Unidad 3 c4-control/ANALISIS DE ESTABILIDAD

22/04/2013

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ANÁLISIS DE ESTABILIDAD EN

EL PLANO Z

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

• Un sistema dinámico lineal es estable,

si todos los polos de la función

transferencia están el semiplano

izquierdo de s . En el plano z , el semiplano izquierdo s corresponde al

cálculo del círculo unitario centrado

en el origen, o sea, que el semiplano

izquierdo s tiene su representación

conforme en la parte interior del

círculo unitario en el plano z . Se puede probar:

• Si:


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• En el semiplano izquierdo s , σ < 0 . Por tanto, la amplitud de z varía entre 0 y 1. El eje imaginario, o sea σ = 0 , que corresponde al origen dentro del círculo unitario en el plano z. El interior del círculo correspondiente al semiplano izquierdo s.

• Cuando el punto en el plano s se desplaza desde −∞ a ∞ sobre el eje jω , se traza el círculo unitario en el plano z infinito número de veces.



http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/200

1619/lecciones/orden/img89.gif

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/

lecciones/orden/img176.gif

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1. Para que el sistema sea estable, los polos en

lazo cerrado o las raíces de la ecuación

característica deben presentarse en el plano z

dentro del círculo unitario. Cualquier polo en

lazo cerrado exterior al circulo unitario hace

inestable al sistema.

2. Si un polo simple se presenta en z = 1, entonces

el sistema se convierte en críticamente estable.

También el sistema se convierte en críticamente

estable si un solo par de polos complejos

conjugados se presentan sobre el círculo unitario

en el plano z. Cualquier polo múltiple en lazo

cerrado sobre el circulo unitario hace al sistema

inestable.


3. Los ceros en lazo cerrado no afectan la

estabilidad absoluta y por lo tanto pueden

quedar localizados en cualquier parte del plano

z. Entonces, un sistema de control en lazo

cerrado en tiempo discreto lineal e invariante

en el tiempo de una entrada/una salida se vuelve

inestable si cualquiera de los polos en lazo

cerrado se presenta por fuera del circulo

unitario y/o cualquier polo múltiple en lazo

cerrado se presenta sobre el circulo unitario

del plano z.

PD: Existen métodos algebraicos que dan información

sobre la estabilidad de un sistema sin necesidad

de resolver el polinomio característico.


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Determine la estabilidad del

sistema en lazo cerrado para

una función de transferencia de

lazo abierto con un periodo de

muestreo de 1 segundo, igual a:


)1(

11)(

sss

esG

s

s

e s1

)1(

1

ss-

+

C(s)

C(z) R(s)

R(z) δT

Solución obtenida a pulso o con

retenedor de orden cero

anteriormente

Con un periodo de muestre T=1 seg, se obtiene:


)1)(3679,0(

2642,03679,0)(

zz

zzG

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La función de transferencia de

lazo cerrado es entonces:

Y su ecuación

Característica:

que se convierte en:


)(1

)(

)(

)(

zG

zG

zR

zC

06321,0

02642,03679,0)1)(3679,0(

2

zz

zzz

0)(1 zG

Obteniendo las raíces de ecuación

característica, se llega a que:

En vista que

Se concluye que el sistema es

estable


6181,05,01 jz 6181,05,02 jz

121 zz

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1. Criterio de Jury: Al aplicar la

prueba de estabilidad de Jury a

una ecuación característica dada

P(z) = 0, se construye una tabla

cuyos elementos se basan en los

coeficientes de P(z). Se supone

que la ecuación característica

P(z) es un polinomio en z, como

sigue:


• Tabla del criterio de Jury


Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

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Los elementos del primer renglón están formados por

los coeficientes en P(z) arreglados en orden de

potencias ascendentes de z. Los elementos del

segundo renglón están formados por los coeficientes

de P(z) arreglados en orden de potencias

descendentes. Los elementos correspondientes a los

renglones 3 hasta 2n -3 se obtienen mediante los

siguientes determinantes:


• El último renglón de la tabla está formado

por tres elementos. (Para sistemas de

segundo orden, 2n -3 = 1 la tabla de Jury

estará sólo formada por un renglón, que

contiene tres elementos). Los elementos en

cualquier renglón par son simplemente los

coeficientes en orden inverso al renglón

impar inmediatamente anterior.

• Ahora haciendo una ligera modificación de

la tabla anterior por conveniencia, para

obtener los valores mas fácilmente.


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Para un

sistema de

4 orden los

valores de

las q no

aparecen

Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

• Un sistema con la

ecuación

característica

P(z) = 0 dado,

donde a0>0, es

estable, si todas

las condiciones

siguientes se

satisfacen:


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• Examine la estabilidad de la

ecuación característica

siguiente:

SOLUCIÓN: note que:


008,03,007,02,1)( 234 zzzzzP

08,0

3,0

07,0

2,1

1

4

3

2

1

0

a

a

a

a

a

Examinando las condiciones del criterio:

1.Se satisface que

2.Se satisface

3.Se satisface

4.Ahora armamos la tabla de estabilidad Jury modificada, pare encontrar los valores de bk y ck muchos mas rápidos.


