Tema iii transformada de laplace matematica iv uts

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

EXTENSIÓN SAN FELIPE

LICENCIADO JULIO BARRETO 1 MATEMÁTICA IV

TEMA III: TRANSFORMADA DE LAPLACE

HISTORIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver

ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sunisoidales, si-

nusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una varia-

ble compleja s , y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones

algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se puede

transformar en una ecuación algebraica de la variable compleja s . Si esa ecuación algebraica se re-

suelve en s para la variable dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este pro-

cedimiento que implica la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente, se realiza em-

pleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica de expansión en fracciones par-

ciales.

Es característico del método de la Transformada de Laplace, el uso de técnicas gráficas para predecir

y/o analizar el funcionamiento de un sistema sin tener que resolver el sus ecuaciones diferenciales.

Otra ventaja es que con este método se resuelve la ecuación diferencial obteniendo, simultáneamente,

las componentes del estado transitorio y estacionario de la solución.

FUNCIÓN COMPLEJA F(s)

Una función compleja ( )F s , tiene una parte real y una imaginaria:

yx jFFsF

Donde xF y yF son cantidades reales. La magnitud de ( )F s es

2 2

x yF F

Y el ángulo de ( )F s es

1tan x

y

F

F

El ángulo se mide de derecha a izquierda a partir del semieje real positivo. El complejo conjugado de

( )F s es

( ) x yF s F jF



Se dice que una función compleja ( )F s es analítica en una región, si ( )F s y todas sus derivadas exis-

ten en esa región.

0 0

( )( ) lim lims s

d G s s GG s

ds s s

Los puntos del plano s en los que la función ( )F s es analítica, reciben el nombre de puntos ordina-

rios, mientras que los puntos del plano s en los que la función ( )F s no es analítica, se denominan

puntos singulares. A dichos puntos también se les denomina polos. Los puntos en los que la función

( )F s es igual a cero, se denominan ceros

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Primero se presenta una definición de la Transformada de Laplace; y un breve análisis de las condi-

ciones de existencia de la transformada de Laplace.

Definimos:

( )f t Una función de tiempo t tal que ( ) 0f t para 0t

s Una variable compleja

( )F s Transformada de Laplace de ( )f t

L Un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la in-

tegral de Laplace.

0

ste dt

Entonces la transformada de Laplace de ( )f t está dada por

0 0

( ) ( ) ( ) ( )st stf t F s e dt f t f t e dt

EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace de una función ( )f t existe si la integral de Laplace converge. La integral

ha de converger si ( )f t es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango 0t y

si es de orden exponencial cuanto t tiende a infinito. Se dice que una función ( )f t es de orden expo-

nencial, s si existe una constante real, positiva tal que la función

( )te f t



tiende a cero cuanto t tiene a infinito. Si el límite de la función

( )te f t

tiende a cero para mayor que c y el límite tiene a infinito para menor que c , el valor c re-

cibe el nombre de abscisa de convergencia.

Para la función ( ) tf t Ae tenemos que lim t t

t e Ae

tiende a cero si . La abscisa de

convergencia en este caso es c . La integral

0

( ) stf t e dt

converge solamente si , la parte real de s , es mayor que la abscisa de convergencia c . Así hay que

elegir el operador s como una constante tal que esta integral converja.

En términos de los polos de la función ( )F s , la abscisa de convergencia c corresponde a la parte

real del polo ubicado en posición más alejada hacia la derecha en el plano s .

Para funciones como

t

sen t

tsen t

La abscisa de convergencia es igual a cero.

Para funciones como cte

, ctte

, cte sen t

y similares, la abscisa de convergencia es igual .a c Pa-

ra funciones que aumentan más rápidamente que la función exponencial, sin embargo, no es posible

encontrar valores adecuados de la abscisa de convergencia. Por lo tanto, funciones tales como 2te ,

2tte

no tienen transformada de Laplace

Si una función ( )f t tiene transformada de Laplace, la transformada de la función ( )Af t , donde A es

una constante, está dada por

( ) ( )Af t A f t

Esto es obvio, partiendo de la definición de transformada de Laplace. En forma similar, si las funcio-

nes

1 2( ) y f ( )f t t

tienen transformada de Laplace, la transformada de Laplace de la función 1 2( ) f ( )f t t está dada por



1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t

Nuevamente, la prueba de esta relación es evidente a partir de la definición de la transformada de La-

place.

