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Tema RadicalesPropiedades y Ejercicios
Profesor Juan Sanmartín
Matemáticas
Recursos subvencionados por el…
Propiedades de los radicales
n pbÍndice de la raíz Exponente
Base
Ejemplo
nn xx
Más conceptos básicos
416
El índice es par
n x 39
0x
0x
Conceptos básicos
24
3273
Si el índice es 2 no se escribe el índice en la raíz.
422
2733
2325 3225
56254 62554
23
Propiedades de los radicales
Ejemplo
nn xx
Conceptos básicos
3273
El índice es impar
n x 2325
0x
0x
Ejemplo
n x- 81
El índice es par
No pertenece a los
Números Reales
No pertenece a los
Números Reales
n x- 62163
El índice es impar
nn xx-
Propiedades de los radicales
Ejemplo
nn xx
Conceptos básicos
003
El índice cualquiera
pn px
n x3272727
6 223 23
0x
0x
0xn
Propiedades Fundamental de los Radicales
0p 327327 23 23
Ejemplo
3272727 333
0x
0x
Propiedades de los radicales
n yx nn yx 63232
0x
Propiedades de los Radicales
Ejemplo
n
n
n
y
x
y
x nn yx
33
3
3
88
642
2
4
8
64
pnn pxx
62333 64642864
n pp
n xx 81993 6
63
Propiedades de los radicales
nnn xwzxwxz 272423
0x
Propiedades de los Radicales
Ejemplo
nmnm xxxx 2222 33
xxxn nn n 77
3 3
pn npn np xxx 24 55
n pn pn nn np xxxxx 5555555 223
Paso de Radical a Exponente Fraccionario
n pb
Índice de la raíz
Exponente
3
73 7 55
Ejemplo
nm xx
De esta forma podemos operar con bases iguales bajo raíces distintas.
mn
mn
n
1
m
1
xxx
Ejemplos:
33 5 22 2
3
3
5
22 2
3
3
5
2
6
9
6
10
2
6
19
2
4 3
3 7
5
5
4
3
3
7
5
5 4
3
3
7
5
12
9
12
28
5
12
19
5
n
p
b
Indica cuales raíces tienen solución real y cuales no. Opera con las que tienen resultado
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Propiedades de los Radicales
16
49
25
3 64
3 125
5 1
4 1642
7
No pertenece a los
Números Reales
4 6443
5
Ningún número multiplicado un número par
de veces da un número negativo
12553
4 16 No pertenece a los
Números Reales
Ningún número multiplicado un número par
de veces da un número negativo
1 1
Opera y resuelve (aplica las propiedades de los radicales).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Propiedades de los Radicales.
33 24
3 72932 729
2
50
36 16
6216
3
125
8
3 24 3 8 2
6 729 3
2
50 25 5
6 3166 4096 4
6216 36 6
3
3
125
8
5
2
Factoriza la base y extrae los factores que se puedan de la raíz(aplica las
propiedades de los radicales).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Propiedades de los Radicales
8
3 81
5 87
3 42 1625
32 222 222 22
3 433 3 33 33 3 33
3 33
5 35 77 5 35 5 77
5 377
3 4422 25 3 164 25 3 153 2255
35 2525
3 115 3 29 55 3 23 9 55
3 23 55
72 23 32 22 322 232 22 232 26
3 10160
1
55
525
250
1
22
24
28
1
33
39
218
Opera y simplifica:
Descomponemos las bases de las raíces en sus factores primos.
Separamos las potencias de forma que el exponente sea
igual o múltiplo del índice de la raíz y así pueda salir.
En las raíces donde el exponente es igual o múltiplo del índice desaparece la raíz
1883502
1883502 2323252 232
23223252 222
23223252 2326210 213
Pasa a exponente fraccionario las raíces y el exponente fraccionario a raíz donde corresponda.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
De Radical a Exponente fraccionario y viceversa.
