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Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

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UN BREVE RESUMEN DE

ÁLGEBRA LINEAL

Juan A. Álvarez A.

UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO - FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS YTECNOLOGÍAS - PROGRAMA DE FÍSICA - CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL

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UN BREVE RESUMEN DE

ÁLGEBRA LINEAL

Perspectiva de un estudiantePerspectiva de un estudiante

Juan Alejandro Álvarez Agudelo

UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO - FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS YTECNOLOGÍAS - PROGRAMA DE FÍSICA - CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL

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INDICE DE TÍTULOS Y SUBTÍTULOS

CAPÍTULO 2: SISTEMAS LINEALES PÁGINA

INTRODUCCIÓN 1FORMAS DE LOS SISTEMAS LINEALES 2OPERACIONES ELEMENTALES EN LOS SISTEMAS DE ECUACIONES 3ELIMINACIÓN GAUSSIANA 4VARIABLE LIBRE 5

CAPÍTULO 3: ESPACIOS LINEALES PÁGINA

INTRODUCCIÓN 1AXIOMAS 2PROPIEDADES 3SUBESPACIOS 4SUBESPACIOS TRIVIALES Y SUBESPACIOS PROPIOS 5ESPACIOS GENERADOS POR VECTORES

CAPÍTULO 4: DEPENDENCIA LINEAL PÁGINA

INTRODUCCIÓN 1ECUACIÓN DE DEPENDENCIA LINEAL 2DEPENDENCIA LINEAL DE DOS VECTORES 3DEPENDENCIA LINEAL DE MAS DE DOS VECTORES 4DEPENDENCIA LINEAL POR EL DETERMINANTE (OTRO MÉTODO) 5DIMENSIÓN Y BASE 6CONDICIÓN DE BASE 7RANGO DE UNA MATRIZ 8RANGO FILA 9RANGO COLUMNA 10ESPACIO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA HOMOGÉNEO Y SU DIMENSIÓN 11ESPACIO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA NO-HOMOGÉNEO 12SOLUCIÓN BÁSICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES 13

CAPÍTULO 5: TRANSFORMACIONES LINEALES PÁGINA

INTRODUCCIÓN 1CRITERIOS DE LINEALIDAD POR INSPECCIÓN 2TRANSFORMACIONES LINEALES INDUCIDAS POR MATRICES 3GENERALIZANDO 4MATRICES INDUCIDAS POR TRANSFORMACIONES LINEALES 5VECTOR IMAGEN 6TRANSFORMACIONES LINEALES ESPECIALES (ROTACIONES) 7PROYECCIONES DE UN ESPACIO R2 SOBRE UN VECTOR 8NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN 9RANGO DE UNA TRANSFORMACIÓN 10AXIOMAS 11TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA LINEAL (TFAL) 12

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CAPÍTULO 6: VECTORES Y VALORES PROPIOS PÁGINA

INTRODUCCIÓN 1IDEA GENERAL 2RESTRICCIONES 3CONCEPTOS BÁSICOS 4ECUACIONES DE VECTORES Y VALORES PROPIOS 5POLINOMIO CARACTERÍSTICO 6ECUACIÓN CARACTERÍSTICA 7PROPIEDADES DE TEOREMAS DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS 8

CAPÍTULO 7: SEMEJANZA Y DIAGONALIZACIÓN PÁGINA

INTRODUCCIÓN 1DIAGONALIZACIÓN 2ALGORITMO DE DIAGONALIZACIÓN 3

CAPÍTULO 1: VECTORES Y MATRICES

INTRODUCCIÓN

En�������������������������������������������������

������������������-

CAPÍTULO 2: SISTEMAS LINEALES

INTRODUCCIÓN

En este capítulo desarrollaremos un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales de varias variables. Elmetodo, llamado eliminacion Gaussiana, consiste en simplicar repetidamente el sistema hasta que la solución seaevidente. El metodo de eliminacion Gaussiana tambien se puede usar para determinar si un sistema dado tiene ono solucion o si tiene in�nitas soluciones. Finalmente, la eliminacion Gaussiana tambien se usará para hallar lainversa de una matriz y el rango.

• La solución de un sistema lineal es un vector.• Un sistema lineal puede tener in�nitas soluciones, es decir in�nitos vectores que son soluciones del sistema,éste conjunto de vectores se denomina espacio vectorial o lineal.• Cuando un sistema lineal tiene in�nitas soluciones, una de sus ecuaciones es degenerada.• Una ecuación lineal es degenerada si todos sus coe�cientes son ceros y esta agualada a cero.• Una ecuación lineal es inconsistente si todos sus coe�cientes son ceros y no esta agualada a cero.• Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales.• Un sistema lineal puede no tener solución �inconsistente�.• Un sistema lineal insoluble (inconsistente) posee una ecuacion lineal degenerada no igual a cero osea unaecuación inconsistente.• La �primer variable� es la variable que esta a la izquierda y es diferente de cero.• Un sistema lineal es homogéneo, si todas sus ecuaciones lineales son iguales a cero.• El vector cero siempre es una solución de un sistema lineal homogéneo y es llamada solución trivial.

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• El Método de Gauss-Jordan es lo mismo que decir Eliminación Gaussiana.

Formas de los sistemas lineales

1) Sistema de ecuaciones lineales 3x3, el cual puede tener como solución un vector o un conjunto de vectores.

3x+ y + 4z = 60

x+ 3y − z = 15

2x+3

2y − z = 11

2) Sistema lineal homogéneo el cual tiene mínimo una solución, la trivial.

3x+ y + 4z = 0

x+ 3y − z = 0

2x+5

2y − 4z = 0

3) Ecuación degenerada.0x+ 0y + 0z = 0

4) Ecuación inconsistente (no representa la realidad) .

0x+ 0y + 0z = 15

5) Sistema lineal inconsistente y/o insoluble.

9x+ y + 4z = 60

x+ 3y − z = 3

0x+ 0y − 0z = 15

6) Sistema lineal en forma vectorial.

x

321

+ y

132

+ x

4−1−1

=

601511

7) Sistema lineal en forma matricial. 3 1 4

2 3 −11 3

2 −1

xyz

8) Sistema lineal en forma de matriz aumentada. 3 1 4

2 3 −11 3

2 −1

∣∣∣∣∣∣601511

9) Sistema de ecuaciones en forma triangular.

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3x+ y + 4z − 3w = 60

3y − 2z + 5w = 15

3z + 2w = 11

9w = 3

10) Sistema de ecuaciones en forma diagonal.

3x = 603y = 15

11z = 113w = 3

Operaciones elementales en los sistemas de ecuaciones

1) Intercambio de dos �las: Fi ↔ Fj .

Ejemplo, F1 ↔ F2 3x +y +4z = 60x +3y −z = 152x + 3

2y −z = 11

F1 ↔ F2 =⇒

x +3y −z = 153x +y +4z = 602x + 3

2y −z = 11

2) Múltiplo escalar diferente de cero: αFi.

Ejemplo, 13F1 3x +y +4z = 60

x +3y −z = 152x + 3

2y −z = 11

1

3F1 =⇒

x + 13y + 4

3z = 20x +3y −z = 152x + 3

2y −z = 11

3) Suma o resta de un múltiplo escalar de otra �la: Fi ± αFj .

Ejemplo, F3 − 2F1 x +y +4z = 609x +3y −z = 152x + 3

2y −z = 11

F3 − 2F1 =⇒

x +y +4z = 609x +3y −z = 150 − 1

2y −9z = −109

ELIMINACIÓN GAUSSIANA

En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan,es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrarmatrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus solucionesmediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que laanterior. El método de Gauss transforma la matriz de coe�cientes en una matriz triangular superior luego continúael proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

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Aunque el método de Eliminación Gaussiana, es bastante sencillo, puede no ser así la explicación, claro esta que,una vez que lo comprendamos resultará hasta curioso cómo algo tan sencillo proporciona resultados tan complejos.Ahora, el algoritmo dado a continuación requiere que tengamos bien claro el capítulo hasta aquí, puesto que noserá tan detallado, ya que el detalle y los conceptos ya se han dado, échale ganas y vamos a aplicarlos:

1) Tranformar el sistema de acuaciones lineales en forma de matriz aumentada.2) El primer elemento de la primer columna debe ser diferente de cero.3) Convertir en uno (1) el primer elemento de la primera columna.4) Los elementos restantes de la primer columna convertirlos en cero (0) modi�cando respectivamente las �las.5) Convertir en uno (1) el segundo elemento de la segunda columna.6) Los elementos restantes de la segunda columna convertirlos en cero (0) modi�cando respectivamente las �las.7) Convertir en uno (1) el n-ésimo elemento de la n-ésima columna.8) Los elementos restantes de la n-ésima columna convertirlos en cero (0).

Los últimos dos items del algoritmo se repiten hasta que no hallan columnas para pivotear.Pivotear es convertir el elemento principal de una columna en uno (1), denominado éste como pivote de la

columna, el cual permite convertor el resto de elementos de la columna en ceros (0s).Es decir, si la matriz aumentada tiene 4 columnas (sin contar la última columna de la derecha que no son

coe�cientes) el pivote se realiza cuatro veces si es posible.

Recordemos...

Nuestro objetivo al pivotear: 1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣a ∈ Rb ∈ Rc ∈ R

una bella solución al sistema.

Si nos resulta: 1 0 00 1 00 0 0

∣∣∣∣∣∣a ∈ Rb ∈ Rc 6= 0

boring! el sistema es inconsistente y no tiene solución, no representa la realidad!!!

Si nos resulta: 1 0 00 1 00 0 0

∣∣∣∣∣∣a ∈ Rb ∈ R

0

wow! el sistema tiene in�nitas soluciones, ya que una de sus variables es libre y le podemos asignar cualquier

valor, alguna o ambas de las variables restantes dependen de ésta variable libre, ¾entonces?. El gran conjunto devectores solución para un sistema como éste, es denominado un espacio lineal, y, eso es tema del próximo capítulo,mejor, veamos algunos ejemplos.

