Unidad 1, logica y conjuntos

LÓGICA MATEMÁTIC

A

ING. ROY BARRE ZAMBRANO MATEMÁTICA - FÍSICA

LÓGICA

La lógica es el estudio del razonamiento; en particular, es lo que analiza si un razonamiento es correcto. La construcción de la lógica se la realiza mediante PROPOSICIONES.

PROPOSICIONES

Son una sentencia (expresión) declarativa a la que se les puede asignar un valor de verdad el cual puede ser VERDADERO o FALSO.


EJEMPLOS:

“Hoy es martes”

“1 + 4 – 3 = 6”

“Estoy en clases de matemáticas”

“Estoy en Santo Domingo”

NOTA DE INTERES:

Otras expresiones, como las exclamaciones, las preguntas, deseos o mandatos no son considerada por la Lógica Matemática.

Por ejemplo:

¡Ojala llueva hoy!

¿Hiciste el deber de Matemáticas?

Siéntate y has silencio.


ENUNCIADOS ABIERTOS Y ENUNCIADOS CERRADOS

Enunciados Abiertos o Simples: son aquellos que tienen un único valor de verdad. Es el que no tiene otro enunciado como parte componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas”.

Enunciado

Es un conjunto de símbolos por medio de los cuales expresamos lo pensado en un juicio, ya sea en forma oral o escrita.

Enunciados Cerrados o compuestos: un enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas y las violetas son azules”


Indique; ¿cuál de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no lo son?. Reconozca el tipo de expresión.

a)Esta fruta es verde.b)¿Estás contenta?c)Siéntate y estate quieto.d)3 +7 = 10e)El ratón trepo a la mesa.f) Mañana se acabará el mundo.g)Ramón Ramírez debe pagar sus deudas a menos

que quiera ir a la cárcel.h)¿Es fea Julia?i) La edad del universo es de unos 15 mil millones de

años.j) ¡Márchate!


CLASES DE PROPOSICIONES.

Para trabajar con las proposiciones, éstas se clasifican en dos tipos: SIMPLES y COMPUESTAS, dependiendo de como están conformadas.

Proposiciones Simples

Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . . entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.

Proposiciones Compuestas

Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes.


EJEMPLOS:

Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones:

1) Carlos Fuentes es un escritor. (Simple) 2) Sen(x) no es un número mayor que 1. (Compuesta) 3) El 14 y el 7 son factores del 42. (Simple) 4) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta) 5) El 2 o el 3 son divisores de 48. (Simple) 6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. (Compuesta)


OPERADORES LÓGICOS.En nuestro lenguaje común usamos frecuentemente proposiciones más complejas, no tan simples o elementales. Surge entonces la necesidad de definir los nexos de estas proposiciones a las cuales se denominan CONECTORES u OPERADORES LÓGICOS. Gramaticalmente, estos nexos, en su mayoría son denominados partes invariables de la oración.

Se conoce como operadores lógicos o conectores lógicos a la operación que nos permite obtener nuevas proposiciones a partir de otras dadas. Los conectivos básicos son:

Negación (~)(“no”)

Conjunción (˄)(“y”)

Disyunción (˅)(“o”)

Condicional (→)(“si….entonces”)

Bicondicional (↔)(“si y solo si”)


Ejemplo de proposiciones que NO son simples.

NO te encontré en tu casa.

Fui al banco y estaba cerrado.

El carro de Juana o es azul o es negro.

Si me gano la lotería, entonces me compro la

casa.

Estudio en la ULEAM si y sólo si me esfuerzo.


Este operador lógico cambia el valor de verdad de una proposición. La negación se presenta con los términos gramaticales: “no”, “ni”, “no es verdad que”, “no es cierto que”. Sea p una proposición, la negación de p, representada simbólicamente por ~p, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

NEGACIÓN (~) (“no”)

Si p es una proposición verdadera, ~p es falsa; si p es una proposición falsa, ~p es verdadera.


Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será verdadera solamente cuando el valor de verdad en ambas proposiciones es verdadero. En español, la conjunción copulativa se presenta con los términos gramaticales: “y”, “per”, “más”, y signos de puntuación como: la coma (,), el punto (.) y el punto y coma (;).

Sean p y q proposiciones, la conjunción en p y q, representada simbólicamente por p ˄ q, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad.

CONJUNCIÓN. (˄) (“y”)


Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso. En español, la disyunción se presenta con el término gramatical “O”. Sean p y q proposiciones, la disyunción entre p y q, representada simbólicamente por p ˅ q, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

DISYUNCIÓN (˅) (“O”)

˅


Ejemplo:

Si se tienen la preposiciones:

p: tengo un libro de trigonometría

q: tengo un libro de algebra

La disyunción entre p y q será:

p ˅ q: tengo un libro de trigonometría o uno de algebra.

Como se podrá notar en este ejemplo, existe la posibilidad de poseer ambos libros, razón por la cual esta disyunción recibe el nombre de DISYUNCIÓN INCLUSIVA.

En el lenguaje español suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes entre sí. La expresión “o estoy en Quito o estoy en Guayaquil” denota la imposibilidad de estar físicamente en Quito y Guayaquil al mismo tiempo.


Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera. En español la disyunción exclusiva se presenta con el término gramatical “o”, “o solo”, “o solamente”, “o…, o….”. Sean p y q proposiciones, la disyunción exclusiva entre p y q, representada simbólicamente por p ≥ q, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad.

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA


Este operador lógico también se denomina enunciación hipotética o implicación; en la proposición p → q, p es el antecedente, hipótesis o premisa y q es la consecuente, conclusión o tesis; y la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso.

CONDICIONAL (→) (“si….entonces”)

En español, la proposición p → q se puede encontrar con los siguientes términos gramaticales: “si p, entonces q”, “p sólo si q”, “p solamente si q”, “p si q”, “si p, q”, “q con la condición de que p”, “q cuando p”, “q siempre que p”, “q cada vez que p”, “q ya que p”, “q debido a que p”, “q puesto que p”, “q porque p”, “se tiene q si se tiene p”, “sólo si q, p”, “q, pues p”, “cuando p, q”, “los p son q”, “p implica q”, o cualquier expresión que denote causa y efecto.


Sean p y q proposiciones, la condicional entre p y q, representada simbólicamente por p → q, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:


Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional p→q, las cuales se denominan: recíproca, inversa y contrarrecíproca (o contrapositiva).

La Recíproca, es representada simbólicamente por: q→p.La Inversa, es representada simbólicamente por: ¬p→¬q.La Contrarrecíproca, es representada simbólicamente por: ¬q→¬p.



Este operador lógico también se denomina doble implicación. La proposición p ↔ q será verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales. También se puede observar que la proposición p ↔ q será falsa cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean diferentes.

BICONDICIONAL (↔) (“si y solo si”)

En español, la proposición p ↔ q se puede encontrar con los siguientes términos gramaticales: “p si y sólo si q”, “p si y solamente si q”, “p implica q y q implica p”, “p cuándo y sólo cuando q”.


Sean p y q proposiciones, la bicondicional entre p y q, representada simbólicamente por p ↔ q, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:


VALOR DE VERDAD

El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso.

NOTA DE INTERES:

Usualmente al valor verdadero se lo asocia con: 1, V, T, True; mientras que el valor falso se lo asocia con: 0, F, False. Se podría utilizar cualquiera de ellas, pero de ahora en adelante usaremos el 0 y 1, tomando como referencia el sistema de numeración binario.

Verdad y falsedad pueden considerarse simplemente como los valores lógicos de la unidad semántica descriptiva con sentido completo. Ese valor es lo que más nos interesa sobre una proposición.


TABLA DE VERDAD.

Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición. Esta también sirve para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

Ejemplo de construcción de tablas de verdad.

NOTA DE INTERESLa cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica.


Las proposiciones moleculares son las que están compuesta con mas de dos proposiciones. A las proposiciones simples se las denomina atómicas.