3 2
g)
h)
i)
j)
k)
l)
3 75
7
3 2
5 65
13
1
3
1
3
4
3
5
2
3
7
2
1
3
31
27
2
1
5
2
1
7
3
1
2
3
7
5
6 2 6
1
2
5
6
5
2
1
2
113
13
1
3 3
4 35
37
3
1
3
1
2
1
3 27
5
Opera con los radicales (pasa a exponente fraccionario) y deja el resultado en forma de raíz.
a)
b)
c)
d)
e)
Exponente fraccionario
53 44
33 77
7
3 5
6
6
3 42
5 33
4 33 53 222
3
1
2
3
77 3
1
2
3
7
6
2
6
9
7
6
11
76 117
5
1
6
1
44 5
1
6
1
4
30
6
30
5
4
30
11
430 114
56 44
2
7
3
5
6
6
2
7
3
5
6
6
21
6
10
6
6
11
6
6
11
6
1
6 116
1
3 45 2 33 3
4
5
2
33 3
4
5
2
3
15
20
15
6
3
15
26
315 263
4
3
3
5
2
3
222 12
9
12
20
12
18
2
12
47
212 472
Opera y simplifica:Aplicamos las propiedades de los
radicales que hemos visto unir
raíces y pasamos la raíz a
exponente
Utilizando las propiedades de las potencias, sumamos los exponentes de las BASES
IGUALES que se están MULTIPLICANDO y restamos los exponentes de aquellas que
están dividiendo.
6 35
3 44 67
xyy
xyx
6 35
3 44 67
xyy
xyx
12
1
12
3
6
5
3
4
8
6
2
7
xyy
xyx
12
1
4
1
6
5
3
4
4
3
2
7
xyy
xyx
12
1
4
1
6
5
4
3
3
4
2
7
xy
yx
12
1
12
3
12
10
4
3
6
8
6
21
xy
yx
12
1
12
13
4
3
6
29
xy
yx
12
13
4
3
12
1
6
29
yx
12
13
12
9
12
1
12
58
yx
12
4
12
57
yx
3
1
4
19
yx
3
4 19
y
x
333 375524813
1
33
39
327
381
1
33
26
212
224
1
55
525
5125
3375
3 33 33 4
333
3553233
375524813
33 333 333 3 35532333
333 35532333
Opera y simplifica:
Descomponemos las bases de las raíces en sus factores primos.
Separamos las potencias de forma que el
exponente sea igual o múltiplo del índice de la
raíz y así pueda salir.
En las raíces donde el exponente es igual o múltiplo del índice desaparece la raíz
3333 3143253239
30
14
60
109
12
11
30
2410
60
841508045
12
188183
dabdab
15
7
60
109
12
11
15
7
60
109
12
11
da
bdab
Aquí aplicamos suma de fracciones…
En aquellos casos en que la fracción se pueda simplificar es necesario hacerlo.
Las fracciones negativas pasan al denominador (Propiedades de las potencias) y
volvemos a transformar el exponente en raíz.
15 760 109
12 11
da
b
5 4753
3 2233 83
daab
dbbaab
5 4753
3 2233 83
daab
dbbaab
5
4
5
7
2
5
2
3
6
2
6
8
4
3
3
2
2
3
4
1
dab
dab
Opera y simplifica:
Aplicamos las propiedades de los radicales que hemos visto unir raíces y pasamos la
raíz a exponente
Utilizando las propiedades de las potencias, sumamos los exponentes de las BASES
IGUALES que se están MULTIPLICANDO y restamos los exponentes de aquellas que
están dividiendo.
5
4
5
7
2
5
2
3
6
2
3
2
2
3
6
8
4
3
4
1
daab
dbbaab
5
4
6
2
5
7
2
5
6
8
4
3
2
3
3
2
2
3
4
1
dab
30
14
60
109
12
11
30
2410
60
841508045
12
188183
dabdab
15
7
60
109
12
11
15
7
60
109
12
11
da
bdab
Aquí aplicamos suma de fracciones…
En aquellos casos en que la fracción se pueda simplificar es necesario hacerlo.
Las fracciones negativas pasan al denominador (Propiedades de las potencias) y
volvemos a transformar el exponente en raíz.
15 760 109
12 11
da
b
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