Ejemplo:

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3x+ 2y + z = 1

2x+ 2y + 4z = −2

−x+1

2y − z = 0

3 2 12 2 4−1 1

2 −1

∣∣∣∣∣∣1−20

F1 ↔ −F3 =⇒

1 − 12 1

2 2 43 2 1

∣∣∣∣∣∣0−21

F2 − 2F1

F3 − 3F1=⇒

1 − 12 1

0 3 20 7

2 −2

∣∣∣∣∣∣0−21

1

3F2 =⇒

1 − 12 1

0 1 23

0 72 −2

∣∣∣∣∣∣0− 2

31

F1 + 12F2

F3 − 72F2

=⇒

1 0 43

0 1 23

0 0 − 133

∣∣∣∣∣∣− 1

3− 2

3103

− 3

13F3 =⇒

1 0 43

0 1 23

0 0 1

∣∣∣∣∣∣− 1

3− 2

3− 10

13

F1 − 43F3

F2 − 23F3 1 0 0

0 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣913− 2

13− 10

13

Así, el sistema tiene una única solución dado por el vector s =

(913 ,−

213 ,

1013

). Otra representación de la respuesta

es

x = 913

y = − 213

z = − 1013

Otro ejemplo:

−x+ 0y + 3z = 16

2x+ 7y + 3z = −6

−x+ 7y + 12z = 41

−1 0 32 7 3−1 7 12

∣∣∣∣∣∣16−641

− F1 =⇒

1 0 −32 7 3−1 7 12

∣∣∣∣∣∣−16−641

F2 − 2F1

F3 + F1=⇒

1 0 −30 7 90 7 9

∣∣∣∣∣∣−162625

1

7F2 =⇒

1 0 −30 1 9

70 7 9

∣∣∣∣∣∣−16267

25

F3 − 7F2 =⇒

1 0 −30 1 9

70 0 0

∣∣∣∣∣∣−16267−1

Así, el sistema no tiene solución, es decir es un sistema inconsistente que no representa la realidad, por tanto es

insoluble.Otro ejemplo:

Page 9: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

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x− y + 2z = 2

2x+ 2y + 4z = 8

−x+ 5y − 2z = 2

1 −1 22 2 4−1 5 −2

∣∣∣∣∣∣282

F2 − 2F1

F3 + F1=⇒

1 −1 20 4 00 4 0

∣∣∣∣∣∣244

1

4F2 =⇒

1 −1 20 1 00 4 0

∣∣∣∣∣∣214

F1 + F2

F3 − 4F2=⇒

1 0 20 1 00 0 0

∣∣∣∣∣∣310

Así, el sistema no tiene una única solución, si no, in�nitas soluciones dadas por el vector s = (3− 2z, 1, z). Otra

representación de la respuesta es

x = 3− 2zy = 1z = z

, a este tipo de soluciones se le llama solución general, una solución

particual para este sistema consiste en asignarle a z un valor, del cual a su vez depende x. En este caso x es unavariable dependiente, y es un valor determinado o �jo, y z es una variable independiente o libre.

Variable libre

Una variable libre o independiente, en un sistema de ecuaciones lineales, es una variable que no proporciona lainformación necesaria para resolver el sistema, sin embargo, algunas de las variables restantes en el sistema dependende ésta variable libre, representado entonces, in�nitas soluciones al asignarle cualquier valor a dicha variable.

Una variable LIBRE, NO es la primer variable (a la izquierda diferente de cero) en ninguna de las ecuaciones deun S.L.

Ejemplo:

3v + 2w − 5x+ 4y + z = 2

2x− 3y + 4z = 7

9y − 5z = 0

En este S.E.L como esta organizado, las variables libres son: w y z.

2x+ y + z = 3

4y − 3z = 1

5z = 4

En este S.E.L como todas las variables son en alguna ecuación la primer variable, no hay variables libres.

x+ 2y = 3

2x+ 10y = 25

En este S.E.L no aplica el concepto de variable libre, ya que no es escalonado.

Page 10: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

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TEOREMA#2.1

Dado un S.E.L escalonado con m ecuaciones y n variables. Entonces:

i) Si m = n el sistema esta en forma triangular y tiene solución única.ii) Si n > m el sistema no esta en forma triangular y tiene n−m variables libres e in�nitas soluciones.

Ejemplo:

Ahora con todos nuestros conocimientos vamos a desarrollar un ejemplpo bien dinámico, de caracter no muyfísico ni cienti�co, pero pedagogicamente bien interesante.

Una compañia que produce ensaladas denominadas, en salada roja, ensalada verde y ensalada dulce, requierebajo ciertas condiciones conocer cuantas ensaladas debe producir para obtener los bene�cios deseados.

Las condiciones de ensalada y fuerza laboral, junto con los bene�cios deseados por cada tipo de ensalada, estánresumidas en la siguiente tabla.

La compañia dispone de 490 kilogramos de ensalada, dispone ademas de 40 horas laborales; �nalmente la com-pañia quiere obtener un bene�cio de $1130 unidades monetarias.

¾Cuantos kilogramos de cada ensalada deben producrise para conseguir el bene�cio deseado, con las condicionesdadas?

Vamos a tomar como variable a cada una de las cantidades de cada tipo de ensalada.

x = Kg de ensaladaRoja

y = Kg de ensalada V erde

z = Kg de ensaladaDulce

Usando el peso de cada ensalada, y el hecho de que se tienen 490kg de ensalada en total, obtenemos la siguienteecuación, que nos describe cuantas ensaladas rojas (x), verdes (y) y dulces (z) son necesarias para que constituyanun peso de 490kg.

3x+ 2y + 4z = 490

Page 11: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

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Usando el tiempo en que se demora realizar cada ensalada, y el hecho de que se tienen disponibles 40hrs detiempo laboral, obtenemos la siguiente ecuación, que nos describe cuantas ensaladas rojas (x), verdes (y) y dulces(z) se pueden hacer en el tiempo requerido.

1

4x+

1

5y +

1

4z = 40

Usando el valor monetario de cada ensalada, y el hecho de que requiere vender $1130, obtenemos la siguienteecuación, que nos describe cuantas ensaladas rojas (x), verdes (y) y dulces (z) hay que vender para obtener el montodeseado.

6x+ 6y + 8z = 1130

En cada caso por separado se pueden hallar valores diferentes de x, y, z que satisfagan el requerimiento, pero elpropósito es hallar valores de x, y, z que satisfagan simultaneamente todos los requerimientos.Veamoslo así: A lacompañia no le podemos decir que para hacer un total de ensaladas que pesen 490kg hay que producir 20 rojas, 15verdes y 18 dulces, que para ocupar adecuadamente las horas laborales disponibles hay que producir 23 rojas, 19verdes y 19 dulces y que para obtener el bene�cio deseado hayq ue producir 25 rojas, 15 verdes y 14 dulces. Lacompañia nos va a decir que a la �nal cual de las tres cantidades de ensaladas son las que hay que producir, ½queconfusión!.

Necesitamos tres cantidades en kilogramos exactas de cada tipo de ensaladas que satisfagan simultaneamente lostres requerimientos.

3x+ 2y + 4z = 4901

4x+

1

5y +

1

4z = 40

6x+ 6y + 8z = 1130

La solución a nuestro dilema consiste en solucionar nuestro sistema de ecuaciones lineales resultante del analisishecho, ½Cuidado! si no hemos entendido de donde han salido nuestras tres ecuaciones las cuales conforman el sistemade ecuaciones, retoma el ejercicio hasta entenderlo, porque ya sabemos que solucionar este sistema es sencillisimo,y no es seguro que lo solucionemos, pero si que obtendremos respuesta, puede tener tener una solución (lo ideal),tener in�nitas o no tener soluciones.

14

15

14

3 2 46 6 8

∣∣∣∣∣∣404901130

4F1 =⇒

1 45 1

3 2 46 6 8

∣∣∣∣∣∣1604901130

F2 − 3F1

F3 − 6F1=⇒

1 45 1

0 − 25 1

0 65 2

∣∣∣∣∣∣16010170

− 5

2F2 =⇒

1 45 1

0 1 − 52

0 65 2

∣∣∣∣∣∣160−25170

F1 − 45F2

F3 − 65F2

=⇒

1 0 30 1 − 5

20 0 5

∣∣∣∣∣∣180−25200

1

5F3 =⇒

1 0 30 1 − 5

20 0 1

∣∣∣∣∣∣180−2540

F1 − 3F3

F2 + 52F3

=⇒

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣607540

Page 12: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

12

Estimada compañia productora de ensaladas, las ensaladas que debe producir para obtener lo que desea son: 60ensaladas rojas, 75 ensaladas verdes y 40 ensaladas dulces.

CAPÍTULO 3: ESPACIOS LINEALES

INTRODUCCIÓN

En el capítulo anterior vimos que al resolver un sistema lineal de ecuaciones hay tres posibilidades: El sistemaes inconsistente (no soluble), tiene una solución única, o tiene in�nitas soluciones. Éste último caso es el de mayorimportancia, por dos razones. La primera es que al tener soluciones, es consistente y representa adecuadamente larealidad. De otro lado, por tener in�nitas soluciones, es posible escoger una de interes

particular. Ahora bien, si un S.L tiene in�nitas soluciones, no es cierto que cualquier vector es una solución delsistema. La pregunta que surge ahora es: ¾Si un sistema tiene in�tas soluciones, de qué manera se puede

describir todos los vectores que son sus soluciones? El intento por responder a este interrogante nos lleva a lanocion de espacio lineal o espacio vectorial.

Un espacio vectorial está conformado por cuatro elementos:

Se dice que un conjunto no vacio V , tiene una estructura de espacio lineal, si posee una operación de adicióny una multiplicación por escalares de un campo o cuerpo numérico que satisface los siguientes axiomas:

AXIOMAS

1) Ley de Composición Interna: ∀u, v ∈ V =⇒ u+ v ∈ V2) Asociatividad vectorial: ∀u, v, w ∈ V =⇒ (u+ v) + w = u+ (v + w)3) Asociatividad escalar: ∀α, β ∈ F ∧ ∀u ∈ V =⇒ (αβ)u = α(βu)4) Distributiva vectorial: ∀α ∈ F ∧ ∀u, v ∈ V =⇒ α(u+ v) = αu+ αv5) Distributiva escalar: ∀α, β ∈ F ∧ ∀u ∈ V =⇒ (α+ β)u = αu+ βu6) Conmutatividad vectorial: ∀u, v ∈ V =⇒ u+ v = v + u7) Vector neutro: ∃ un vector O ∈ V : u+O = u, ∀u ∈ V8) Inverso aditivo: ∀u ∈ V ; ∃ − u ∈ V : u+ (−u) = O9) Combinativa o multiplo escalar: ∀α ∈ F ∧ ∀u ∈ V =⇒ αu ∈ V10) Unicidad de F : ∀u ∈ V ∧ 1 ∈ F =⇒ 1u = u

PROPIEDADES

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1) Anulativa:

Si V es un espacio lineal, entonces, para cualquier escalar α y cualquier vector u, se tiene:

αu = O ⇐⇒ α = 0 ∨ u = O

Prueba:

0u = (α− α)u

= (αu− αu)

= O

αO = α(u− u)

= (αu− αu)

= O

2) Unicidad:

En un espacio vectorial V , tanto el vector cero (O), como el inverso (−u) de un vector u, son únicos.

