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1.5 INTEGRAL DE LA POTENCIA DE UNA SUMA
La integral de la potencia de una función se obtiene aplicando:
1
; 11
nn v
v dv c nn
Ejercicios propuestos
32
2 2
3 3 2
2
1
2 221
2 2
2
3
( )2) ( ) ( )
3
;
6 14) 6 (5 3 )
( 8) 5 3
5 3 ; 6
26) 2 ( ) 2
( )
; 2
1 18) ( ) ( )
2 2 3
;
10
a bxa bx b dx c
v a bx dv bdx
xdxx x dx c
x x
v x dv xdx
xdxx a x dx a x c
a x
v a x dv xdx
a btbdt a bt bdt a bt c
v a bt dv bdt
1
2 22
2
(2 3) 1 1(2 3)(s 3 ) 3
4 24 3
s dss s ds s s c
s s
Casos especiales
2 3 2 42 3 2 3
2
2 22 2
2
1 1
3 2 3 2 3 32 2
3 2
1
2
(7 1) 1 1 (7 1)2) (7 1) (7 1) 14
2 2 28 112
7 1; 14
1 (2 )4) (2 ) 2 (2 )
2 4
2 ; 2
1 26) ( 2) ( 2) 3 ( 2)
3 9
2; 3
8) (4 ) 2
x xxdx x xdx x xdx c
v x dv xdx
xx x dx x x dx c
v x dv xdx
x x dx x x dx x c
v x dv x dx
x d
1
32
1
2 2 2 32
2
2 2 2 2
2 2 2
2
122 3 2
3
42 (4 ) (4 )
3
4 ;
1 110 3 2 4 (3 2 ) (3 2 )
4 6
3 2 ; 4
3 3 312 3 ( 3) 2 ( 3)
( 3) 2 2( 3)
3; 2
2 214) 2 ( )
3
x x dx x
v x dv dx
u u du u u du u c
v u dv udu
xdxx dx x x dx c
x x
v x dv xdx
x dxx a bx dx
a bx
1
2 3 32
3 2
1 1
2 2
2
2
4 2
43 ( )
3
: 3
116) (1 ) 2 (1 ) 4 1
2 2 2 21
2
11 ;
2 2
418)
( 2)
20
bx a bx dx a bx cb b
v a bx dv bx dx
dv v v vdv dv c
v
vv dv dv
x xdx
x
x x dx
1.6 INTEGRAL DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Una función exponencial es una potencia cuyo exponente es variable. En el
presente curso nos referimos a dos tipos de funciones:
Cuando la base es constante y el exponente es variable. Se expresa de manera
general ua y su integral queda definida por la expresión:
lna
vv a
a dv c
Cuando la base es la constante e (cuyo equivalente es el número 2.7182…) y el
exponente es variable; se expresa de manera general ve y su integral queda
definida por la siguiente expresión:
v ve dv e c
Ejercicios propuestos
2
2 2
2
2 2
22
55
2
2
4 4
4 4
1 82) 8
2 ln8
34) 3 5
ln
16) 2
2 2ln
; 2
1 108) 10 10 2
2 2ln10
; 2
1 110 7 7 4
7 4 7 (4ln 7)
4 ; 4
12) 5
xx
xx
xx x
x Hx H x H
x x
x x
dx c
aa dx c
a
baba xdx ba xdx c
a
v x dv xdx
xdx xdx c
v x H dv xdx
dxdx dx c
v x dv dx
e
22 2
1 1
2 2
1
2
1 1
2 2
1
2
1 55 2
2 2
2 ; 2
1 514) 5 5
;
116) ( ) 2 ( ) 2
2
1;
2
118) 2 2
2
1 1;
2 2
220) (2 )
tt t
ayay ay
xx x x
x xx x
x xx
edt e dt c
v t dt dt
ee dy e ady c
a a
v ay dv ady
edx e x dx e x dx e c
x
x x dv x dx
e dx e dx e dx e c
v x dv dx
edx e
x
1 1
2 2
1
2
2 2 4 2 4 2
22 2 2
1 2(2 )( ) 2 (2 )
2 ln(2 )
1;
2
122) ( 3) 6 9 3 9
4
4 1 2 424) 4 4 2 4
2
xx
x x x x x
xx x x
x x x x
x xx
ex dx e x dx c
e
v x dv x dx
e dx e dx e dx dx e e x c
edx e e dx e dx e e dx e dx e dx c
e ee
1 1
2 2
1
2
2 2 2
12) 2 2ln sec
2 2 2 2
1;
2 2
3 34) 3 2 3 2 2 2 ln 2
2 2
2 ; 2
16) (x) 2 ( ) 2 ln
2
1;
2
3 2 38) sec sec ln sec
3 2 3 3 2 3
x x xtg dx tg dx c
xv dv dx
ctg xdx ctg xdx ctg xdx sen x c
v x dv dx
ctg xdx ctg x dx ctg x x dx sen x c
x
v x dv x
x x xxdx xdx
2
2
3
2;
3 3
1 110) sec sec ln ln sec
ln ln
; ln
12) 2csc(3 2 ) ln csc(3 2 ) ctg(3 2 ) c
3 2 ; 2
1 114) (sec ) 2 sec 2 2ln sec 2ln c
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x x
xtg c
xv dv xdx
a a dx a a adx a tga ca a
v a dv a a
x dx x x
v x dv dx
x x x x x xtg dx dx tg dx tg
os2
1;
2 2
xc
xv dv dx
1.7 INTEGRALES EN QUE INTERVIENES LA TANGENTE, COTAGENTE,
SECANTE Y COSECANTE.