A continuación, se determinan las transformadas de Laplace de algunas funciones habitualmente en-

contradas.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Sea la función exponencial

( ) 0 para t<0f t

para t 0tAe

Donde A y son constantes. La transformada de Laplace de esta función exponencial puede obte-

nerse como sigue: como puede verse, la función exponencial produce un polo en el plano complejo.

Puede demostrarse, empleando algunos postulados de la teoría de variable compleja, que esta solu-

ción resulta válida para cualquier valor complejo de s en el cual ( )F s es analítica, es decir, con ex-

cepción de los polos de ( ).F s

0

t t stAe Ae e dt

( )

0

s tA e dt

A

s

FUNCIÓN ESCALÓN

Sea la función:

( ) 0f t para 0t

( )f t A para 0t

Donde A es una constante. Obsérvese que se trata de un caso especial de la función exponencial

tAe

Donde 0 . La función escalón queda indefinida en 0t . Su transformada de Laplace está dada

por la expresión siguiente, la transformada obtenida, es válida en todo el plano s excepto en el polo

0s .



0

st AA Ae dt

s

La función escalón cuya altura es la unidad, recibe el nombre de función escalón unitario. La función

escalón unitario que se produce en t to , se denota a menudo como 0 0( ) o 1(t-t )u t t . La función

escalón de altura A , también se puede escribir como ( ) 1( )f t A t .

La transformada de Laplace de la función escalón unitario, definida como

1( ) 0t para 0t

1( ) 1t para 0t

Es

1

s

O

1

1( )ts

Físicamente, una función escalón producida en 0t corresponde a una señal constante aplicada súbi-

tamente al sistema en el instante en que el tiempo t es igual a cero.

FUNCIÓN RAMPA

Sea la función rampa siguiente:

( ) 0f t para 0t

( )f t At para 0t

Donde A es una constante. La transformada de Laplace de esta función rampa, resulta dada por:

0

stAt Ate dt

0

0

st ste AeAt dt

s s

0

stAe dt

s

2

A

s



FUNCIÓN SINUSOIDAL

La transformada de Laplace de la función sinusoidal

( ) 0f t para t 0

( ) 0f t Asen t para 0t

Donde A y w son constantes, se obtiene del modo siguiente. El sen wt se puede escribir

1

( )2

j t jomagatsen t e ej

Por lo tanto

0

( )2

j t j t stAAsen t e e e dt

j

1 1

2 2

A A

j s j j s j

2 2

A

s

En forma similar, la transformada de Laplace de cos wtA se puede obtener de la siguiente forma:

2 2cos

AsA t

s

La transformada de cualquier función ( )f t transformable de Laplace, se puede obtener fácilmente

multiplicando ( )f t por ste

e integrando el producto desde 0t hasta .t Una vez conocido el

método para obtener la transformada de Laplace, no es necesario derivar la transformada de Laplace

de ( )f t cada vez.

TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Se requiere obtener la transformada de Laplace de una función trasladada.

( )1( )f t t donde 0

Esta función es cero para t .

Por definición, la transformada de Laplace de ( )1( )f t t es:

0

( )1( ) ( )1( ) stf t t f t t e dt



Cambiando la variable independiente de a t donde t se obtiene:

( )

0 0

( ) ( )1( )st sf t e dt f e dt

0

( ) st sf e e d

0

( )s ste f e d

( )se F s

Donde

0

( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt

Y entonces

0

( )1( ) ( )sf t t e F s

Esta última ecuación establece que la traslación de la función ( )1( )f t t por (donde 0 ) corres-

ponde a la multiplicación de la transformada sF por .se

FUNCIÓN PULSO

Sea la función pulso siguiente:

0

( )A

f tt

para 00 t t

( ) 0f t para 00, tt t

Donde A y 0t son constantes.