Prueba:

u+Oo = u

u+O = u

Oo = Oo +OOo = O

Sea uo ∈ V : u+ uo = O =⇒ veamos que u = uo

Por modulativa

uo = uo +OPor invertiva

uo = uo + (u− u)

Por asociativa

uo = (uo + u)− uPor hipotesis

uo = O − uPor modulativa

uo = −u

3) Notación del inverso:

Si V es un espacio vectorial, para cualquier escalar α y cualquier vector u, se tiene:

Page 14: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

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(−α)u = α(−u) = −(αu)

Como por asociativa escalar (−α)u = −(αu) entonces por transitividad basta con probar que(−α)u = α(−u) o α(−u) = −(αu).

Veamos

(−α)u = α(−u)

(−α)u+ αu = α(−u) + αu

(α− α)u = (u− u)α

0u = OαO = O

Los sistemas homogeneos no son inconsistentes, ya que tienen al menos una solución, (la solución trivial o elvector cero), por otro lado, si un sistema homogéneo tiene mas de una solución, implica que tiene in�nitassoluciones; dichas soluciones forma un conjunto llamado �espacio lineal�. Ésto lo que expresa el siguienteteorema.

TEOREMA#3.1

Si u y v son soluciones del sistema homogéneo AQ = O, entonces, cualquier combinación lineal de u y ves tambien una solución.

Prueba: AQ = A(αu+ βv) = A(αu) +A(βv) = α(Au) + β(Av) = αO + βO = O; así, A(αu+ βv) = O.

SUBESPACIOS

�Consideremos lo siguiente, todo espacio lineal es un conjunto, pero no todo conjunto es un espacio lineal�.Se dice que un subconjunto U de un espacio lineal V , es un subespacio de V , si U como tal, es un espaciolineal, con las operaciones de adición y multiplicación escalar de�nidas en V y todas aquellas propiedades yaxiomas que conlleva un espacio lineal.

El siguiente teorema dice que hay que hacer para determinar si un subconjunto es un subespacio.

TEOREMA#3.2

Un subconjunto no vacio U de un espacio lineal V sobre un campo de escalares F es un subespacio de V , síy sólo si:

i) ∀u, v ∈ U , u+ v también ∈ U .ii) ∀u ∈ U, ∀α ∈ F , αu también ∈ U .

Page 15: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

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Las condiciones i) y ii) del teorema anterior se pueden reunir en una sola, y reexpresar así:

∀u, v ∈ U ; ∀α, β ∈ F ; tambien αu+ βv ∈ U

Subespacios triviales y subespacios propios

Para cualquier espacio lineal V , el conjunto {O} que consta sólo del vector cero de V es un subespacio trivialde V (subespacio cero).Otro subespacio trivial es el mismo subespacio V .Estos dos conjuntos son los únicos subespacios triviales.Cualquier otro subespacio de un espacio lineal V se llama �subespacio propio de V �.

Ejemplo:

Muestre que el conjunto U ={

(x, y) ∈ R2 : 2x− 6y = 0}, es un subespacio de R2. Para ver esto:

i) Tomemos u1, u2 ∈ U arbitrarios, y veamos que u1 + u2 ∈ U .u1 = (x1, y1) :

u2 = (x2, y2) : 2x2 − 6y2 = 0

Ahora,

u1 + u2 = (x1, y1) + (x2, y2)

= (x1 + x2, y1 + y2)

Luego,

2(x1 + x2)− 6(y1 + y2) = 0

(2x1 + 2x2)− (6y1 + 6y2) = 0

2x1 − 6y1 + 2x2 − 6y2 = 0

0 + 0 = 0

0 = 0

Así, u1 + u2 ∈ U .

ii) Ahora para todo α ∈ R veamos que αu1 ∈ U .

αu1 = (αx1, αy1) : 2(αx1)− 6(αy1) = 0

Luego,

α(2x1 − 6y1) = 0

α0 = 0

0 = 0

Así, αu1 ∈ U .

Concluimos que por el teorema#3.2, U es un subespacio de R2.

Page 16: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

16

El subespacio U consiste de todas las soluciones de la ecuación 2x− 6y = 0, geométricamente U es la rectade R2 que pasa por el origen.

Otro ejemplo:

Veamos que el primer cuadrante del plano coordenado nó es un subespacio. Esto es,U =

{(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0

}no es un subespacio de R2; pero si es un subconjunto del plano

coordenado.

¾Pero, por qué U no es un subespacio?

Si nos �jamos bien, éste subconjunto cumple con 9 de los 10 axiomas de los espacios lineales. ¾Cuál es?

Dado que cualquier vector no cero de U no posee su correspondiente par ordenado en el mismo cuadrante,entonces U no es un subespacio de R2. (−u /∈ U)

Ejemplo:

Mostrar que el subconjunto de vectores pertenecientes a R3, V ={

(x, 0, z) ∈ R3}, es un subespacio de R3.

Sea u = (x1, 0, z1) ∈ V ySea v = (x2, 0, z2) ∈ V .Entonces,

i)

u+ v = (x1, 0, z1) + (x2, 0, z2)

u+ v = (x1 + x2, 0, z1 + z2)

Luego, u+ v tambien ∈ V .

ii) ∀α ∈ Rαu = α(x1, 0, z1)

αu = (αx1, 0, αz1)

Page 17: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

17

Luego, αu tambien ∈ V .

Así, por el teorema#3.2, U es un subespacio de R3.

Ejemplo:

Mostrar que los vectores en R3, ortogonales a un vector �jo perteneciente a R3 es un subespacio de R3. Es decir,mostrar que V =

{(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z)(1, 2, 3) = 0

}es un subespacio de R3. (el vector �jo puede ser arbitrario

en éste ejemplo (1, 2, 3)).

Sea u, v ∈ V , entonces,u = (x1, y1, z1) con (x1, y1, z1)(1, 2, 3) = 0

v = (x2, y2, z2) con (x2, y2, z2)(1, 2, 3) = 0

Veamos que u+ v ∈ V :u+ v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)

u+ v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

con

(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)(1, 2, 3) = (x1 + x2 + 2y + 2y2 + 3z1 + 3z2)

(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)(1, 2, 3) = (x1 + 2y1 + 3z1) + ((x2 + 2y2 + 3z2))

(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)(1, 2, 3) = 0 + 0

(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)(1, 2, 3) = 0

Ahora, veamos que ∀α ∈ R:αu = α(x1, y1, z1)

αu = (αx1, αy1, αz1)

con

(αx1, αy1, αz1)(1, 2, 3) = (αx1 + 2αy1 + 3αz1)

= α(x1, 2y1, 3z1)

= α0

= 0

Así, V es un subespacio de R3.

Ejemplo:

Muestre que toda recta que pasa por el origen es un subespacio de R2. Esto es que, L ={

(x, y) ∈ R2 : ax+ by = 0}

es un subespacio de R2.

Sea u, v ∈ L, entonces,u = (x1, y1) con ax1 + by1 = 0

v = (x2, y2) con ax2 + by2 = 0

Page 18: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

18

Veamos que u+ v ∈ L:u+ v = (x1 + x2, y1 + y2)

con

a(x1 + x2) + b(y1 + y2) = ax1 + ax2 + by1 + by2

a(x1 + x2) + b(y1 + y2) = (ax1 + by1) + (ax2 + by2)

a(x1 + x2) + b(y1 + y2) = 0 + 0

a(x1 + x2) + b(y1 + y2) = 0

Ahora, veamos que ∀α ∈ R:αu = (αx1, αy1)

con

a(αx1) + b(αy1) = α(ax1 + by1)

= α(x1, 2y1, 3z1)

= α0

= 0

Así, por el teorema#3.2 L es un subespacio de R2.

Ejemplo:

Muestre que si una recta no pasa por el origen NO es un subespacio de R2.

Esto es:

V = {(x, y) ∈ R : ax+ by 6= 0}No es un subespacio de R2, ya que �∃ un vector cero O : u+O = u ,∀u ∈ V .En otras palabras, para la ecuación ax+by 6= 0 no tiene como solución trivial el vector vector cero, (x, y) = (0, 0).

Espacios generados por vectores

Sean u1, ..., .uk vectores arbitrarios pero �jos en un espacio lineal V .Sea U = {(α1u1 + ...+ αkuk) : u ∈ V, α ∈ F} un conjunto conformado por la combinación lineal de los vectores

u1, ..., .uk.

Entonces,

i) U se puede de�nir como un espacio generado por los vectores u1, ..., .uk ∈ V .ii) U es un subespacio de V .

Ejemplo:

Sea A =

(3 1 52 4 6

), y sea Q un vector... Demuestre que V =

{AQ : Q ∈ R3

}es un subespacio de R2.

Ademas muestre que éste subespacio coincide con el Ec(A).

Page 19: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

19

i) Veamos que AQ : Q ∈ R3 es u subespacio de R2.

Sea u, v ∈ V , entonces existen vectores x1, x2 ∈ R tal que u = Ax1 y v = Ax2.

1)u+ v = Ax1 +Ax2 = A(x1 + x2)

Luego u+ v ∈ V .

2)∀α ∈ R, αu = αAx1 = A(αx1)

Luego αu ∈ V .

Así, V es un subespacio de R2.

ii) Veamos que V coincide con el Ec(A), para ello tomamos un vector Q = (a, b, c)t arbitrario de R3, entonces:

AQ =

(3 1 52 4 6

)2X3

abc

3X1

=

(3a+ b+ 5c2a+ 4b+ 6c

)2X1

=

(32

)a+

(14

)b+

(56

)c = aA1 + bA2 + cA3

Dado a que el espacio columna de A es la combinación lineal de los vectores columna:

Se concluye que V ={aA1 + bA2 + cA3 : a, b, c ∈ R

}= Ec(A).