Las integrales a las que nos referiremos en este capítulo están dadas por las
siguientes expresiones:
ln ; ln sec
ln
sec ln sec
csc ln csc
tgvdv cosv c v c
ctgvdv senv c
vdv v tgv c
vdv v ctgv c
Ejercicios propuestos
2do caso Cuando el integrando es una fracción que tiene la forma
dv
v
Ejercicios propuestos
2
2
2 12) ln 3 cos2
3 cos2 2
3 cos2 ; 2 2
csc4) ln 3
3
3 ;dv csc
sen xdxx c
x
v x dv sen xdx
udu ctgu c
ctgu
v ctgu udu
3er caso
Algunas veces para integrar fracciones que contienen en su denominador la
función trigonométrica de una variable y en su numerador el diferencial de la
variable, para integrarse deberá primeramente factorizarse, enseguida sustituirla
por su identidad recíproca y después aplicar la fórmula de integración
correspondiente.
Ejercicios propuestos
2
2 2 2
2
2
1 1
2 2
1
2
2) ( ) ln cos( )( )
;
14) csc ( ) 2 csc ( ) 2 ln csc cot
2
1;
2
1 16) 2 ln cos
2 2
; 2
xx x x
x
x
bdt btg a bt dt a bt c
ctg a bt
v a bt dv bdt
adx a x x dx a x x dx a x x c
xsen x
v x dv x
xedx xtge dx xtge dx e c
ctge
v e dv xdx
1.8 INTEGTALES QUE CONDUCEN A LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En este apartado nos referiremos a las integrales que conducen a las funciones
trigonométricas, principalmente a las integrales de los diferenciales de las
funciones trigonométricas que están dadas por las siguientes expresiones y que
se obtienen a partir de sus derivadas.
2
2
cosv
cos
sec
csc
sec sec
csc csc
dv senv c
senvdv v c
vdv tgv c
vdv ctgv c
vtgvdv v c
vctgvdv v c
Ejercicios propuestos
2 2 2
2
122 2
12) cos 2 cos 2
2 2 2 2
1;
2 2
1 14) cos(1 ) 2cos(1 ) xdx (1 ) c
2 2
1 ; 2
2 4 1 46) ( ) ( ) cos( )
3 2 3 2 2 3 2
1 1;
2 2
csc (1 )8) csc (1 )( )
x x xdx dx sen c
xv dv dx
x xdx x sen x
v x dv xdx
x x xsen a dx sen a dx a c
v dv dx
xdx x x dx
x
1
2 2
1
2
2 2
12 csc (1 )( ) 2 (1 )
2
1;
2
10) sec
;
112) ( 4 sec ) 4 sec cos 4 2ln sec
2 2 4 2
2 2 214) 3 3 3
3csc3 3 9
x x x x
x x
x x dx ctg x
v x dv x dx
sene tge e dx e c
v e dv e dx
y y ysen y tg y dy sen ydy tg dy ydy y tgy c
dusen udu sen
u
2
cos39
udu u c
Caso especial
Para la integración de algunas expresiones racionales trigonométricas, cuyo
denominador es un binomio que no admite alguna sustitución, deberá multiplicarse
tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador y
enseguida hacer las operaciones y sustituciones necesarias.
Ejercicios propuestos
2
2 2 2
2 2
2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 12) 2 2 2 cos2 ( 2 )
1 cos2 1 cos2 1 cos 2 2 2
1 1 12 2csc 2 2cos2 ( 2 ) cot 2 cot 2 csc2
2 2 2
5 1 24)
1 2 1
dx x x x dxdx dx x sen x dx
x x x sen x sen x
xdx x sen x dx x c x x csen x
dx sen x
sen x
2
2 2
2 2
1 2 15 5 2 ( 2 )
2 cos 2 cos 2
1 1 5 5 1 5 55 sec 2 2 2 ( 2 ) 2 2 2
2 2 2 2 cos2 2 2
sen x dxdx sen x cos x dx
sen x x x
xdx sen x cos x dx tg x c tg x sen x cx
