3

5

3

110

0001

1000

0100

0020

0021

1000

1100

2010

0001

1000

0300

0120

001

1000

0100

0010

0001

1000

1300

2120

001



10003

1

3

100

6

5

6

1

2

10

3

5

3

111

1000

0100

0010

0001

10003

1

3

100

3

5

3

110

0001

1000

0100

0020

0021

1000

1100

2010

0001

1000

0300

0120

001

1000

0100

0010

0001

1000

1300

2120

001

Luego, la matriz A es invertible y su inversa es

10003

1

3

100

6

5

6

1

2

10

3

5

3

111

1A

Para verificar que efectivamente esta es la matriz inversa debemos hacer el siguiente producto de

matrices y obtener:

4

1. IAA

Donde el producto de dos matrices )( ijaA de dimensión nm y otra matriz )( jkbB de

dimensión pn es la matriz BA. dada por: )(. ikcBA

Con jkijik bac .

Es decir, cada elemento ikc se obtiene multiplicando la fila i -ésima de la primera matriz por la

columna k -ésima de la segunda matriz.

EJEMPLO: Sean las matrices

,654

321

A

2-

0

8

1-

9

7

B

Tenemos que:

2067

222

1203264528

6083187

)2.(60.58.4)1.(69.57.4

)2.(30.28.1)1.(39.27.1

2-

0

8

1-

9

7

654

321AB



2067

222

1203264528

6083187

)2.(60.58.4)1.(69.57.4

)2.(30.28.1)1.(39.27.1

2-

0

8

1-

9

7

654

321AB

NOTA: Observa que el producto de una matriz de orden 32 por otra de orden 23 es una

matriz de orden ,22 por eso es que debe tenerse cuidado al multiplicar matrices.

EJERCICIOS:

1) Utilizar el método de reducción de Gauss-Jordan para determinar el rango de las

siguientes matrices:

a)

3654

4301

5231

0720

b)

27393

12583

15210

04321

c)

13

51

320

21

cba

cba

c

ba

, donde .., Rcba

d)

12

001

120

00

bac

c

c

ba

, donde .., Rcba

2) Determina, en caso que exista, la matriz inversa de cada una de las matrices:

a)

110

011

101

A



b)

cos

cos

sen

senB , .R

c)

121

102

123

C

d)

1000

3211

1310

2101

D

EQUIVALENCIA Y SIMILARIDAD (MATRICES SIMILARES)

DEFINICIÓN: Se dice que dos matrices A y B de nn sobre el cuerpo K son semejantes si

existe una matriz invertible P de nn sobre K tal que:

BAPP 1

Uno de los significados del término transformación de semejanza es una transformación de la

matriz A en la matriz B.

PROPIEDADES

Las matrices semejantes comparten varias propiedades:

Poseen el mismo rango.

El mismo determinante.

La misma traza.

Los mismos valores propios (aunque los vectores propios, en general, serán distintos),

El mismo polinomio característico, y

El mismo polinomio mínimo.

Hay dos razones para estas características:

Dos matrices semejantes pueden pensarse como dos descripciones de una misma

transformación lineal, pero con respecto a bases distintas;

La transformación XPPX 1 X es un automorfismo del álgebra asociativa de todas las

matrices de .nn



Otra manera de ver la definición anterior es la siguiente:

Diremos que dos matrices de orden A y B son similares si hay una matriz C de orden nn

invertible tal que ,1ACCB o escrito de otra forma .ACCB

EJEMPLO: Notemos que las matrices

35

24,

10

12BA

Son similares ya que hay una matriz

11

12C Una manera de ver que la matriz es

invertible es hallando su determinante:

0312)1(211

12det)det(

C

Ahora, veamos que:

11

13

1010

1214

1).1()1.(0)1).(1(2.0

1.1)1.(2)1.(12.2

11

12

10

12

AC

AC

AC

AC

11

13

3254

3458

)3.(1)2).(1(5.14).1(

)3).(1()2.(25).1(4.2

35

24

11

12

CB

CB

CB

CB



11

13

3254

3458

)3.(1)2).(1(5.14).1(

)3).(1()2.(25).1(4.2

35

24

11

12

CB

CB

CB

CB

Así, .CBAC

EJERCICIOS: Decida si los siguientes pares de matrices son semejantes. Justifique su

respuesta.

a)

324

202

423

A y

110

121

011

B

b)

33

24A y

65

01B

c)

33

24A y

60

11B

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial Limusa, S.

A de C. V. Noriega Editores. México.

Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos

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10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015.

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Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera

reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra

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Reverté.

Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F

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