Otro ejemplo:

Sea B =

4 31 62 51 7

, y sea Q un vector... Demuestre que V ={QB : Q ∈ R4

}es un subespacio de R2.

Ademas muestre que éste subespacio coincide con el Ef (B).

i) Veamos que QB : Q ∈ R4 es u subespacio de R2.

Sea u, v ∈ V , entonces existen vectores x1, x2 ∈ R tal que u = x1B y v = x2B.

1)u+ v = x1B + x2B = (x1 + x2)B

Luego u+ v ∈ V .

2)∀α ∈ R, αu = (αx1)B

Luego αu ∈ V .

Así, V es un subespacio de R2.

ii) Veamos que V coincide con el Ef (B), para ello tomamos un vector Q = (a, b, c, d) arbitrario de R4, entonces:

Page 20: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

20

QB = (a, b, c, d)1X4

4 31 62 51 7

4X2

=(

4a+ b+ 2c+ d 3a+ 6b+ 5c+ 7d)1X2

=(

4 3)a+(

1 6)b+(

2 5)c+(

1 7)d = aA1+bA2+cA3+dA4

Dado a que el espacio �la de B es la combinación lineal de los vectores �la:

Se concluye que V = {aA1 + bA2 + cA3 + dA4 : a, b, c, d ∈ R} = Ef (B).

Otro ejemplo:

Suponga que U y V son subespacios de Rn y tome S = U ∩ V . Demuestre que S es un subespacio de R2.

Sean u, v ∈ S =⇒ u, v ∈ U ∩ V , (hipótesis)

i) Veamos que u+ v tambien ∈ S

Por hipótesis u, v ∈ U ∩ VPor L.C.I u+ v ∈ U, VEntonces u+ v ∈ U ∩ VAsí, u+ v ∈ S.

ii) Veamos que αu tambien ∈ S

Por hipótesis u ∈ U ∩ VPor múltiplo escalar αu ∈ U, VEntonces αu ∈ U ∩ VAsí, αu ∈ S.

Por lo tanto se concluye que S es u subespacio de Rn.

Otro ejemplo:

A =

1 −1 2 02 0 1 33 2 4 1

,Si X es un vector en R3, ortogonal a cada columna de A. Entonces X es ortogonal a cualquier vector en Ec(A).

Espacio columna: Ec(A) ={α1A

1 + α2A2 + α3A

3 + α4A4}.

Hipótesis:

XA1 = 0XA2 = 0XA3 = 0XA4 = 0

Entonces,

Page 21: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

21

X(α1A

1 + α2A2 + α3A

3 + α4A4)

= Xα1A1 + Xα2A

2 + Xα3A3 + Xα4A

4

= α1(XA1) + α2(XA2) + α3(XA3) + α4(XA4)

= α1(0) + α2(0) + α3(0) + α4(0)

= 0

Así, X es ortogonal a cualquier vector en el Ec(A).

CAPÍTULO 4: DEPENDENCIA LINEAL

INTRODUCCIÓN

• Como ya debemos saber hasta ahora, las soluciones de un sistema lineal homogéneo forma un espacio lineal,exceptuando el caso trivial, cuando la única solución del sistema es el vector cero, ya que dicho espaciotendría in�nitos vectores solución.• Ahora, no es el caso tratar de identi�car todas las soluciones de un sistema, si no describir el espacio soluciónapartir de un conjunto �nito de soluciones particulares del sistema que genere todo el espacio, la clave estáen los conceptos de dimension y base, conceptos los cuales dependen de un estudio más general, dependencialineal.• Geométricamente , dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta de�nición suponeque el vector nulo tiene todas las direcciones.• Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea sininguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado porestos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen.• El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estosvectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigidopor este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene.• Un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} es L.D, si existen escalares α1, α2, ..., αn no todos iguales a cero,tales que: α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn = O.• Un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} es L.I sí y sólo si, la ecuación de dependencia lineal α1, α2, ..., αn sesatisface con todos los escalares α iguales a cero (solución trivial).

Ejemplo:

Page 22: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

22

u y j son dependientes por tener la misma dirección.u y v son independientes y de�nen el plano P.u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una combinación lineal de ellos o, lo que es lomismo, por no pertenecer al plano P; los tres vectores de�nen el espacio tridimensional.El vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero y k son dependientes ya que o = 0 · k.

Ecuación de dependencia lineal

La idea general para determinar si un conjunto de vectores son L.I o L.D es basicamente conocer si uno de losvectores es un multiplo escalar de los restantes (combinación lineal), es por ellos que por medio de la siguienteecuacion logramos el objetivo;

xv1 + yv2 + zv3 = O

Donde,x, y y z son escalares ∈ R.v1, v2 y v3 son vectores a los cuales necesitamos establecer su dependencia lineal.O es el vector cero.

Dependencia lineal de dos vectores

TEOREMA#4.1 (Múltiplo escalar)

Dos vectores son L.D, sí y sólo si, uno es un múltiplo escalar del otro.

Supongamos que u y v son L.D. Estos es, existen escalares α y β (no ambos iguales a cero) tales que:

αu+ βv = 0

asumiendo que α 6= 0 ,

u =−βαv

u es múltiplo escalar de v.

Tomando las componentes de cada vector sería: u = (u1, ...un) y v = (v1, ..., vn), siendo éstos L.D, entoncesexiste un escalar α 6= 0 tal que u = αv, es decir:

(u1, ..., un) = α(v1, ..., vn)

(u1, ..., un) = (αv1, ..., αvn)

u1v1

= α ;u2v2

= α ; ... ;unvn

= α

Es decir, la división de cada una de las componentes de u con la respectiva componente de v es unaconstante α.

Ejemplo:

Page 23: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

23

u = (−3, 6,−9, 0) ; v = (1,−2, 3, 0)

−3

1= −3 ;

6

−2= −3 ;

−1

3= −3 ;

0

0= ned

Esto conlleva a que u = −3v, por lo tanto u y v son L.D.

Concluyendo, si la ecuación de dependencia lineal u1

v1= α ; u2

v2= α ; ... ; un

vn= α para dos vectores se

dá, omejor dicho hay correspondencia con los vectores u y v dados, entonces éstos son L.D, de lo

contrario sonL.I.

DEPENDENCIA LINEAL DE MAS DE DOS VECTORES

Es ovio que la ecuación de dependencia lineal se cumple cuando todos los escalares son iguales a cero, si éstaes la única posibilidad (solución trivial), entonces los vectores son L.D. En caso contrario son L.D.

Ejemplo:

Determinar la dependencia lineal (si es L.I o L.D), de los siguientes vectores: v1 = (1,−2, 3), v2 = (2,−2, 0) yv3 = (0, 1, 7).

i) Reemplazamos los vectores en la ecuación de dependencia lineal:

xv1 + yv2 + zv3 = Ox(1,−2, 3) + y(2,−2, 0) + z(0, 1, 7) = O

(x,−2x, 3x) + (2y,−2y, 0) + (0, z, 7z) = O(x+ 2y,−2x− 2y + z, 3x+ 7z) = (0, 0, 0)

ii) Determinar el sistema de ecuaciones por igualdad de vectores:

x+ 2y + 0 = 0

−2x− 2y + z = 0

3x+ 0 + 7z = 0

iii) Resolver el sistema (en forma matricial por eliminación Gaussiana): 1 2 0−2 −2 13 0 7

∣∣∣∣∣∣000

De un cómputo directo del pivote resulta... 1 0 0

0 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣000

−→ x = 0

y = 0z = 0

iv) Concluir: Así como la única solución de sistema es la solución trivial, es decir todos los escalares soniguales a cero, Los vectores v1 = (1,−2, 3), v2 = (2,−2, 0) y v3 = (0, 1, 7) son L.I.

Page 24: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

24

Otro ejemplo:

Determinar la dependencia lineal, de los siguientes vectores: v1 = (2,−1, 3), v2 = (−3, 4,−6) y v3 = (−5, 10,−12).

x(2,−1, 3) + y(−3, 4,−6) + z(−5, 10,−12) = O(2x,−x, 3x) + (−3y, 4y,−6y) + (−5z, 10z,−12z) = O

(2x− 3y − 5z,−x+ 4y + 10z, 3x− 6y − 12z) = (0, 0, 0)

2x− 3y − 5z = 0

−x+ 4y + 10z = 0

3x− 6y − 12z = 0

2 −3 −5−1 4 103 −6 −12

∣∣∣∣∣∣000

−→ 1 0 2

0 1 30 0 0

∣∣∣∣∣∣000

−→ x = −2z

y = −3zz = z

Así, como el sistema tiene una solución distinta a la trivial, , Los vectores v1 = (2,−1, 3), v2 = (−3, 4,−6) y

v3 = (−5, 10,−12) son L.D.

DEPENDENCIA LINEAL POR EL DETERMINANTE(Otro método)

Éste método alternativo usa el hecho que n vectores en Rn son L.I ⇐⇒ el determinante de la matriz formadapor estos vectores como columnas es distinto de cero.

Dados los vectores v1, v2 y v3 de R3, entonces la matriz G = (vt1, vt2, v

t3), ahora si el determinante de |G| = 0,

entonces los tres vectores son L.D, de lo contrario si, |G| 6= 0 los tres vectores son L.I.Ejemplo:

¾u = (−3, 6,−9, 0) y v = (1,−2, 3, 0) son L.I o L.D?

G =

(−3 16 −2

)

|G| = (−3)(−2)− (1)(6)

|G| = 6− 6

|G| = 0

Así, como el determinante es igual a cero, u y v son L.D.

DIMENSION Y BASES

Page 25: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

25

Una base es un conjunto de vectores B.Sea V un espacio vectorial, y bajo las siguientes condiciones B sería una base:

Condición 1) Los elementos de B son vectores L.I.Condición 2)Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de B (el conjunto

de vectores B genera el espacio V ).Condición 3)Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V .

Una base canónica de R2 es B = {(1, 0), (0, 1)}, otra base que no luce tan agradable pero aún así es una base esB = {(1, 0), (−2, 1)}.

Así, tendrémos en cuenta que la base canónica de R3 es B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

La dimensión es el número de componentes o vectores que conforman la base, es llamadaa tambien dimensióndel espacio solución.