La función pulso se puede considerar como una función escalón de altura 0/A t que comienza al

tiempo 0t y a la que se superpone una función escalón negativa de altura 0/A t que comienza al

tiempo 0t t , es decir,

0

0 0

( ) 1( ) 1( )A A

f t t t tt t

Entonces se obtiene la transformada de Laplace de ( )f t como



0

0 0

( ) 1( ) 1( )A A

t t t tt t

0

0 0

stA Ae

t s t s

0

0

(1 )stAe

t s

FUNCIÓN IMPULSO

La función impulso es un caso especial limitativo de la función pulso. Sea la función impulso

0 0

0

( ) limt

Af t

t para

00 t t

( ) 0f t para 00, tt t

Como la altura de la función impulso es 0/A t y la duración es

0t , el área cubierta bajo el impulso es

igual a A . A medida que la duración 0t tiende a cero, la altura 0/A t tiende a infinito, pero el área

cubierta por el impulso permanece igual a A . Nótese que la magnitud de un impulso viene dada por

su área. La transformada de Laplace de esta función impulso resulta ser:

0

0 0

0

( ) lim (1 )st

t

Af t e

t s

0

0

00

0

0

(1 )

lim

( )

st

t

dA e

dt AsA

d st s

dt

Por lo tanto la transformada de Laplace de una función impulso es igual al área bajo el impulso.

La función impulso cuya área es igual a la unidad, recibe el nombre de impulso unitario o Delta de

Dirac. La función impulso unitario que se produce en el tiempo 0t t se designa generalmente por

0( )t t

Y satisface las siguientes condiciones:

0( ) 0t t para 0t t

0( )t t para 0t t



0

0

( ) 1t t dt

Es preciso señalar que un impulso que tiene una magnitud infinita y duración cero es una fracción

matemática, y no ocurre en sistemas físicos. Sin embargo, si la magnitud del impulso de entrada a un

sistema es muy grande, y su duración es muy breve en comparación con las constantes de tiempo del

sistema, el impulso de entrada se puede aproximar por una función impulso.

El concepto de función impulsiva resulta muy útil al diferenciar funciones discontinuas. La función

impulso unitario 0( )t t puede considerarse como la derivada de la función escalón unitario

01( )t t

en el punto de discontinuidad 0t t , o

0 0( ) 1( )d

t t t tdt

Inversamente, si se integra la función impulso unitario 0( )t t , el resultado de la función escalón

unitario 01( )t t . Con el concepto de la función impulsiva se puede diferenciar una función que con-

tenga discontinuidades, dando impulsos cuyas magnitudes son iguales a las de la discontinuidad co-

rrespondiente.

MULTIPLICACIÓN DE ( )f t

Si la función ( )f t es transformable por Laplace, y esa transformada es ( )F s , la transformada de

( )te f t

Se puede obtener del siguiente modo:

0

( ) ( )t t ste f t e f t e dt

( )F s

Puede verse que la multiplicación de ( )f t por te tiene el efecto de reemplazar s por ( )s en la

transformada de Laplace. Inversamente, reemplazar s por ( )s es equivalente a multiplicar ( )f t

por te . Nótese que puede ser real o compleja.

La relación dada es útil para hallar la transformada de Laplace en funciones como te sen t

y

coste t .



TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL

La transformada de Laplace de la derivada de una función ( )f t está dada por:

( ) ( ) (0)d

f t sF s fdt

Donde (0)f es el valor inicial de ( )f t evaluada en 0t .

Para una función ( )f t dada los valores de (0 )f y (0 )f pueden ser iguales o diferentes. La distin-

ción entre (0 )f y (0 )f es importante cuando ( )f t tiene una discontinuidad en 0t porque en

ese caso ( ) /df t dt comprende una función impulsiva en 0t . Si

(0 ) (0 )f f

La ecuación quedaría:

( ) ( ) ( )d

f t sF s f odt

( ) ( ) ( )d

f t sF s f odt

Para probar el teorema de diferenciación real, se procede como sigue. Integrando la integral de Lapla-

ce por partes, se tiene

0

0 0

( ) ( ) ( )st st

st e d ef t e dt f t f t dt

s dt s

Por tanto

(0) 1( ) ( )

f dF s f t

s s dt

De ahí sigue que

( ) ( ) (0)d

f t sF s fdt

En forma similar, se obtiene la siguiente relación para la segunda derivada de ( )f t :

