ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

CÁLCULO DIFERENCIAL

“TEOREMA DE LAGRANGE”

Instituto de Ciencias Matemáticas

Ejercicios y descargas ICM

Joseph-Louis de Lagrange

Joseph Louis Lagrange (25 de enero de 1736 - 10 de abril de 1813) fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.

Este teorema lo formuló Lagrange. También se conoce como teorema de los incrementos finitos o teorema de Bonnet-Lagrange. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el teorema más importante de cálculo. El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para probar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado [ a , b ].

Es una generalización del teorema de Rolle que dice que una función definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y que toma valores iguales en los extremos del intervalo, es decir que f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal es decir f '( c)=0.

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c en (a,b) donde:

ab

afbfXf

−−= )()(

)(' 0

H) f(x) es continua en [a,b] f(x) es derivable en (a,b)

T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Demostración

El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto es:

y = {[f(b) − f(a)] / [b − a]}(x − a) + f(a).

Donde los los pares de puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) son una pareja cualquiera de puntos de la curva y (x, f(x) ) representa la pendiente en un punto genérico x. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Sea S (x)= f (x)-g(x) donde g es la recta entre los puntos (a, f (a)) y (b, f(b)),

y-yo=m(x-xo)

entonces podemos obtener su ecuación:

)()()(

)( axab

afbfafy −

−−=− , es decir

y= g(x)= )()()(

)( axab

afbfaf −

−−+

Reemplazando, resulta S(x)= f(x)-

−

−−+ )(

)()()( ax

ab

afbfaf

Obtengamos S(a)= f(a)- 0)()()(

)( =

−

−−+ aaab

afbfaf y

S(b)= f(b)- 0)()()(

)( =

−

−−+ abab

afbfaf

Por tanto, ∃ xo ε (a,b) tal que S’(xo)

Para lo cual S’ (x)= f’(x)-

−−ab

afbf )()( y S’ (x) = f’ (xo)-

−−ab

afbf )()(=0

Por lo último f’ (xo)- ab

afbf

−− )()(

Ejemplos:

Para cada función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:

1. f (x) = x3 + x2 – x; [-2 , 1]

2. f (x) = (100 - x2) ½ = 2100 x−3. Encuentre el número “x0” garantizado por el teorema del valor medio para

derivadas si f(x) = 2 x en [1 , 4]

Solución:

1. Por ser f una función polinomial, es derivable para toda x ∈ R por lo que debe existir por lo menos un número c∈ [-2 , 1] tal que:

Además ƒ’ (x) = 3x2 + 2x - 1 por lo que ƒ’ (c) = 3c2 + 2c - 1

Como ƒ’ (c) = 1 entonces 3c2 + 2c – 1 por lo que

Luego en y en la recta

tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (-2 , -2) y (1 , 1).

2. Como ƒ es continua en el intervalo [-10 , 10]y derivable en el intervalo [-10 , 10] cumplirá ambas condiciones en el intervalo [-6 , 8] = [a , b]

Luego debe existir por lo menos un número c∈ [-6 , 8] tal que

Como ,

entonces por lo que

Resolviendo la ecuación se obtiene que o

Aunque ambos valores de pertenecen al intervalo [-6 , 8],se tiene que

únicamente cuando

Luego en la recta tangente es paralela a la recta secante

que pasa por los puntos (-6 , 8) y (8 , 6). Gráficamente se tiene:

3. Observe que f es continua en [ 1 , 4] y como f’(x) = x

1 por tanto es

diferenciable en (1 , 4) se cumplen las hipótesis del teorema del valor

medio, por tanto la existencia de x0 en (1 , 4) tal que, 14

)1()4()(' 0 −

−= ffxf

está garantizado y lo podemos encontrar. Para lo cual 0

0

1)('

xxf = y

14

)1()4(

−− ff

= 3

24−= 3

2

Igualando y despejando, resulta:

0

1

x = 3

2

x0 = 5

9 = 2.25

BIBLIOGRAFÍA

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio"

http://ballz.ababa.net/silvana/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node21.html

3. Observe que f es continua en [ 1 , 4] y como f’(x) = x

1 por tanto es

diferenciable en (1 , 4) se cumplen las hipótesis del teorema del valor

medio, por tanto la existencia de x0 en (1 , 4) tal que, 14

)1()4()(' 0 −

−= ffxf

está garantizado y lo podemos encontrar. Para lo cual 0

0

1)('

xxf = y

14

)1()4(

−− ff

= 3

24−= 3

2

Igualando y despejando, resulta:

0

1

x = 3

2

x0 = 5

9 = 2.25

BIBLIOGRAFÍA

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio"

http://ballz.ababa.net/silvana/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node21.html