Ejemplo:

Veamos que los vectores v1 = (1, 1,−1), v2 = (1,−1, 1) y v3 = (−1, 1, 1) forman una base para R3.

i) Mostrar que los tres vectores generan R3. Como los vectores unitarios (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) sabemos queson la base canónica de R3. Entonces basta con mostrar que v1, v2 y v3 generan el espacio de los vectores unitarios,así:

Mostrar condición 2)

(1, 0, 0) = x(1, 1,−1) + y(1,−1, 1) + z(−1, 1, 1)

(1, 0, 0) =1

2(1, 1,−1) +

1

2(1,−1, 1) + 0(−1, 1, 1)

(0, 1, 0) = x(1, 1,−1) + y(1,−1, 1) + z(−1, 1, 1)

(0, 1, 0) =1

2(1, 1,−1) + 0(1,−1, 1) +

1

2(−1, 1, 1)

Page 26: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

26

(0, 0, 1) = x(1, 1,−1) + y(1,−1, 1) + z(−1, 1, 1)

(0, 0, 1) = 0(1, 1,−1) +1

2(1,−1, 1) +

1

2(−1, 1, 1)

Así, v1, v2 y v3 generan el espacio tridimensional.

ii) Mostrar que los tres vectores son L.I:

Mostrar condición 1) ya sea por el método de la ecuación de dependencia lineal o por el determinante.

x(1, 1,−1) + y(1,−1, 1) + z(−1, 1, 1) = O(x+ y − z, x− y + z,−x+ y + z) = (0, 0, 0)

x+ y − z = 0

x− y + z = 0

−x+ y + z = 0

1 1 −11 −1 1−1 1 1

∣∣∣∣∣∣000

−→ 1 0 0

0 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣000

−→ x = 0

y = 0z = 0

Así, como el sistema tiene como única solución la trivial, , Los vectores v1, v2 y v3 son L.I.

Por tanto los vectores forman una base para R3.

CONDICIÓN DE BASE

Los vectores u1 = (a11, ...an1), ... , u2 = (a1n, ...ann), forman una base para Rn, ⇐⇒ la matriz cuadrada A esinvertible.

A =

a11 a12 · · · a1n...

......

an1 an2 · · · ann

es invertible; es decir

A =

a11 a12 · · · a1n...

......

an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 · · · 0

0 1 0...

... 0. . . 0

0 · · · 0 1

Existe.

En el ejemplo anterior el proceso para mostrar la Condición 2) puede ser sustituido por el proceso de condiciónde base, es decir por medio de la condición de base tambien se puede mostrar la Condición 2).

Page 27: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

27

RANGO DE UNA MATRIZ

El rango de una matriz es el número máximo de columnas (�las respectivamente) que son L.I.Una matriz de nxn es invertible (tiene inversa) si y sólo si, su rango es máximo, es decir, igual a n.El rango �la y el rango columna siempre son iguales, este número es llamado simplemente rango de A, r(A).El rango de A será, por tanto, un número no negativo, menor o igual que el mínimo entre m y n.

A =

3 4 2 42 6 9 31 7 5 2

(3x4)→(mxn)

Rango �la

1) El espacio �la Ef (A) es de R4

2) Los vectores que lo conforman son: A1 = (3, 4, 2, 4), A2 = (2, 6, 9, 3) y A3 = (1, 7, 5, 2).

Ahora, si A1, A2 y A3 son L.I =⇒ su dimensión es 3 (n).Ahora, si A1, A2 y A3 son L.D =⇒ su dimensión es < 3 (< n).

Entonces, la dimensión del Ef (A) se llama rango �la y sólo puede ser menor o igual que m.

Rango columna

1) El espacio columna Ec(A) es de R3

2) Los vectores que lo conforman son: A1 = (3, 2, 1)t, A2 = (4, 6, 7)t, A3 = (2, 9, 5)t y A4 = (4, 3, 2)t.

Ahora, si A1, A2, A3 y A4 son L.I =⇒ su dimensión es 4 (m).Ahora, si A1, A2, A3 y A4 son L.D =⇒ su dimensión es < 4 (< m).

Entonces, la dimensión del Ec(A) se llama rango columna y sólo puede ser menor o igual que n.

Cuando decimos que el rango de una matriz es el número máximo de columnas (�las respectivamente) que sonL.I. quiere decir que si reducimos la matriz el rango equivale al número de columnas no nulas de la matriz resultante.

Ejemplo:

Determinar el rango de la matriz A =

3 4 2 42 6 9 31 7 5 2

(3x4)→(mxn)

i) El espacio columna Ec(A) es de R3

ii) Los vectores que lo conforman son: A1 = (3, 2, 1)t, A2 = (4, 6, 7)t, A3 = (2, 9, 5)t y A4 = (4, 3, 2)t.

Page 28: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

28

iii) De la ecuación de dependencia lineal resulta el sieguiente sistema:

3x+ 4y + 2z + 4w = 0

2x+ 6y + 9z + 3w = 0

x+ 7y + 5z + 2w = 0

3 4 2 42 6 9 31 7 5 2

∣∣∣∣∣∣000

−→ 1 0 0 34

290 1 0 11

870 0 1 −1

87

∣∣∣∣∣∣000

−→

x = − 3429w

y = − 1187w

z = − 187w

w = w

Así, el rango de A es 3. Ya que son 3 las variables no libres, o dicho de otra forma son 3 las columnas no nulas.

Otro ejemplo:

Determinar el rango de la matriz A =

1 −1 32 0 4−1 −3 1

(3x3) 1 −1 3

2 0 4−1 −3 1

∣∣∣∣∣∣000

−→ 1 0 2

0 1 −10 0 0

∣∣∣∣∣∣000

−→ x = −2z

y = zz = z

Así, el rango de A es 2. Ya que son 2 las variables no libres, o dicho de otra forma son 2 las columnas no nulas.

ESPACIO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA HOMOGÉNEO Y SU DIMENSIÓN

Dado un sistema de ecuación lineal homogéneo, el espacio solución de dicho sistema es la combinación linealde todas las soluciones particulares del sistema; la cantidad de soluciones particulares es igual a la cantidad devariables libres, el procedimiento se puede expresar de la siguiente manera:.

i) Solucionar el sistema lineal homogéneo.ii) Dar una solución particualr por cada variable libre en el sistema.iii) El espacio solución es la combinación lineal de las soluciones particulares.

Ejemplo:

Determinar el espacio solución V del sistema 3x1 + 2x2 − 5x3 = 0.

i)

3x1 + 2x2 − 5x3 = 0

3x1 = −2x2 + 5x3

x1 = −2

3x2 +

5

3x3

De�nimos a x1 = − 23x2 + 5

3x3 como la solución general.

ii)Primer solución particular: x1 = 1

x2 = 1x3 = 1

Page 29: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

29

Segunda solución particular: x1 = 3x2 = 3x3 = 3

iii)Así, el espacio solución es V = {α(1, 1, 1) + β(3, 3, 3)} ∀α, β ∈ R.

La dimensión del espaxcio solución V del sistema homogéneo, corresponde al número de variables libres en elsistema. Así, para hallar la dimensión de un sistema lineal homogéneo, primero se debe solucionar el sistema(pivotear), en éste caso la dimensión del espacio solución es 2, ya que x2 y x3 son variables libres.

Ahora, veamos...

V = {α(1, 1, 1) + β(3, 3, 3)}V = {(α, α, α) + (3β, 3β, 3β)}V = {(α+ 3β, α+ 3β, α+ 3β)} ∈ R3

Note como la dimensión coincide con 3-1 donde 3 es el espacio tridimensional. Es decir,Sea V ∈ Rn la dimension del espacio V es n− 1.

V es el espacio solución.(1, 1, 1) y (3, 3, 3) son la base generadora de V .α, β son escalares ∈ R.Las componentes del espacio V son n.Y �nalmente la dimensión del espacio es n− 1.

Así, el espacio solución está generado por una base de dos vectores.

ESPACIO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA NO-HOMOGÉNEO

Ahora consideremos el caso no-homogeneo, y estudiemos las propiedades de las soluciones del sistema AQ = Cdonde, C 6= O y Q = O no es una solución válida. Ahora las soluciones de AQ = O (sistema homogeneo) estanrelacionadas con las del no-homogeneo de la siguiente manera:

TEOREMA#4.2

Sea AQ = C un sistema no-homogeneo.Sea Cc una solución particular del sistema no-homogeneo.Sea AQ = O un sistema homogeneo.Sea C0 cualquier solución (espacio solución) del sistema homogeneo.�A es una matriz�.

Entonces, Cc + C0 es una solución de AQ = C.

Prueba: A(Cc + C0) = ACc +AC0 = ACc +O = ACc = C y por transitividad A(Cc + C0) = C.

Page 30: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

30

Si el sistema homogeneo tiene in�tas soluciones, el no-homogeneo tambien. El teorema señala que, para identicartodas las soluciones de un sistema no-homogeneo, basta conocer una solucion particular y el espacio solución delsistema homogeneo asociado. Si Cc es una solucion particular del sistema no homogeneo y C01, ...,C0k forman unabase para el espacio solucion del sistema homogeneo asociado, entonces, las soluciones del no-homogeneo estan enel espacio dado por V = {Cc + αC01 + ...+ βC0k}.

Intuitivamente, podemos pensar de V como el resultado de trasladar el espacio solución del sistema homogeneo,por medio del vector Cc. Como lo vamos a ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: �El teorema esta descrito para vectores y matrices y de allí salen las ecuaciones, el ejemplo directamentetrabajará sobre las ecuaciones resultantes�.

Hallemos el conjunto solución V (o espacio solución) del sistema no-homogeneo que consta de la unica ecuacion,−x+ y = 1.

i) Solución particular del sistema no-homogeneo.(1,2)

ii) Espacio solución del sistema homogeneo −x+ y = 0.α(1, 1)

Así, el espacio solución del sistema lineal no-homogeneo esta dado por:

V = {Cc + C0}V = {(1, 2) + α(1, 1)}V = {(1, 2) + (α, α)}V = {(1 + α, 2 + α)} ∀α ∈ R

Como el sistema no-homogeneo no pasa por el origen, ya que el vector cero no es una solución para el sistema, elconjunto de soluciones no es un subespacio lineal, al no serlo, no tiene base, y al no tener base no tiene dimensión.