2

2

2( ) ( ) (0) (0)

dd t s F s sf f

dt



Donde (0)f es el valor de ( ) /df t dt evaluado como 0t . Para deducir esta ecuación, se define:

( ) ( )d

f t g tdt

Entonces

2

2( ) ( ) ( ) (0)

d df t g t s g t g

dt dt

( ) (0)d

s f t fdt

2 ( ) (0) (0)s F s sf f

En forma similar, para n-ésima derivada de ( )f t , se obtiene

.1 2( ) ( ) (0) (0) .... (0) (0)n

n n n

n

df t s F s s f s f sf f

dt

TEOREMA DE INTEGRACIÓN REAL

Si ( )f t es de orden exponencial, entonces existe la transformada de ( )f t y está dada por

1( ) (0)

( )F s f

f t dts s

Donde ( ) ( )F s f t y 1(0) ( )f f t dt evaluada en 0t . Como vemos, la integración en el do-

minio del tiempo se convierte en división en el dominio de s . Si el valor inicial de la integral es cero,

la transformada de Laplace de la integral de ( )f t queda dada por ( ) /F s s .

El teorema de integración real dado por la ecuación se puede modificar levemente, para afrontar el ca-

so de la integral definida. Si ( )f t es de orden exponencial, la transformada de Laplace de la integral

definida 0

( )t

f t queda dada por

0

( )( )

tF s

f t dts

Donde ( ) ( )F s f t

Este teorema también se denomina de integración real.



TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN COMPLEJA

Si ( )f t es transformable por Laplace, entonces, excepto en los polos de ( )F s ,

( ) ( )d

tf t F sds

Donde ( ) ( )F s f t . Esto se denomina teorema de diferenciación compleja. También

2

2

2( ) ( )

dt f t F s

ds

En general,

( ) ( 1) ( )n

n n

n

dt f t F s

ds ( 1,2,3,.....)n

INTEGRACIÓN DE CONVOLUCIÓN

Considere la transformada de Laplace de 1 2

0

( ) ( )t

f t f d

Esta integral a menudo se expresa como

1 2( )* ( )f t f t

La operación matemática anterior se denomina convolución. Nótese que si se coloca =t , enton-

ces 0

1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( )t

t

f t f d f f t d 1 2

0

( ) ( )t

f f t d

Por tanto,

1 2 1 2

0

( )* ( ) ( ) ( )t

f t f t f t f d 1 2

0

( ) ( )t

f f t d 2 1( )* ( )f t f t

Si 2( )f t y 2( )f t son continuas por segmentos y de orden exponencial, la transformada de Laplace de

1 2

0

( ) ( )t

f t f d



Puede obtenerse como sigue:

1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( )t

f t f d F s F s

Donde

1 1 1

0

( ) ( ) ( )stF s f t e dt f t

2 2 2

0

( ) ( ) ( )stF s f t e dt f t

1 2 1 2

0 0

( ) ( ) (/ )1( ) ( )t

f t f d f t t f d

El proceso inverso de hallar en tiempo ( )f t , a partir de la transformada de Laplace ( )F s , se denomi-

na transformada inversa de Laplace. La notación de la transformada inversa de Laplace es 1así

1 ( ) ( )F s f t .

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

El proceso matemático de pasar de la expresión en variable compleja a la expresión en función del

tiempo, se denomina transformación inversa. Como notación para la transformación inversa, se utiliza 1, de modo que al resolver problemas usando el método de la transformada de Laplace, se enfrenta

el problema de cómo determinar ( )f t pariendo de ( )F s . Matemáticamente se obtiene con la siguien-

te integral de inversión:

1( ) ( )

2

c j

st

c j

f t F s e dsj

( 0)t

Donde c , la abscisa de convergencia, es una constante real elegida mayor que las partes reales de to-

dos los puntos singulares de ( )F s . Así, el camino de integración es paralelo al eje jw y esta despla-

zado del mismo una distancia c . Este camino de integración esta a la derecha de todos los puntos sin-

gulares. Afortunadamente, para hallar ( )f t a partir de ( )F s ahí procedimientos más simples que

efectuar esta integración directamente. Un modo conveniente es utilizar una tabla de transformadas de