((a v b ) ^~c) (a ^ b)

El valor de verdad de las proposiciones moleculares depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas que intervienen en ella.

PROPOSICIONES MOLECULARES

Se pueden obtener todos los valores de verdad de la proposición molecular para todos los posibles casos de valores de verdad de las proposiciones atómicas.

El numero de posibles casos de valor de verdad es igual a: donde n es el numero de proposiciones atómicas.

Del ejemplo anterior como la proposición molecular tiene 3 proposiciones, entonces hay casos de valores de verdad, los cuales se muestran en la siguiente tabla:


NOTA

Se observa que con tres proposiciones atómicas, para no repetir los casos, se realizan con dos proposiciones cuatro combinaciones básicas:

Ambas verdaderas.

Una de ellas verdadera mientras la otra falsa y viceversa.

Ambas falsas.

En la primera proposición se escriben los 4 primeros valores de verdad verdaderos y los cuatro últimos valores de verdad falsos.


NOTA

Si hubiera 4 proposiciones atómicas, se hacen las ocho anteriores con la primera proposición verdadera y las mismas ocho anteriores con la primera proposición falsa.


FORMAS PROPOSICIONALES

TAUTOLOGÍA

Es una proposición que es verdadera en toda asignación de verdad.

CONTRADICCIÓN

Es una proposición que es falsa en toda asignación de verdad.

CONTINGENCIA

es una proposición cuya tabla de verdad contiene al menos una verdadera y al

menos una falsa.

Es una expresión formal cuyos símbolos representan variables proposicionales, es decir

proposiciones atómicas o proposiciones moleculares.

Dentro de las formulas proposicionales podemos encontrar:


IMPLICACIONES LÓGICAS

Se lo representa por el símbolo “”, no es un conectivo lógico, es un signo de relación.

Se dice que un esquema A implica a otro esquema B, cuando al unirlos por la condicional nos da una tautología. Simbólicamente se lo representa así: A B.

Si la proposición compuesta A implica a la proposición compuesta B, entonces B se deduce necesariamente de A, o también se dice que B se infiere lógicamente de A.


Ejemplo: Demostrar que el esquema A implica a B

A: p q

B: p q

Luego unimos con la condicional y construimos la tabla:

p q p q

Como el resultado es una tautología, se ha demostrado que A implica a B.

Nota: la relación de implicación no es recíproca.


EQUIVALENCIAS LÓGICAS

Se lo representa por “” pero no es un operador lógico.

Decimos que dos proposiciones compuestas P y Q son equivalente, sí al unir las dos con la bicondicional nos da una tautología, es decir que P y Q tienen los mismos valores de verdad en su operador principal. Simbólicamente se escribe así:

P Q ó P Q Se lee P es equivalente a Q ó Q es equivalente a P.

Si no son equivalentes se los escribe así: P Q


Si P y Q son equivalentes, entonces Q se deduce válidamente a partir P, y a la vez también P se deduce necesariamente a partir de Q.

Para demostrar que una proposición compuesta es equivalente a otra, se lo puede hacer por medio de las tablas de verdad o por medio de las leyes y reglas de inferencia que veremos a continuación.

A los esquemas moleculares compuestos se los representa con las letras mayúsculas A, B, C,.. etc. ó con P, Q, R, etc.


Ejemplos:

Determinar si las proposiciones siguientes son equivalentes, por medio de la tabla de verdad:

A : Si Pedro aprobó el curso preuniversitario, entonces ingresó a la UNL.

Simbólicamente: p q

B: No es el caso que: Pedro apruebe el curso preuniversitario y no ingrese a la UNL

Simbólicamente : ( p q )

Luego demostramos que: p q ( p q )

Seguidamente para demostrar que estos dos esquemas son equivalentes, los unimos con la bicondicional así: ( p q ) ( p q ) y construimos una tabla de verdad:


Dado que el resultado de la tabla es una tautología, las proposiciones A y B son equivalentes.


Education

Unidad 1, logica y conjuntos