Otro ejemplo:

Hallar el espacio solución del sistema 2x1 + 3x2 + 4x3 = 11.

Page 31: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

31

i) Solución particular del sistema no-homogeneo:

2x1 + 3x2 + 4x3 = 11

2x1 = 11− 3x2 − 4x3

x1 =11

2− 3

2x2 − 2x3

El sistema tiene dos variables libres y por tanto las soluciones estan en un plano de R3. x1 = 2x2 = 1x3 = 1

ii) Solución general o espacio solución del sistema homogeneo 2x1 + 3x2 + 4x3 = 0.

2x1 + 3x2 + 4x3 = 0

2x1 = −3x2 − 4x3

x1 = −3

2x2 − 2x3

Primer solución particular: x1 = −2x2 = 0x3 = 1

Segunda solución particular: x1 = −3x2 = 2x3 = 0

Así, el espacio solución del sistema lineal no-homogeneo esta dado por:

V = {Cc + C01 + ...+ C0k}V = {(2, 1, 1) + α(−2, 0, 1) + β(−3, 2, 0)} ∀α, β ∈ RV = {(2, 1, 1) + (−2α, 0, α) + (−3β, 2β, 0)}V = {(2− 2α− 3β, 1 + 2β, 1 + α)} ∈ R3

Solución básica de un sistema de ecuaciones

Es la solución particular, resultante de asignarle a las variables libres o independientes el valor de 0 (cero).

CAPÍTULO 5: TRANSFORMACIONES LINEALES

INTRODUCCIÓN

Page 32: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

32

Una función, aplicación o transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de unespacio vectorial U , para convertirlo en un elemento de otro espacio vectorial V .

Sea U y V espacios vectoriales.Sea α un número cualquiera perteneciente a los reales.Sea u y v vectores pertenecientes al espacio lineal U .

Entonces, T : U −→ V es una transformación lineal (T.L) sí y sólo si, satisface las siguientes dos propiedades:

i) Propiedad aditiva: T (u+ v) = T (u) + T (v)ii) Propiedad homogénea: T (αu) = αT (u)

Sintetizando lo anterior...

Sea u, v ∈ U ; sea α, β ∈ R; entonces T : U −→ V es una T.L ⇐⇒ T (αu+ βv) = αT (u) + βT (v).

TEOREMA#5.1 (T:U−→V es una T.L sí y sólo si...)

i) T (O) = Oii) T (−u) = −T (u)iii) T (u− v) = T (u)− T (v)iv) T (α1u1 + ...+ αnun) = α1T (u1) + ...+ αnT (un); ∀n ∈ N

Ejemplo:

Sea U = R3 y V = R2; De�nida la transformación T : R3 −→ R2 como: T (x, y, z) = (2x− 3z, 4y + z).Muestre que T es una T.L.

i) Tomemos u = (x1, y1, z1) con T (u) = (2x1 − 3z1, 4y1 + z1)y v = (x2, y2, z2) con T (v) = (2x2 − 3z2, 4y2 + z2)ii) Veamos que T (u+ v) = T (u) + T (v)

T (u+ v) = T ((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2))

= T (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

= (2(x1 + x2)− 3(z1 + z2), 4(y1 + y2) + (z1 + z2))

= (2x1 + 2x2 − 3z1 − 3z2, 4y1 + 4y2 + z1 + z2)

= ((2x1 − 3z1, 4y1 + z1) + (2x2 − 3z2, 4y2 + z2))

= T (u) + T (v)

iii) Veamos que T (αu) = αT (u)

T (αu) = T (α(x1, y1, z1))

= T (αx1, αy1, αz1)

= (2αx1 − 3αz1, 4αy1 + αz1)

= α (2x1 − 3z1, 4y1 + z1)

= αT (u)

Page 33: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

33

Así, por el cumplimiento estricto de los últimos dos pasos T es una T.L.

Ejemplo:

Veamos que T : R2 −→ R2 de�nida por T (x, y) = (xy, 2y) NO es una T.L.Sin considerar vectores ni escalares genéricos, veamos que alguna de las dos propiedades no se cumple.

Tomemos α = 5 y u = (3, 7) con T (u) = (21, 14)Entonces,

αT (u) =? T (αu)

5T (3, 7) =? T (5(3, 7))

5(21, 14) =? T (15, 35)

(105, 70) 6= (525, 70)

Así, como no se cumple la propiedad homogénea T No es una T.L.

Criterios de linealidad por inspecciónEjemplo de T : R3 −→ R4

1) T (x, y, z) = (2x− 3y, 4z, 0, 5x) ������������Si es una T.L.2) L (x, y, z) =

(2x− 3y, 4z, �5, 5x

)������������No es una T.L.

3) S (x, y, z) = (2x− 3y, 4z,���7x+ 5, 5x) ���������-No es una T.L.4) P (x, y, z) = (2x− 3y, 4z,��2xy, 5x) �����������No es una T.L.

La T.L debe estar de�nida por la suma o resta de los múltiplos de las componentes x, y y z.

TRANSFORMACIONES LINEALES INDUCIDAS POR MATRICES(Partimos de una matriz y concluimos con una transformación)

Sea A =

(2 −11 2

), De�nir T : R2 −→ R2 por T (u) = Aut. (Como A es de (2x2) , u debe ser de dimension

(2x1))

Tomemos u = (x, y)

T (u) = Aut

T (x, y) =

(2 −11 2

)(xy

)tT (x, y) =

(2x− yx+ 2y

)tT (x, y) = (2x− y, x+ 2y)

Page 34: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

34

Así, dada la matriz A =

(2 −11 2

), se obtuvo que la la transformación es T (x, y) = (2x− y, x+ 2y).

Generalizando

Dada una matriz M(mxn) puede ser de�nida una T.L T : Rn −→ Rm por la expresión:

T (u) = Mut

Donde T (u) es de Rn y al multiplicarla por la matriz M queda de Rm.

TEOREMA#5.2 ([mxn][nx1]=[mx1])

Si A es una matriz (mxn), la aplicación TA : Rn −→ Rm de�nida por TA(u) = Aut és una T.L. Y u tienedimensión (nx1).

MATRICES INDUCIDAS POR TRANSFORMACIONES LINEALES(Partimos de una transformación y concluimos con una matriz asociada)

TEOREMA#5.3 (ARn=Rm)

Para cualquier T.L, T : Rn −→ Rm, Existe una matriz A de orden mxn tal que:

T (Rn) = ARn = Rm

Ejemplo:

Hallar la matriz asociada a la T.L T : R3 −→ R2 que satisface T (x, y, z) = (2x− 3y, 5z − 4x).

i) Tomamos la base canónica de R3.

B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} = {e1, e2, e3}

Page 35: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

35

ii) Aplicamos T a cada vector de la base B.

T (1, 0, 0) = (2,−4)

T (0, 1, 0) = (−3, 0)

T (0, 0, 1) = (0, 5)

iii) La matriz asociada corresponde a (T (et1) , T (et2) , T (et3)). Es decir:

A =

(2 −3 0−4 0 5

)(2x3)

VECTOR IMAGENEjemplo:

Sea T : R3 −→ R3 una T.L que satisface, T (1, 0, 0) = (1, 1,−1); T (0, 1, 0) = (1,−1, 1); T (0, 0, 1) = (−1, 1,−1).Determinar el vector imagen de T (2,−3, 4).

Primer forma de solucionar:

i) Expresar (2,−3, 4) como combinación lineal de (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). (Los vectores argumento de la apli-cación T )

(2,−3, 4) = (2(1, 0, 0)− 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1))

ii) Aplicar T .

T (2,−3, 4) = T (2(1, 0, 0)− 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1))

= 2T (1, 0, 0)− 3T (0, 1, 0) + 4T (0, 0, 1)

... = 2(1, 1,−1)− 3(1,−1, 1) + 4(−1, 1, 1)

= (2, 2,−2) + (−3, 3,−3) + (−4, 4, 4)

T (2,−3, 4) = (−5, 9,−1)

Segunda forma de solucionar:

T (u) = Cut

T (2,−3, 4) = C

2−34

t

Armamos la matriz C con las imagenes de (T (e1))t, (T (e2))

t, (T (e3))

t.

C =

1 1 −11 −1 1−1 1 1

;

T (2,−3, 4) =

1 1 −11 −1 1−1 1 1

2−34

t

T (2,−3, 4) = (−5, 9,−1)

Page 36: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

36

TRANSFORMACIONES LINEALES ESPECIALES(Rotaciones)

Ejemplo 2D:

La �gura ilustra una rotación sobre el eje del origen del sistema coordenado en sentido antihorario a grados, dedonde resulta:

T (e1) = T (1, 0) = (cos a, sin a)

&

T (e2) = T (0, 1) = (− sin a, cos a)

Cuya matriz de rotación es:

A =

(cos a − sin asin a cos a

)

La rotación suponiendo que el angulo es a = 45o en sentido anti-horario, como lo muestra la �gura, y por supuestoconservando la magnitud de los vectores, es:

T (e1) = T (1, 0) =

(√2

2,

√2

2

)&

T (e2) = T (0, 1) =

(−√

2

2,

√2

2

)Cuya matriz de rotación es:

A =

( √22 −

√22√

22

√22

)−→ A =

√2

2

(1 −11 1

)La matriz A de�ne una T.L que rota los vectores 45 grados en sentido anti-horario, con una dilatación de su

magnitus en un factor de√22 .

Ejemplo 3D: eje de rotación z

Page 37: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

37

La grá�ca anterior corresponde a la siguiente matriz de rotación:

R(z,α) =

cosα − sinα 0sinα cosα 0

0 0 1

Eje de rotación x

R(x,α) =

1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα

Eje de rotación y

R(y,α) =

cosα 0 sinα0 1 0

− sinα 0 cosα

Las grá�cas correspondientes quedan de ejercicio para nuestra imaginación.

Page 38: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

38

PROYECCIONES DE UN ESPACIO R2 SOBRE UN VECTOR

Sea L una recta que pasa por el origen (0, 0), y que forma un ángulo α con el eje x; y sea la pendiente de L,m = tanα.

Las proyecciones de e1 y e2 sobre L son:

P (e1) = P (1, 0) = (cos2 α, cosα sinα)

&

P (e2) = P (0, 1) = (sinα cosα, sin2 α)

Es decir, la proyección de cualquier vector de R2 sobre L está inducida por la matriz...

