TEOREMA DE PITÁGORAS

 

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 + b2 = c2

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Pitágoras generalizado

Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?

(Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobación numérica en las figuras que se representan)

 

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.

DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS

PITÁGORAS.

Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras.

A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad

a2 + b2 = c2

PLATÓN.

La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.

EUCLIDES.

La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.

 Elementos de Euclides. Proposición I.47.

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha.

La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color.

BHÂSKARA

¡ Mira !

PUZZLES PITAGÓRICOS.

A continuación se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitágoras en forma de puzzles. En todos ellos, las piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

1.- Los siguientes disecciones son válidas para cualquier triángulo rectángulo.

Se han ordenado de menos a mayor número de piezas que lo forman.

 

1. Ozanam 2.- Perigal 3.-

4. Anaricio 5. Bhâskara 6.-

7.- 8.-

2.- Los puzzles siguientes sólo son validos en el caso de que el triángulo rectángulo inicial sea el que se indica.

Triangulo Rectángulo Isósceles

Triangulo rectángulo 3,4,5 Cateto mayor / cateto menor = 2

Hipotenusa /cateto menor =3 Hipotenusa/cateto menor = 2

3.- Finalmente, dos puzzles especialmente interesantes. No solo prueban el teorema de Pitágoras, también el del cateto.

Son validos para triángulos rectángulos con los ángulos (excluido el recto) en el  intervalo que se indica en cada caso.

Para ampliar el intervalo de validez, hay que aumentar el número de piezas, y no puede generalizarse con un número finito.

Ángulos A y B mayor o igual que 30 y menor o igual que 60.

30 ≤ A ≤ 60;45 ≤ A ≤ 60; por tanto 30 ≤ B ≤ 45

Estas dos disecciones muestran gráficamente las demostraciones de Euclides y de Pappus. Con la limitación que se ha expresado anteriormente.

DEMOSTRACIONES ALGEBRAICAS.

Valiéndose de la construcción que se representa en cada caso, se han dado a lo largo de la historia excelentes y originales demostraciones, no tan visuales como las anteriores, pero si tanto o más elegantes.

Estás son algunas de las mas populares.

Pappus Ibn Qurra

Leonardo de Vinci Garfield Vieta

 

Otras demostraciones algebraicas.

 

Se ha dejado para el final una prueba  (posiblemente  desarrollada por el propio Pitágoras), que no precisa de figuras auxiliares. Es suficiente con un triángulo rectángulo.

 

 

Algunos autores, hablan de la existencia de hasta mil demostraciones diferentes del Teorema de Pitágoras. En 1927, E. S. Loomis publica The Pitagoream Proposition donde aparecen 367 pruebas.

 

 

PÁGINAS  SOBRE EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm La Gacetilla Matemática dedica un amplio espacio a este teorema.

http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/pitagoras/pitagoras.htm del departamento de matemáticas del IES Maria Moliner, Valladolid. Con Animaciones en Flash muy interesantes.

http://almez.pntic.mec.es/~jdec0000/geometria_dinamica_del_triangulo/teorema_de_pitagoras.htm con applet Descartes.

http://www.utp.ac.pa/articulos/pitagoras.html

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Teorema_de_Pitagoras/Pitagoras.htm Con applet Descartes.

http://www.ctv.es/USERS/pacoga/bella/htm/pitagora.htm de la excelente página Bella Geometría.

http://www.personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/Pit.pdf amplio e interesante documento.

 

Los sellos postales también rinden homenaje a Pitágoras y al teorema:

 

 

                                

Alguna de las demostraciones  y datos  expuestos se han tomado de :

-GONZALEZ URBANEJA, Pedro M., Pitágoras el filósofo del número. La Matemática en sus personajes, 9. Ed. Nivola. Madrid 2001. http://www.nivola.com/categorias.asp?cat=matensuspersonajes