04 aa

009,008,03,007,02,11)1( P

4,089,108,03,007,02,11)1( nP par

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Renglón z0 z1 z2 z3 z4

-0,08 1

1 -0,08 b3=-0,994

-0,08 -1,2

1 0,3 b2=1,176

-0,08 0,07

1 0,07 b1=-0,0756

1

2

-0,08 0,3

1 -1,2 b0=-0,204

-0,994 -0,204

-0,204 -0,994 c2=-0,946

-0,994 -0,0756

-0,204 1,176 c1=-1,184

3

4

-0,994 1,176

-0,204 -0,0756 c0=0,315

5 0,946 -1,184 0,315


4. De la tabla se obtienen lo valores

de las siguientes condiciones

Que son:

De hecho la ecuación característica

dada P(z) puede factorizarse de la

siguiente forma

En donde todas las raíces se

encuentran en el circulo unitario en

el plano z.


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Examine la estabilidad de la

ecuación característica

siguiente:

SOÑUCIÓN: Primero identificamos

los coeficientes


Para el sistema de tercer orden, buscamos una a una las condiciones de estabilidad de Jury.

1. Para la primera claramente se ve se satisface

2. Ahora :

3. Para n=3 (impar)

4. Ahora calculando b2=-0,96 y b0=-0,12 de allí que:

la cual se satisface claramente.

Examinado las raíces de la ecuación característica se encuentra una raíz simple en el circulo unitario (z=1), por lo tanto el sistema críticamente estable.


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Considere el sistema de control de tiempo discreto con realimentación unitaria, con un periodo de muestreo T=1, cuya función de transferencia pulso en lazo abierto es.

Determine el rango de valores de K para la estabilidad con la prueba de Jury.


)1)(3679,0(

2642,03679,0()(

zz

zKzG

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SOLUCIÓN: La función de lazo cerrado

quedaría:

De allí que ecuación característica para

el sistema sea:

Dado que le sistema es de segundo orden

las condiciones de estabilidad de Jury

son las siguiente:


KzKz

zK

zR

zC

2642,03679,0)3679,13679,0(

)2642,03679,0(

)(

)(2

02642,03679,0)3679,13679,0()( 2 KzKzzP

• Aplicando ahora la primera

condición de estabilidad de

Jury:

Entonces:

De allí que


12642,03679,0

1

2642,03679,0

0

2

K

a

Ka

12642,03679,01 K

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• Para la segunda condición

Lo que da que

• Para la tercera tenemos

Lo que da



2,3925 -5,1775

0 ∞

∞ 26,382

2,3925 0

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Este método requiere de la transformación del

plano z a otro plano complejo, el plano w. Luego de transformarlo a este plano

complejo, se examina la Estabilidad con el Criterio de Routh. La transformación bilineal en el plano z es:

Cambiando para la variable de w, se obtiene:

donde , con

valores de σ real y ω imaginaria.


1

1

w

wz

1

1

z

zw

jw

Reemplazando el valor de la z en la ecuación característica

Por el valor se obtiene:

Multiplicando la expresión por

Ahora se puede aplicar el criterio de

la estabilidad de Routh igual que

en tiempo continuo.


1

1

w

w

0...)( 1

1

10

nn

nn bzbzbzbzP

01

1...

1

1

1

1)( 1

1

10

nn

nn

bw

wb

w

wb

w

wbzP

n

w 1

0...)( 1

1

10

nn

nn awawawawQ

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• Tabla de estabilidad de ROUTH


b1

Sistemas de Control Automatico - Katsuhiko Ogata

Considere la siguiente ecuación

característica

Determine si alguna de las

raíces se encuentre por fuera

del círculo unitario del plano

z. Utilice la transformación bilineal y el criterio

de estabilidad de ROUTH.


1

1

w

wz

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• SOLUCIÓN: se sustituye a

, en la ecuación característica se

obtiene:

Luego se multiplica la ecuación por

, factorizando se encuentre:

Dividiendo la ecuación por -0,14 se

obtiene:


𝒛 =𝒘+ 𝟏

𝒘− 𝟏

𝒘−𝟏 𝟑

El arreglo de ROUTH será

Se puede ver que la condición necesaria no se

cumple ya que todos coeficientes no tiene

el mismo signo; además, para la condición

suficiente encontramos que en la primera

fila del arreglo hay un cambio de signo,

esto conlleva a un polo en el semiplano

derecho del plano s, lo cual es análogo a

un polo fuera del circulo unitario del

plano z. Sistema Inestable


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• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.

• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto

• BIBLIOGRAFÍA WEB

• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición

• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Contol Ingineering. Primera Edición.

• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición

• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición

• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.

Education

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