P =

(cos2 α sinα cosα

cosα sinα sin2 α

)Lo que equivale a...

P =

(1

1+m2m

1+m2

m1+m2

m2

1+m2

)

P = 11+m2

(1 mm m2

)=⇒ Fórmula para hallar la matriz de proyección en R2 dado L y el vector u a proyectar

sobre L.p(u) = Put =⇒ Fórmula para hallar la proyección de u sobre la recta dada (L).Donde,p(u) es la proyección de u.P es la matriz proyección.ut es el vector a proyectar.

Ejemplo

Hallar la matriz de la proyección de R2 sobre la recta y = 2x, y determinar la proyección del vector u = (5, 15)sobre dicha recta.

i) Hallar la matriz de proyección P :

P =1

1 +m2

(1 mm m2

)y conocida la pendiente m = 2

P =1

5

(1 22 4

)ii) Hallar la proyección p(u):

p(u) = Put

p(u) =1

5

(1 22 4

)(515

)p(u) =

(714

)

Page 39: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

39

NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN

El núcleo de una transformación T , es el conjunto de vectores para los cuales T = O (el vector cero).Notación del núcleo de T : N(T ) = {u ∈ U : T (u) = O} , ∀u ∈ U ;O ∈ VSiendo U y V espacios vectoriales.

Ejemplo:

Determinar el núcleo N(T ), si T : R3 −→ R2 esta dada por: T (x, y, z) = (3x− 2y + z, x+ 2y − z)

i) Encontrar el conjunto de vectores (x, y, z) los cuales hacen que T (x, y, z) = (0, 0).Armar el sistema de acuaciones:

(3x− 2y + z, x+ 2y − z) = (0, 0)

3x− 2y + z = 0

x+ 2y − z = 0

ii) El sistema de acuaciones extenderlo a una matriz y solucionar (pivotear):(3 −2 11 2 −1

∣∣∣∣ 00

)De un pivoteo directo resulta (

1 0 00 1 − 1

2

∣∣∣∣ 00

)−→

x = 0y = z

2z = z

Así, N(T ) ={(

0, z2 , z)

: z ∈ R}

Page 40: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

40

Si N(T ) fuera el vector cero, es porque T es uno a uno (biyectiva).

TEOREMA#5.4 (1 a 1 ⇐⇒ N(T ) = {O})

Si T : U −→ V es una T.L, entonces T es uno a uno, sí y sólo si, el único elemento del núcleo es el vector cero,N(T ) = {O}.

TEOREMA#5.5 (1 a 1 ⇐⇒ N(T ) = {O})

Si T : U −→ V es una T.L, entonces N(T ) es un subespacio de U .

RANGO DE UNA TRANSFORMACIÓN

Sea T : U −→ V , entonces, R(T ) = {v ∈ V : T (u) = v, para algun u ∈ U} siendo U y V espaciones vectoriales.Donde,v −→ Subespacio del codominioV −→ Codominiou −→ Subespacio del dominioU −→ Dominio

TEOREMA#5.6

Si T : U −→ V es una T.L, entonces, su rango R(T ) es un subespacio de V .

Dada una transformación T : Rn −→ Rm, de�nida por T (Q) = AQt, (Donde A es la matriz asociada a latranformación).

Entonces, el rango de T es el espacio columna de A:

Ec(A) ={αA1 + βA2 + ...+ γAn

}

Axiomas

Sea T : Rn −→ Rm una T.L y sea A su matriz asociada y Q un vector de Rn, de modo que:

T (Q) = AQt

entonces,

i) El espacio solución del sistema AQt = O es precisamente el conjunto de vectores que hacen que T (Q) = O, esdecir, N(T ) = {Q : Q ∈ Rn}.

ii) El sistema AQt = H tiene solución ⇐⇒ ∃Q ∈ Rn : T (Q) = H.iii) Si Qo es una solución única del sistema AQt = H, entonces el conjunto solución del sistema es: Qo + C ;

C ∈ N(T )iv) Sea AQt = H es un S.L no homogéneo, éste tiene solución única⇐⇒ AQt = O tiene la solución única Q = O.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA LINEAL (TFAL)

Page 41: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

41

TEOREMA#5.7

Sean U y V espacios lineales de dimensión �nita. Si T : U −→ V es una T.L y {u1, u2, ..., un} es una base de U :

i) El conjunto {T (u1), T (u2), ..., T (un)} genera R(T ).ii) T es uno a uno ⇐⇒ {T (u1), T (u2), ..., T (un)} es L.I.

TEOREMA#5.8 (TFAL)

Sea U un espacio lineal de dimensión n.Si T : U −→ V es una T.L, =⇒ dimU = dimR(T ) + dimN(T ).

Intuitivamente... el TFAL dice que cuando una T.L T actua en un espacio n-dimensional, mantiene una parteindependiente (es es R(T )), y otra parte que colapsa a cero (esa es N(T )).

CAPÍTULO 6: VECTORES Y VALORES PROPIOS

INTRODUCCIÓN

El producto de una matriz cuadrada por un vector, puede alterar al vector de dos maneras:

• Lo hace rotar.• Le modi�ca la magnitud.

En esta transformación de la Mona Lisa, la imagen se ha deformado de tal forma que su eje vertical no ha

cambiado. (se han recortado las esquinas en la imagen de la derecha). El vector azul (�echa azul), ha cambiado de

dirección, mientras que el vector rojo no ha cambiado (�echa roja). El vector rojo es entonces un vector propio

de la tranformación, mientras que el azul no lo es. Dado que el vector rojo no ha cambiado de longitud, su

valor propio es 1. Todos los vectores de ésta misma dirección son vectores propios, con el mismo valor propio.

Ilustración tomada de https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio

Page 42: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

42

Ejemplo:

Sea,

A =

(1 1−2 4

); u = (1, 2); v = (3, 1)

Entonces,

Au = 3

(12

)= 3u

Av =

(4−2

)

Ahora, si dibujáramos a u, v, Au y Av, notaríamos...

• El vector resultante Av rotó y cambio de magnitud.• El vector resultante Au se triplico su magnitud y conservó su dirección.

CONCLUSIÓN: El único efecto de A sobre u fue un estiramiento que triplica su magnitud ; esto es: Au = 3u.

En el orden de ideas que llevamos:

• A es una matriz cuadrada de orden n.• u es un vector propio• 3 es un valor propio

Idea general

Un vector u cualquiera, es propio de una matriz cuadrada A cualquiera, sí y sólo si, Au y u son paralelos. Estoes, si existe un escalar λ tal que:

Au = λu

(Multiplicación matricial = Multiplicación escalar)

Restricciones

Page 43: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

43

• La matriz A debe ser cuadrada (de orden nxn).• El vector u debe ser diferente del vector cero (0, 0, ..., 0).

Conceptos básicos

• Sea Au = λu, se dice que:• λ es el valor propio de A asociado al vector u.• u es el vector propio de A asociado a λ.• Una matriz A puede tener un conjunto de valores propios denotados por: V aP = {λ1, λ2, ..., λn}.• El conjunto de valores propios de una matriz A se denota por σ(A) y se llama �espectro de A�.• El vector cero nunca es un vector propio.

Ejemplo

A =

(1 1−2 4

); u = (x, x); v = (k, 2k)

∀x ∈ R=⇒u = (x, x) es un vector propio de A con λ = 2 como valor propio asociado.∀k ∈ R=⇒v = (k, 2k) es un vector propio de A con λ = 3 como valor propio asociado.

ECUACIONES DE VECTORES Y VALORES PROPIOS

Sea,A una matriz cuadrada.λ el escalar que es valor propio de A.Q el vector que es propio de A y asociado a λ.I la matriz identidad.O el vector cero.

λQ = AQ⇐⇒ λIQ = AQ⇐⇒ λIQ−AQ = O

Ecuación de vectores propios −→ (λI −A)Q = O

Deacuerdo con la regla de Cramer, para que ésta ecuación tenga una solución no-trivial, es necesario que:

• Q no sea el vector cero.• El determinante de λI −A sea cero.

Ecuación de valores propios −→ |λI −A| = O

POLINOMIO CARACTERÍSTICO

Page 44: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

44

Dada una matriz A de orden nxn, el polinomio caracteristico, se de�ne y denota por:

P (λ) = |A− λI|P (λ) = anλ

n + an−1λn−1 + ...+ a1λ

1 + a0

Ecuación característica

P (λ) = 0

0 = |A− λI|0 = anλ

n + an−1λn−1 + ...+ a1λ

1 + a0

Ejemplo

Dada la matriz A =

−2 5 30 0 −20 4 6

i) Hallar los valores propios de la matriz

0 = |A− λI| =⇒

∣∣∣∣∣∣ −2 5 3

0 0 −20 4 6

− λ 0 0

0 λ 00 0 λ

∣∣∣∣∣∣ =⇒

∣∣∣∣∣∣ −2− λ 5 3

0 −λ −20 4 6− λ

∣∣∣∣∣∣ ...... =⇒ (−2−λ)

∣∣∣∣ −λ −24 6− λ

∣∣∣∣−(5)

∣∣∣∣ 0 −20 6− λ

∣∣∣∣+(3)

∣∣∣∣ 0 −λ0 4

∣∣∣∣ =⇒ (−2−λ)(−6λ+λ2+8) =⇒ (−2−λ)(λ−4)(λ−2) = 0

λ = −2; λ = 2; λ = 4

ii) Hallar los vectores propios de la matriz

−2− λ 5 30 −λ −20 4 6− λ

En esta matriz sustituimos a lambda por sus respectivos valores λ = −2;λ = 2;λ = 4

Luego se solucionan los 3 sistemas resultantes de O =(λI−A)Q =⇒

−2− λ 5 30 −λ −20 4 6− λ

xyz

=

000

de donde salen respectivamente los 3 vectores propios asociados a cada valor propio. (En caso de resultar algunavariable libre, dar solución particular). Tip, hallar primero los valores propios y luego los vectores propios.

PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS

Page 45: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

45

• Los vectores propios NO son únicos.• Todo valor propio de una matriz tiene asociado un número in�nito de vectores propios.

TEOREMA#6.1 (La combinación lineal de vectores propios tambien son vectores propios)

Si λ es un valor propio de la matriz cuadrada A, además, u y v son vectores propios de A con respecto a λ; setiene que αu+ βv son tambien vectores propios de A respecto a λ, ∀α, β escalares.