Laplace. En este caso, en la tabla la transformada de Laplace debe aparecer en forma inmediatamente

reconocible. Frecuentemente la función buscada puede no aparecer en las tablas de transformadas de

Laplace. Si no se encuentra en la tabla una transformada ( )F s determinada, se puede desarrollar en

fracciones parciales, y escribir ( )F s en términos de funciones simples de s , para las cuales se cono-

cen las transformadas inversas de Laplace.



Nótese que estos métodos simples para hallar transformadas inversas de Laplace, se basan en el hecho

de que la correspondencia única entre una función del tiempo y su transformada Laplace inversa, se

mantiene para cualquier función del tiempo que sea continua.

MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES PARA HALLAR TRANS-

FORMADAS INVERSAS DE LAPLACE.

( )F s , la transformada de Laplace de ( )f t , frecuentemente es de la forma

( )( )

( )

B SF s

A s

Donde ( ) B(s)A s y son polinomios en s , y el grado de ( )B S es menor que el de ( )A s . Si ( )F s se

descompone en sus componentes

1 2( ) ( ) ( ) .... ( )nF S F s F s F s

Y si las transformadas inversas de Laplace de la segunda parte de la igualdad son obtenidas fácilmen-

te, entonces

1 1 1 1

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nF s F s F s F s

Donde 1 2( ), ( ),......, ( )nf t f t f t son las transformadas inversas de Laplace de 1 2( ), ( ),......, ( )nF s F s F s ,

respectivamente

La transformada inversa de Laplace así obtenida ( )F s , es única, excepto posiblemente en puntos

donde la función de tiempo es discontinua. La ventaja del procedimiento de expansión es que los

términos individuales son funciones muy simples, en consecuencia, no es necesario recurrir a una ta-

bla de transformadas de Laplace, si se memorizan algunos pares de transformadas simples. Conviene

señalar, sin embargo, que al aplicar la técnica de expansionó en fracciones parciales en búsqueda de la

transformada inversa de Laplace, deben conocerse previamente las raíces del polinomio denominador

( )A s : En la expansionó ( ) ( ) / ( )F s B s A s en forma de fracciones parciales, es importante que la po-

tencia más elevada de s en ( )A s sea mayor que la potencia de s en ( )B s . Si ese no es el caso, el

numerador ( )B s debe dividirse entre el denominador ( )A s para producir un polinomio en s más un

resto (una relación de polinomios en s cuyo numerador sea grado menor que el del denominador).

EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES CUANDO ( )F s CONTIENE ÚNICAMENTE

POLOS DISTINTOS.

Sea ( )F s escrita en su forma factorizada.

1 2

1 2

( )( )....( )( )( ) (m<n)

( ) ( )( )....( )

m

n

K s z s z s zB sF s

A s s p s p s p



Donde los factores p y z son cantidades reales o complejas, pero para cada complejo 1p , o

iz , debe

aparecer el respectivo conjugado. Si ( )F s contiene solamente polos distintos, puede expandirse en

una suma de fracciones parciales simples, es decir:

1 2

1 2

( )( ) ...

( )

n

n

aa aB sF s

A s s p s p s p

Donde (k=1, 2,.....,n)ka son constantes. El coeficiente ka se denomina residuo en el polo de

k -ps . El valor de ka puede hallarse multiplicando ambos miembros de la ecuación por ( )ks p

y haciendo k -ps , lo que da. Como puede verse, todos los términos expandidos desaparecen, ex-

cepto a . Entonces se halla que el residuo es

1 2

1 2

( )( ) ( ) ( )

( )k

k k k

s p

a aB ss p s p s p

A s s p s p

... ( ) ... ( )

k

k nk k

k n s p

a as p s p

s p s p

ka

( )( )

( )k

k k

s p

B sa s p

A s

Nótese que, como ( )f t es una función real del tiempo, si 1 2 y pp son complejos conjugados, los re-

siduos 1 2 y aa también son complejos conjugados, por lo que solo uno de los dos debe evaluarse, ya

que el otro se conoce automáticamente. Como

1 kp tkk

k

aa e

s p

Se obtiene ( )f t como

1 21

1 2( ) ( ) ... (t 0)np tp t p t

nf t F s a e a e a e

EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES CUANDO ( )F s TIENE POLOS MÚLTIPLES

En lugar de tratar el caso general, se utiliza un ejemplo para mostrar como obtener la expansión en

fracciones parciales de ( )F s .

