Objetivo general.

Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques

las leyes de los exponentes y de los radicales.

En general, el número b a la n-ésima potencia, lo que se escribe como bn, y se lee b elevado a la n, donde n es un número natural, significa:

... ( factores)nb b b b b n= ∗ ∗ ∗ ∗

En esta expresión, al número b se le conoce como la base y al número n como el exponente.

Así, en la expresión 32, el 3 es la base y el 2 es el exponente. La expresión 32 se lee tres elevado a la dos, o tres al cuadrado, y significa:

( )23 3 3 2 factores= ∗

Un signo negativo que precede directamente a una expresión que está elevada a una potencia tiene el efecto de hacer negativa a toda la expresión. Entonces,

2x− significa ( )x x− ∗

y no ( ) ( )x x− −Conviene observar que, de acuerdo con las Reglas de los Signos que se expusieron en la Unidad 1, cuando 0x ≠

( ) 2x− siempre será una cantidad positiva mientras que

2x− siempre será una cantidad negativa.

35 5 5 5= ∗ ∗1.) 125= (3 factores)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )52 2 2 2 2 2− = − − − − −2.) 32= −

(5 factores)

201 1 1 1 ... 1= ∗ ∗ ∗ ∗3.) 1= (20 factores)

23 3 3

4 4 4

− − − = ÷ ÷ ÷ 4.)

9

16= (2 factores)

• Ley I.- Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la suma de las potencias de los factores.

• En otra palabras, para multiplicar expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se suman los exponentes.

Exponentes

( ) ( )m n m na a a +=

3 5 3 5x x x +∗ = 8x=1.)

2.)2 4 2 43 3 3 +× =

63=

3.) ( ) ( ) ( )2 5 2 53 3 3a a a

+∗ = ( ) 73a=

• Para cualquier número real, a, distinto de cero, y cualquier número natural m:

• Si a es cualquier número distinto de cero, entonces:

Exponentes

1mm

aa

− =

0 1a =

33

12

2− =1.)

1

2 2 2=

∗ ∗1

8=

44

1x

x− =2.)

1

x x x x=g g g

03 1=3.)

3

3

1 11xx

− =4.)3= x

3

3

1 11

1 xx

= ÷

3

11

x= g 3x=

Para entender mejor está última expresión, es conveniente recordar que para dividir dos números basta con multiplicar al dividendo por el inverso del divisor, de modo que

2

32

3

11

x

y xy

−

− =5.)

Como en el ejemplo anterior, esta expresión se puede simplificar para dejar

2 32

3

1 1 11 x yxy

= ÷3

2

1

1

y

x=

3

2

y

x=

( ) ( )3

0 0 3

1

3 3

y

x x y

−

=6.) ( ) 3

1

1 y=

3

1

y=

• Ley II.- Cuando se dividen dos potencias de la misma base, su cociente es la misma base elevada a una potencia igual a la diferencia entre la potencia del dividendo y la del divisor.

• Es decir, para dividir expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se resta al exponente del dividendo el exponente del divisor.

mm n

n

aa

a−=

77 4

4

xx

x−=1.)

3x=

2 7 2 75 5 5 −÷ =2.) 55−= 5

1

5=

3 4 3 ( 4)a a a− − − − −÷ =3.)3 4a− +=

1a=a=

• Ley III.- Cuando una potencia de una base se eleva a otra potencia, el resultado es un término de la misma base con un exponente igual al producto de las dos potencias.

• Lo anterior indica que para elevar una potencia de una base a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los dos exponentes.

( ) nm m na a= g

( ) 23 3 22 2=1.) g 62= 64=

( ) ( ) ( )3 3 33x x −− =2.) 9x−= 9

1

x=

( ) ( ) ( )6 2 625 5− − −− =3.)

125=

• Ley IV.- Cuando un producto de dos o más factores se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo producto pero con cada factor elevado a la potencia dada.

• Ley V.- Cuando un cociente se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo cociente pero con el dividendo y el divisor elevados a la potencia dada.

( ) m m mab a b=

m m

m

a a

b b = ÷

1.) Para elevar el producto 3xy a la cuarta potencia, es decir para obtener ( ) 43xy

se eleva a la cuarta potencia cada uno de los factores y se tiene

( ) 4 4 4 43 3xy x y= g g 4 481x y=

2.) Para elevar el cociente2

5 al cuadrado, es decir para obtener

22

5 ÷

se elevan al cuadrado el dividendo y el divisor y queda 2 2

2

2 2

5 5 = ÷

4

25=

3.) Para elevar el cociente al cubo, es decir para obtener , se elevan al cubo el dividendo y el

divisor para obtener

y, como tanto en el numerador como en el denominador se tienen productos, se aplica la ley para elevar un producto a una potencia y queda

2

3

a

b32

3

a

b ÷

( )( )

33

3

22

3 3

aa

b b

= ÷

( )( )

3 3 3

3 3 3

2 2

33

a a

bb=

3

3

8

27

a

b=

La raíz cuadrada principal o positiva de un número positivo n, que se escribe , es el número positivo que al multiplicarse por sí mismo da como resultado n.

