República Bolivariana de VenezuelaMinisterio Popular de Educación Superior

Instituto Universitario de Tecnología“Antonio José de Sucre”

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Bachilleres: Jonathan Villarroel

Tecnol. Mecánica Mtto.

Puerto. La Cruz, julio 2.016

Profesora: Ranielina RondónMatemática IV

Definición de Transformada de Laplace

La transformada de Laplace: Es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución

de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de

una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático

o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la

función F(s), definida

Que quiere decir:Sea f una función definida para   , la transformada de Laplace de f(t) se define como 

 cuando tal integral converge

Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de

integración se considera constante

2. La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en

la variable s

3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:

1. De orden exponencial

2. Continua a trozos

Propiedades de la Transformada de Laplace:Suma y Resta

Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:

L { f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s)

Multiplicación por una constante

Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:

L { kf(t)} = kF(s)

Diferenciación

Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:

L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)

En general, para las derivadas de orden superior de f(t):

L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).

Teorema del Valor Inicial

Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:

Lím f(t) = Lím s F(s)

si el límite existe.

APLICACIONES La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales

que involucran funciones , periódicas, funciones discontinuas a trozos o

deltas de Dirac.

Ejemplo

Con la transformada de Laplace podemos resolver circuitos electrónicos en

este caso circuito RLC.

Iniciamos con la ecuación

Donde E(t) es la fuente, R el valor de la resistencia, L el valor del inductor y c el valor de la

capacitancia

Sustituimos los valores y nos queda

Aplicamos Laplace a toda la ecuación y obtenemos.

Multiplicamos 10s toda la ecuacion para simplificar

Aplicamos Laplace inversa

Tabla de Transformadas

1. Obtención  

 

2. Obtención

 

3. Obtención

 

4. Obtención  Para n entero

:   

5. Obtención  Para   

 Nota   sobre la función Gamma. 

6. Obtención  Para s > a

 

7. Obtención

 

8. Obtención  

 

9. Obtención  

 

10.Obtención  

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función

de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir 

si es que acaso 

Esta definición obliga a que se cumpla: 

y

Definición. Si la transformada de Laplace de una función

F(t) es f(s), es decir, si L |F(t)| = f(s),

entonces F(t) se llama una transformada inversa de Laplace de f(s) y se

expresa por F(t) = L-1 |f(s)| , donde L-1 se llama el operador transformada

inversa de Laplace. Como la transformada de Laplace de una función nula

N(t) es cero,

es claro que si

L |f(t)| = f(s) entonces L |F(t) + N(t)| = f(s).

De esto se deduce que puede haber dos funciones diferentes con la misma

transformada de Laplace.

Para demostrar algunos aspectos, tomemos el siguiente ejemplo, en el cual

dos funciones diferentes

F1 (t) = e-3t y F2(t) = 0 t =1

e-3t de otra manera tienen la misma transformada de Laplace,

es decir 1/(s + 3),

Si la consideramos las funciones nulas, vemos que la transformada inversa

de Laplace es única. Sin embargo, es única en cada intervalo 0<= t <= N y

de orden exponencial para t > N, aceptará siempre esa unicidad a menos

que se establezca claramente lo contrario. Tabla de transformadas inversas

de Laplace.

Tabla

F(s)

L-1{f(s) = F(t)

1. 1/s 12. 1/s2 T3. 1 / sn+1

n=0,1,2,...tn / n!

4. 1 / s-a eat5. 1 / s2+a2 sen at / a6. s / s2+a2 cos at7. 1 / s2-a2 sen h at / a8. s / s2 - a2 cos h at

PROPIEDAD DE LINEALIDAD.Teorema. Si c1y c2 son constantes arbitrarias y f1(s) y f2(s) son las

transformadas de F18t) y F2(t) respectivamente, entonces

L-1{c1f1(s) + c2f2(s)} = c1 L-1{f1(s)} + c2 L-1{f2(s)}

= c1F1(t) + c2F2(t)

Este resultado se puede extender fácilmente al caso de más de dos

funciones.

L-1 4/(s - 2) - 3s/(s2 + 16) + 5/(s2+ 4) =

4 L-1 1/(s - 2) - 3 L-1 s/(s2 + 16) + 5 L-1 1/(s2 + 4) =

= 4e2t - 3 cos 4t + 5/2 sen 2t

Debido a esta propiedad podemos decir que L-1 es un operador lineal o que

tiene propiedad de linealidad.

L-1 (5s + 4)/s2 - (2s - 18)/(s2 + 9) + (24 - 30 s )/s4 =

L-1 (5/s2) + (4/s3) - [2s /(s2 + 9)] + [18/ (s2 + 9)] + (24/s4) - (30/s7/2)

= 5t + 4(t2/2!) - 2cos3t + 18 [(sen3t)/3] + 24(t3/3!) - 30(t5/2/r(7/2)

= 5t + 2t2 - 2 cos 3t + 6 sen 3t + 4t3 - 16t5/2/ TT

Puesto que r(7/2)= 5/2 * 3/2 * ½ r(1/2) = (15 TT )/ 8.