Prueba:

Hipótesis Au = λu & Av = λvLuego,

A(αu+ βv) = α(Au) + β(Av)

= α(λu) + β(λv)

= λ(αu+ βv)

Así, αu+ βv es un vector propio de A con respecto a λ.

Corolario (vectores propios + vector cero = espacio propio)

El conjunto de in�nitos vectores propios asociados a un valor propio, junto con el vector cero es un espacio linealllamado �Espacio Propio Asociado al Valor Propio�.

TEOREMA#6.2

Si λ1, λ2, ..., λn son valores propios de A, el polinomio característico se factoriza como: P (λ) = (λ1 − λ)(λ2 −λ)...(λn − λ)

Corolario (Por de�nición de polinomio característico)

P (λ) = |A− λI||A− λI| = (λ1 − λ)(λ2 − λ)...(λn − λ)

Otro corolario (Determinante igual a cero⇐⇒Un valor propio igual cero)

Si uno de los valores propios de A es igual a cero, entonces |A| = 0 , y viceversa.

TEOREMA#6.3 (Valores propios de una matriz triangular)

Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de su diagonal principal.

Page 46: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

46

Ejemplo

A =

3 2 3 2 10 4 0 0 10 0 5 2 30 0 0 1 40 0 0 0 7

Así, sus valores propios son λ1 = 3; λ2 = 4; λ3 = 5; λ4 = 1; λ5 = 7

TEOREMA#6.4 (Independencia lineal de los vectores asociados)

Si una matriz A, tiene n valores propios distintos λ1, λ2, ..., λnEntonces, sus correspondientes vectores propios son L.I.

TEOREMA#6.5 (Independencia lineal de los vectores columna)

Dada una matriz A, cuyo determinante es diferente de cero, entonces sus vectores columna son L.I.

CAPÍTULO 7: SEMEJANZA Y DIAGONALIZACIÓN

INTRODUCCIÓN

• Dos matrices son semejantes si representan el mismo operador lineal, bajo dos bases distintas.• La idea es reducir una matriz compleja a una que sea semejante, es decir, buscando una matriz más simpley manejale y a su vez que sea equivalente.• ¾Semejante?, ¾Equivalente?, ¾Simple?...

[5 ∗ 20

4 = 5 ∗ 102

]½Ciudado! ya que 20

4 y 102 son equivalentes, pues

hacen que ambas operaciones den el mismo resultado, pero, éstos NO son iguales; y es notable que hacer laoperación utilizando el 10

2 es mas sencillo que hacerla con el 204 .

• En álgebra lineal, una matriz cuadrada A se dice que es diagonalizable si A ∼ D siendo D una matrizdiagonal. Es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal (a una forma massimple). En este caso, la matriz podrá descomponerse de la forma A = PDP−1. En donde P es una matrizinvertible cuyos vectores columna son Vectores Propios de A, y D es una matriz diagonal formada por losValores Propios de A.

TEOREMA#7.1 (Existencia de una matriz invertible para la semejanza entre las matricesA y B)

Una matriz A es semejante a una matriz B, sí y sólo si, existe una matriz invertible P talque AP = PB.

Page 47: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

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A ∼ B ⇐⇒ AP = PB

Dada una matriz A, y tomando una matriz invertible arbitrariamente, entonces, la matriz B semejante a lamatriz A se puede expresar como:

B = PAP−1

Lo que equivale a que A ∼ B.

TEOREMA#7.2 (Propiedades de semejanza)

La semejanza de matrices es una relación de equivalencia. Si A, B, y C son matricez de orden n. Entonces:

i) (Re�exiva): A ∼ A.ii) (Simétrica): A ∼ B =⇒ B ∼ A.iii) (Transitiva): A ∼ B ∧ B ∼ C =⇒ A ∼ C.

TEOREMA#7.3 (Condición de semejanza)

Si A ∼ B, entonces A y B tienen los mismos valores propios.

Como consecuencia:i) A y B tienen el mismo polinomio característico P (λ).ii) |A| = |B| .iii) A es invertible ⇐⇒ B es invertible.

TEOREMA#7.4

Si A es invertible, entonces AB ∼ BA para cualquier matriz B compatible, es decir del mismo orden.

�Teniendo en cuenta que el producto entre matrices no es conmutativo, incluso siendo una de ellas invertible elproducto sigue siendo no conmutativo, pero si semejante.�

Nota:

MATRIZ SINGULAR = MATRIZ NO INV ERTIBLE = DETERMINANTE CEROPsingular = �∃P−1 = |P | = 0

DIAGONALIZACIÓN

Page 48: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

48

TEOREMA#7.5

Si A ∼ D y D es una matriz diagonal, entonces, los valores propios de A son los elementos de la diagonal principalde D. (Por teorema#7.3 y teorema#6.3)

TEOREMA#7.6 (Condición de diagonalización)

Una matriz A de orden n, es diagonalizable sí y sólo si, Rn tiene una base {u1, ..., un} que consta de vectorespropios de A.

En otras palabras ⇐⇒ tiene n vectores propios L.I.

Corolario

Si una matriz A de orden n tiene n valores propios, A es diagonalizable.Pues si tienes menos ½No lo es!, cuidado... los valores propios λ pueden tener multiplicidad, es decir si una matriz

A de orden 4 tiene como valores propios 2,5,4,5; es diagonalizable y la multiplicidad de 5 es dos.

Ejemplo:

Mostremos que la matriz A =

1 3 3−3 −5 −33 3 1

es diagonalizable.

Además, hallemos una matriz diagonal D semejante a la matriz A y una matriz P invertible tal que A = PDP−1

.

i) Hallar los valores propios de allí resulta la matriz D.

Ecuación de valores propios −→ |A− λI| = O∣∣∣∣∣∣1− λ 3 3−3 −5− λ −33 3 1− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0

3

∣∣∣∣ 3 3−5− λ −3

∣∣∣∣− 3

∣∣∣∣ 1− λ 3−3 −3

∣∣∣∣+ (1− λ)

∣∣∣∣ 1− λ 3−3 −5− λ

∣∣∣∣ = 0

3 [(3)(−3)− (3)(−5− λ)]− 3 [(3)(1− λ)− (3)(−3)] + (1− λ) [(1− λ)(−5− λ)− (3)(−3)] = 0

3 [(−9)− (−15− 3λ)]− 3 [(−3 + 3λ)− (−9)] + (1− λ)[(−5− λ+ 5λ+ λ2)− (−9)

]= 0

3 [−9 + 15 + 3λ]− 3 [−3 + 3λ+ 9] + (1− λ)[−5− λ+ 4λ+ λ2 + 9

]= 0

(((((((

(((3 [3λ+ 6]− 3 [3λ+ 6] + (1− λ) [λ+ 4λ+ 4] = 0

(1− λ)(λ+ 2)(λ+ 2) = 0

Valores propios...

λ = 1, λ = −2, λ = −2

Page 49: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

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�A menos que se tengas mucha experiencia, se recomienda realizar éstos pasos detalladamente ya que pueden

resultar los procesos algebraicos un dolor de cabeza, cuando el álbegra lineal no lo és.�

Ya que la matriz A es de orden 3 y tiene 3 valores propios, según el corolario del teorema#7.6, A es diagonalizable.Ahora, por le teorema#7.5 la matriz D diagonal y semejante a la matriz A es:

D =

1 0 00 −2 00 0 −2

ii) Hallar los vectores propios de allí resulta la matriz P.

Ecuación de vectores propios −→ (λI −A)Q = O

1− λ 3 3−3 −5− λ −33 3 1− λ

xyz

=

000

Para λ = 1 0 3 3

−3 −6 −33 3 0

∣∣∣∣∣∣000

Un cómputo directo del pivoteo nos muestra: 1 0 −1

0 1 10 0 0

∣∣∣∣∣∣000

Por tanto,

Solucion general

x = zy = −zz = Libre

Solucion particular u1 = (1,−1, 1)

Para λ = −2 (duplicidad dos) 3 3 3−3 −3 −33 3 3

∣∣∣∣∣∣000

Un cómputo directo del pivoteo nos muestra: 1 1 1

0 0 00 0 0

∣∣∣∣∣∣000

Por tanto,

Solucion general

x = −y − zy = Librez = Libre

Page 50: Un breve resumen de álgebra lineal - Juan Álvarez (incompleto)

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Solucion particular u2 = (−1, 1, 0)

Solucion particular u3 = (−1, 0, 1)

Vectores propios...

u1 = (1,−1, 1)

u2 = (−1, 1, 0)

u3 = (−1, 0, 1)

Ahora, la matriz invertible P es:

P =

1 −1 −1−1 1 01 0 1

-Como proceso adicional pero no menos importante, (aunque no lo vamos a realizar en éste ejemplo) la veri�cación

de que |P | 6= 0 comprueba que efectivamente la matriz A es diagonalizable y que P es dicha matriz que satisface laecuación A = PDP−1.

La veri�cación de que el determinante de la matriz P sea diferente de cero, toma bastante importancia cuandolos valores propios no son todos distintos, como en éste ejercicio que λ = −2 tiene duplicidad dos.

Un cómputo directo nos muestra que |P | = 1.

-Como segundo proceso adicional, podríamos veri�car la ecuación A = PDP−1, lo cual se reduce a aplicarnuestros conocimientos previos de operaciones de matrices. (cálculo de la inversa de una matriz y producto entrematrices)

TEOREMA#7.7 (Condición de valores propios)

Si una matriz Anxn tiene n valores propios, entonces:

i) A tiene n vectores propios asociados a los valores propios.ii) A es diagonalizableiii) La matriz P cuyas columnas son los vectores propios, diagonaliza a A.

Esto es,

i) V ectores Propios = (u1, ..., un)

ii) P = (ut1, ..., utn)

iii) D = PAP−1

PAP−1 =

λ1 0 ... 00 λ2 0... 0...

.... . .

...0 0 ... λn

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Algoritmo de diagonalización

TEOREMA#7.8 (Ortogonalidad de vectores propios)

Si A es una matriz simétrica, entonces, los vectores propios asociados a valores propios diferentes son ortogonales.

TEOREMA#7.9 (Teorema espectral)

Toda matriz simétrica real se puede diagonalizar por medio de una matriz ortogonal.