Si en lugar de buscar un número que al

multiplicarse por sí mismo dé como resultado n, se busca un número que elevado a la tercera, cuarta o quinta potencia dé como resultado n, se dice que dicho número es la raíz tercera (o cúbica), cuarta o quinta de n, y así sucesivamente.

n

Radicales

• Al símbolo que sirve para indicar una raíz, se le llama signo radical.

• El número o expresión dentro del signo radical es el radicando y al número que sirve para indicar la raíz se le llama índice.

m nSigno radical

radicando índice

Si 0n ≠ , se define: 1n na a=

De este modo, una base elevada a un exponente fraccionario en el que el numerador es 1, es equivalente a una expresión en notación radical, en la que la base es el radicando y el denominador del exponente es el índice.

• Las leyes enunciadas anteriormente para exponentes enteros, son también válidas para exponentes fraccionarios. Por tanto, de acuerdo con la ley para elevar una potencia a otra potencia, se tiene:

( ) 1 mn m m n na a a= =

,

( ) ( )1 mm mn n na a a= =

puesto que 1 1 m

m mn n n

= = ÷ ÷

1.) 123 3=

2.)1

55x x=

3.) 14 4a a=

1.) ( ) 13 2 2 362 62=2362=

2.) ( ) 13 3 nn y y=3ny=

3.) ( ) ( ) 66 13 38 8=

638=

28=

4.) ( ) ( ) 55 14 47 7=

547=

• Como ya se indicó, las leyes expuestas para exponentes enteros son ciertas cualesquiera que sean la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos como negativos o nulos, enteros o fraccionarios.

• Para el caso de los exponentes fraccionarios, las leyes quedan así:

,

Ley I.- puesto que, al

tomar común denominador,

Ley II.-

Ley III.- puesto que

,

( ) ( )1 1 1 1n m

m n m n mna a a a+

+= =

1 1 n m

m n mn

++ =

11 1

1

n mmm n mn

n

aa a

a

−−= =

( ) 11 1nm mna a= 1 1 1

m n mn = ÷ ÷

Ley IV.-

,

Objetivo 9.

Ley V.-

( ) 1 11m mma b a b=g g

11

1

mm

m

a a

b b

= ÷

,

• Para el caso de los radicales es necesario tener en cuenta que el índice del radical es el denominador de un exponente fraccionario. Por ello, las leyes de exponentes cuando se enuncian y escriben para la notación radical son:

• Ley I.- Cuando se multiplican dos raíces del mismo radicando, su resultado es una raíz con el índice igual al producto de los índices de los factores, y el mismo radicando elevado a la suma de los índices originales.

mn n mm na a a +=

• Ley II.- Cuando se dividen dos raíces del mismo radicando, su cociente es una raíz con el índice igual al producto de los índices de los factores, y el mismo radicando elevado a la diferencia del índice del divisor menos el del dividendo.

mmn n m

n

aa

a−=

• Ley III.- Cuando a una raíz de un radicando se le toma otra raíz, su resultado es una raíz del mismo radicando y un índice igual al producto de los dos índices de los radicales aplicados.

• Ley IV.- Cuando se toma una raíz de un producto de uno o más factores, su resultado es el producto de las raíces de cada factor.

n m nma a=

m m mab a b=

Objetivo 9.

• Ley V.- Cuando se toma una raíz de un cociente, su resultado es el cociente de la raíz del dividendo entre la raíz del divisor.

m

mn

a a

b a=

OBJETIVOS

1.)

4

27

4

27 =

2.) 84 66 =

3.)5 3

5 72

5 3

5 75 2

a

aa

a

aa ∗=

5 3

5 9

a

a= 53

9

aa= 5 6a=

Conclusión Muchas expresiones algebraicas se pueden simplificar aplicando las leyes de los exponentes y los radicales.

En general, la simplificación consiste en efectuar las operaciones que estén indicadas y escribir los resultados con potencias que no incluyan exponentes negativos ni fraccionarios y con los radicales en la forma simple que se definió anteriormente.

Para ello, los factores que tengan exponentes negativos se trasladan del numerador al denominador de la expresión y los exponentes fraccionarios se convierten en expresiones escritas en forma de radicales.

En caso de necesidad, se racionalizan las expresiones resultantes como se ha indicado antes.

1.) Para simplificar la expresión

basta con tomar en cuenta que y trasladar el factor al denominador para dejar

2.) Para simplificar la expresión

primero se elimina el exponente negativo

después, se toma en cuenta la ley

para elevar un cociente a una potencia para que quede

2 2 33 x y−−

23 9=3y−

22 2 3

3

93

xx y

y− −− =

2

23

y

z

− ÷

2

22

2

1

3

3

y

z yz

− = ÷

÷

2 2

2 42

1 1

33

yyzz

= ÷

4

2 2

2 4

1 9

3

z

y yz

=

3.) Para simplificar la expresión

se eleva cada factor a la potencia correspondiente

y luego se efectúan las operaciones indicadas para obtener

43 2x y x

y z

÷ ÷

43 2 3 8 4

3 4

x y x x y x

y z y z

= ÷ ÷ ÷ ÷

3 8 4 3 4 8

3 4 3 4

x y x x x y

y z y z

= ÷ ÷

7 8

3 4

x y

y z=

7 5

4

x y

z=