Transformada inversa de Laplace aplicando fracciones parciales

1.- Determinar:

L-1 = 5

(s−2 ) (s−3 )(s−6)

La fracción parcial queda:

5(s−2 ) (s−3 )(s−6) = AS−2+ B

S−3 + CS−6

A (S – 3) (S – 6) + B (S –2) (S – 6) + C (S – 2) (S – 3) = 5

A (S2 – 6S -3S + 18) + B (S2 – 6S – 2S + 12) + C (S2 – 3S - 2S + 6) = 5

A (S2– 9S+ 18) + B (S2 – 8S + 12) + C (S2 -5S+ 6) =5

S2 (A + B + C) + S (-9A – 8B – 5C) + (18A + 12B + 6C) =5

A + B + C = 0 A= -B –C (I)

-9A – 8B – 5C = 0

18A + 12B + 6C = 5 (III)

-9(-B – C) – 8B – 5C = 0 9B + 9C – 8B – 5C = 0 B + 4C = 0 B = - 4C (II)

Introducir la ecuación I y II en la III

18 (-(-4C) – C) + 12(-4C) + 6C = 5

72C – 18C – 48C + 6C = 5 12 C = 5 C = 512

B = -4 512 B =

−2012 B =

−53

A = - −53 - 5

12 A = 53 - 5

12 A = 20−5

12 A = 1512

L-1 = 5

(s−2 ) (s−3 )(s−6) = 1512 L-1 1

S−2 _ 53 L-1 1

S−3 + 512 L-1

1S−6

= 1512 e 2t - 5

3 e 3t + 512 e 6t

2.- Determinar

L-1 = 1

(s2+1 )(s2+9)

La fracción parcial queda:

1(s2+1 )(s2+5)

= AS+BS2+1

+ CS+DS2+9

AS + B (S2 + 9) + CS +D (S2 + 1) = 1

AS3 + 9AS + BS2 + 9B + CS3 + CS + DS2 + D = 1

S3 (A + C) + S2 (B + D) + S (9A + C) + (9B + D) = 1

A + C = 0

B + D = 0

9A + C = 0

9B + D = 1

A = - C

B = - D

9 (-C) + C = 0 - 9C + C = 0 - 8C = 0 C = 0

A = 0

9 (-D) +D = 1 - 9D + D = 1 - 8D = 1

D = - 18

B = - ( - 18 ) B =

18

L-1 = 1

(s2+1 )(s2+9) = L-1

18S2+1

- L-1 18S2+9

= 18 L-1 1

S2+1 - 1

8∗3 L-1 3S2+9

= 14 Sen t -

124 Sen 3t

Transformada de Laplace aplicando la tabla

1.-Determine:

L = - 4 t2 + 16 t + 9 – cos 2 t

Utilizando la tabla de transformación se tiene:

= - 4 L t2 + 16 L t + 9 L 1 - L cos 2t

= - 4 2s3 + 16

1s2 + 9 2

s -

= -+ + -

2.-Determine:

L = t3 + 3 t – e4t + sen 4 t

Utilizando la tabla de transformación se tiene:

= L t3 + 3 L t - L e4t + L sen 4 t

= + - +

Transformada inversa de Laplace aplicando fracciones parciales

1.- L-1 = 2 s5

s2+5 s−14

Las raíces del denominador son:

S2 + 5s – 14 = (s + 7) (s -2)

La fracción parcial queda:

2 s5s2+5 s−14

= AS+7+ BS−2

2 s5(S+7 )(S−2)

= AS+7+ B

S−2

A (S - 2) + B(S + 7) = 2S – 5

As – 2A + Bs + 7B = 2s – 5

(A + B)s + (- 2A + 7B) = 2s – 5

A + B = 2 B = 2 – A

-2A + 7B =- 5

-2A + 7(2 – A) = -5

-2A +14 – 7A = -5

-9A + 14 = - 5

-9A = -5 – 14

-9A = - 19

A = −19−9 A=

199

B= 2 - 199

B = 18−19

9

B = −19

Por tanto:

L-1 = 2 s5

s2+5 s−14 = L-1 =

199s+7

+ −19s−2

= 199 L-1 1

S+7−1

9 L-1 1S−2

= 199 e-7t −1

9 e2t

2.- L-1 = 3

s (s2+9)

AS +

BS+C(s2+9) =

3s (s2+9)

A (s2 + 9) + (Bs +C)s = 3

As2 + 9A + Bs2 + C = 3

(A+ B)s2 + 9A + C = 3

A +B = 0

C= 0

9A = 3

A = 39 A=

13

A +B = 0

B = - A

B = −13

Por tanto:

L-1 = 3

s (s2+9)= L-1 =

13s +

−13s+0

(s2+9)

= 13 L-1 1

S−1

3L−1 s

(s2+9)

= 13−1

3 cos3t

Transformada de Laplace aplicando la tabla

1.-Determine:

L= 7t – 4 + 8 sen (9 t)

Usando la propiedad lineal tenemos:

L= 7t – 4 + 8 sen (9 t) = 7 L t - 4 L 1 + 8 L Sen (9t)

Utilizando la tabla de transformación se tiene:

7 L t - 4 L 1 + 8 L Sen (9t) = 7 1s2 – 4

1s + 8

9s2+92

= 7 1s2 – 4

1s+ 8

9s2+81

Aplicando algebra se tiene:

= 7 (s2+81 )−4 s (s2+81 )+8 s3

s2 ( s2+81 ) = 7 s2+567−4 s3−324 s+8 s3

s2 ( s2+81 )

= 567−324 s+7 s2+4 s3

s2 ( s2+81 )

Por tanto:

L= 7t – 4 + 8 sen (9 t) = 567−324 s+7 s2+4 s3

s2 ( s2+81 )

2.- Determine:

L = t2 – e-9t + 5 + (2t – 1)2

L = t2 – e-9t + 5 + 4t2 -4t + 1 L = 5t2 -4t + 6 – e-9t

Utilizando la tabla de transformación se tiene:

= 5 L t2 - 4 L t + 6 L 1 - L e -9t

= 5 2s3 – 4

1s2 + 6

2s – (-

1s+9 )

= 10s3 - 4

s2+ 12s +

1s+9

Por tanto:

L = t2 – e-9t + 5 + (2t – 1)2 = 10s3 - 4

s2+ 12s +

1s+9