TRIGONOMETRIA

1 Funciones trigonometricas

Definimos las funciones o razones trigonometricas del angulo de un triangulorectangulo como sigue

B

A

C

x

a

bc

a = Cateto adyacente al angulo x

b = Cateto puesto al angulo x

c = Hipotenusa

Donde a,b y c son las medidas de los respectivos lados

sin x =b

ccsc x =

c

b

cos x =a

csec x =

c

a

tan x =b

acot x =

a

b

1. Demostrar las siguientes igualdadesa) sin x csc x = 1 b) cos x sec x = 1 c) tan x cot x = 1

Solucion(a):Teniendo en cuenta el grafico de arriba tenemos que

sin x =b

cy csc x =

c

b

1

A. Naupay Gusukuma 2

luego multiplicando ambas funciones trigonometricas tenemos que

sin x csc x =b

c× c

b= 1 cqd.

(b) y (c) se dejan como ejercicios.

2. Hallar las todas las razones trigonometricas del triangulo rectangulo de37◦ y 53◦, de lados 3cm, 4cm y 5cmSolucion: Dibujemos el triangulo

53◦ 37◦

5cm

3cm 4cm

aplicando la definicion de funcion trigonoetrica tenemos que

sin 53◦ =4cm

5cm=

4

5cos 53◦ =

3

5tan 53◦ =

4

3cot 53◦ =

3

4

el resto queda como ejercicio.

3. En el triangulo rectangulo de angulos 37◦ y 53◦, el cateto opuesto a ha37◦ mide 6cm, hallar la medida de los otros dos lados.Solucion: Dibujemos el triangulo

53◦

B

C

6cm

A

Primero hallemos BC, de la definicion tenemos que

tan 53◦ =BC

6cmLuego despejando BC tenemos que

BC = tan 53◦ × 6cm =4

3× 6cm = 8cm

A. Naupay Gusukuma 3

2 Formulas de adicion

Las siguientes formulas, llamadas formulas de la adicion y diferencia, sonmuy importantes dentro de la trigonometrıa.

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x (seno de la suma)sin(x− y) = sin x cos y − sin y cos x (seno de la diferencia)cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y (coseno de la suma)cos(x− y) = cos x cos y + sin x sin y (coseno de la diferencia)

Estas son validas para cualquier medida del angulo x e y, acontinuacionveamos algunos problemas.

1. Demostrar que para cualquier angulo x e y se cumple la siguiente igual-dad.

sin(x + y) + sin(x− y) = 2 sin x cos y

Solucion: Usaremos las formulas de la adicion y diferencia del seno.

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x

sin(x− y) = sin x cos y − sin y cos x

Sumando las dos igualdades tenemos

sin(x+ y)+ sin(x− y) = sin x cos y +sin y cos x+sin x cos y− sin y cos x

haciendo un calculo de cancelacion y adicion en el lado derecho tenemos

sin(x + y) + sin(x− y) = 2 sin x cos y

como queriamos demostrar.

2. Demostrar que para cualquier angulo x e y se cumple la siguiente igual-dad.

cos(x + y) + cos(x− y) = 2 cos x cos y

3. Demostrar la siguiente igualdad.

cos(x− y)− cos(x + y) = 2 sin x sin y

Solucion: Usaremos las formulas de la adicion y diferencia del coseno.

cos(x− y) = cos x cos y + sin x sin y

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y

A. Naupay Gusukuma 4

Restando a la primera igualdad la segunda tenemos

cos(x−y)−cos(x+y) = cos x cos y+sin x sin y−(cos x cos y−sin x sin y)

cos(x−y)−cos(x+y) = cos x cos y+sin x sin y−cos x cos y+sin x sin y

cos(x− y)− cos(x + y) = 2 sin x sin y

como queriamos demostrar(cqd.)

4. Demostrar la siguiente igualdad.

cos(x + y) + cos(x− y) = 2 cos x cos y

5. Demostrar la siguiente igualdad.

sin 2x = 2 sin x cos x

Solucion: Usaremos el seno de la suma

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos y

reemplazando y por x, es decir haciendo y = x tenemos

sin(x + x) = sin x cos x + sin x cos x

esta tecnica se llama cambio de variable, luego operando tenemos

sin 2x = 2 sin x cos x

cqd.

6. Demostrar la siguiente igualdad.

cos 2x = cos2 x− sin2 x

7. Demostrar la siguiente igualdad.

sin(x+y+z) = sin x cos y cos z+cos x sin y cos z+cos x cos y sin z−sin x sin y sin z

Solucion: Aplicamos la formula del seno de la suma en sin(x + y + z),tomando x + y como si fuera una sola variable

sin(x + y + z) = sin(x + y) cos z + sin z cos(x + y)

A. Naupay Gusukuma 5

esta tecnica es muy util al momento de aplicar formulas, luego aplicandolas formulas de adicion respectivamente

sin(x+y+z) = (sin x cos y+sin y cos x) cos z+sin z(cos x cos y−sin x sin y)

sin(x+y+z) = sin x cos y cos z+sin y cos x cos z+sin z cos x cos y−sin z sin x sin y

reordenando tenemos

sin(x+y+z) = sin x cos y cos z+cos x sin y cos z+cos x cos y sin z−sin x sin y sin z

cqd.

8. Demostrar la siguiente igualdad.

cos(x+y+z) = cos x cos y cos z−sin x cos y sin z−cos x sin y sin z−sin x sin y sin z

9. Demostrar la siguiente igualdad.

sin(x + y) cos y − cos(x + y) sin y = sin x

10. Demostrar las siguientes igualdades.

(a) sin(x + y) sin(x− y) = sin2 x− sin2 y

(b) sin 3x = 3 sin x− 4 sin3 x

(c) cos 3x = 4 cos3 x− 3 cos x