Sea la siguiente ( )F s : 2

3

2 3( )

( 1)

s sF s

s



La expansión en fracciones parciales de esta ( )F s cubre tres términos

3 2 1

3 2

( )( )

( ) ( 1) ( 1) 1

b b bB sF s

A s s s s

Donde 3 2 1, b y bb se determinan como sigue. Multiplicando ambos miembros de esta última ecua-

ción por ( 1) 3s , se obtiene

3 2

3 2 1

( )( 1) ( 1) ( 1)

( )

B ss b b s b s

A s

Haciendo entones 1s , la ecuación anterior da 3

3

1

( )( 1)

( )s

B ss b

A s

También diferenciando ahora ambos miembros de la ecuación con respecto a s se obtiene

3

2 1

( )( 1) 2 ( 1)

( )

d B ss b b s

ds A s

Si se hace 1s , en la ecuación anterior, entonces

3

2

1

( )( 1)

( )s

d B ss b

ds A s

Diferenciando ahora ambos miembros de la ecuación respecto a s , el resultado es

2

3

12

( )( 1) 2

( )

d B ss b

ds A s

Del análisis precedente se puede ver que los valores 1 2 3, b y bb puede determinarse sistemática-

mente del siguiente método:

3

3

1

( )( 1)

( )s

B sb s

A s

2

1( 2 3)ss s

3

2

1

( )(( 1) )

( )s

d B sb s

ds A s

2

1

( 2 3)s

ds s

ds

1(2 2)ss 0

2

3

1 12

1 ( )( ( 1) )

2! ( )s

d B sb s

ds A s

22

2

1

1( 2 3)

2!s

ds s

ds

1(2) 1

2



Así, se obtiene

.1( ) ( )f t F s 1 1 1

3 2

2 0 1

( 1) ( 1) 1s s s

2 0t tt e e 2( 1) (t 0)tt e

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN EL TIEMPO

En esta sección se utiliza el método de la transformada de Laplace para solucionar ecuaciones dife-

renciales lineales, invariantes en el tiempo.

El método de la transformada de Laplace brinda la solución completa (la solución particular, más la

complementaria) de las ecuaciones diferenciales ordinarias invariantes en el tiempo. Los métodos

clásicos para hallar la solución completa de una ecuación diferencial requieren evaluar las constantes

de integración a partir de las condiciones iniciales. En el caso de la transformada de Laplace, no es

necesario calcular las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales, ya que estas que-

dan incluidas automáticamente en la transformada de Laplace de la ecuación diferencial.

Si todas las condiciones iniciales son cero, la transformada de Laplace de la ecuación diferencial, se

obtiene substituyendo simplemente /d dt por , d 2/ 2s dt por 2s , etc.

Al resolver ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo, por el método de la transforma-

da de Laplace, se deben efectuar dos pasos.

1. tomando la transformada de Laplace de cada término en la ecuación diferencial dada, convier-

te la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en s , y reordenando la ecuación alge-

braica, obtener la expresión de la transformada de Laplace de la variable dependiente.

2. La solución temporal de la ecuación diferencial se obtiene, hallando la transformada inversa

de Laplace de la variable dependiente.

TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES:

f(t) L {f(t)} = F(s)

1 k k/s

2 t 1/s2

3 tn n!/s

n+1

4 eat

1/ s-a

5 sen at a/ s2 + a

2

6 cos at s/ s2 + a

2

7 senh at a/ s2 - a

2

8 cosh at s/ s2 - a

2



EJERCICIO RESUELTO 1: Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f(t) por medio del

uso de tabla:

f(t) = 3 e -4t

+ 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8

Aplico Transformada de Laplace:

L {f(t)} = L { 3 e -4t

+ 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8 } (1)

Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace

de cada término, (1) se puede expresar como:

L {f(t)} = L { 3 e - 4t

} + L { 1/2 cos 5t } + L { 3/4 t3

} + L { 8 } (2)

Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su correspondiente Transformada expresada en

la tabla, y aplicar las propiedades:

L {f(t)} = F(s) = 3*( 1/s+4 ) + 1/2*( s/s2 + 25 ) + 3/4*( 3! / s

4 ) + 8/s

Por lo tanto:

F(s) = 3/s+4 + s / 2*( s2 + 25) + 9/2 t

- 4 + 8/s

Ejercicio resuelto 2: Hallar L-1

{ (3s + 7) / (s2 - 2s - 3)}

Como se ve, es de la forma L-1

{P(s)/ Q(s)}, donde P(s) = 3s + 7 y Q(s) = s2 - 2s - 3; se puede obser-

var también que el grado de Q(s) > P(s).El polinomio Q(s) se puede expresar como s2 - 2s - 3 =

(s+1)(s-3). Entonces:

3s + 7 3s + 7 A B (1)

s2 - 2s - 3 (s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1

Multiplicando por (s - 3)(s + 1) se obtiene:

3s + 7 = A (s + 1) + B (s - 3) = (A + B)s + A - 3B (2)



Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s a ambos lados de la ecuación resultante (2),

hallo los valores de los coeficientes A y B:

A + B = 3

A - 3B = 7

Calculando, resulta A = 4 y B = -1. Reemplazando en (1):

3s + 7 A B 4 1 (3)

(s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1 s - 3 s + 1

Para hallar la Antitransformada de Laplace, se busca en la Tabla de Transformadas de Laplace y se

reemplazan los términos:

L -1

3s + 7 L -1

4 L -1

1

(s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1

4 L -1

1 L -1

1

s - 3 s + 1

Así:

f (t) = 4 e 3t

- e - t

EJERCICIO RESUELTO 3: Resolver y'' + y = t, con y(0) = 1, y'(0) = -2.

Tomando la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, y utilizando las

condiciones iniciales dadas, se tiene:

L { y''} + L { y } = L { t }

s2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 1/s

2

s2 Y(s) - s + 2 + Y(s) = 1/s

2

Entonces: Y(s) * [s2 + 1] = 1/s

2 + (s - 2). Despejando Y(s):

Y(s) = [1/s2

+ (s - 2)] / [s2 + 1]

Y(s) = 1/s2 - 1/s

2 + 1 + s/s

2 + 1 - 2/ s

2 + 1

Y(s) = 1/s2 + s/s

2 + 1 - 3/s

2 + 1



Aplicando Antitransformada a cada término:

L -1

{Y(s)} = L -1

{1/s2 + s/s

2 + 1 - 3/s

2 + 1}

Se obtiene de la tabla:

y(t) = t + cos t - 3 sen t

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Hallar la Transformada de Laplace de: TTsenTf 2cos2 . Solución: 44

222

S

S

S

2. Hallar la Transformada de Laplace de: 362 TTTf . Solución: SSS

36223

3. Hallar la Transformada de Laplace de: TTT eeeTf 4222 211 .

Solución: 4

1

2

21

SSS

4. Probar que: L-1

52

481

SS

42TT

5. Probar que: L-1

2

3

12

SS= 53

120

1

3

24 TTT

6. Probar que: L-1

14

1

S=

Te 4

1

4

1

7. Resolver: TeTyyy 2344 , 00 y , 00 y Solución: Ty TeT 25

20

1

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos eléctricos, al

balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la programación lineal.

Colección de Universitaria. (1). https://www.createspace.com/5230822

Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición. McGraw-Hill, Méxi-

co.

Edminister, J. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios Schaum, McGraw-

Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.

Tom, A. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con apli-

caciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté.

Porteles, A. (2000). Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. UPEL-IPB.

Zill, D. (1983). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Editorial Thomson.

6ta. Ed.

https://www.createspace.com/5230822

Education

Tema iii transformada de laplace matematica iv uts