Unidad n°7 b las funciones (continuación), 12° 2013

Tel.: 958-5804

República de PanamáMinisterio de Educación

DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA

Instituto Profesional y Técnico de Veraguas

Nombre del Alumno(a): __________________________________________ Grupo: 12º _________

Sección: Bachiller Industrial Especialidad: ______________________________________

7b.0 OBJETIVO GENERAL: Que el alumno o la alumna sea capaz de:

Utilizar, explicar y aplicar con seguridad y confianza los conceptos fundamentales de la

Matemática para la comprensión e importancia del concepto función y su aplicabilidad en

situaciones que ocurren en la vida cotidiana.

7b.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Que el alumno o la alumna sea capaz de:

Reconocer los elementos principales de una función.

Valorizar funciones reales.

Conocer los tipos de funciones.

7b.2 INTRODUCCIÓN

Una de las grandes inquietudes de los seres humanos a través de la historia ha sido la de

describir los fenómenos naturales, sus cambios y las relaciones entre unos y otros. Desde hace

tiempo, el hombre ha estudiado ciertos fenómenos naturales y ha expresado este conocimiento a

través de fórmulas que interrelacionan las magnitudes que caracterizan a dichos fenómenos; por

ejemplos: 1) Para una cierta dosis de x centímetros cúbicos de una droga la presión sanguínea

resultante P está dada por la expresión: B=0,5 x2−0,3 x3. Aquí, la presión sanguínea P

depende de la dosis de x , y podemos concluir, que la presión sanguínea P está en función de x .

2) El interés sobre una inversión de B/ 4000 ,00 a razón de 40% anual está dado por la expresión:

I= 0 , 40 (4 000 ) t donde t es el número de años. Entonces, el interés depende del número de años

t , y eso significa que el interés I está en función de t .

Material de Álgebra. Preparado por la Profesora: Xenia Batista para los grupos de 12º I.P.T.V. Santiago, 2013 1

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 7b

Las Funciones Reales

3) La ley de Boyle establece que para un gas ideal, a temperatura constante, si el volumen es de

v unidades, la presión P es igual a: P= k

v siendo k un número fijo. En este ejemplo, la presión

P del gas depende de las unidades del volumen v , y eso significa que: la presión P del gas está

en función de v .

Ejemplos como los anteriores descritos de diferentes tipos de relaciones, motivaron el origen del

concepto de función, y por esta razón es común llamar a: x , t , v variables independientes y a

P , I , P variables dependientes respectivamente.

El mundo en que vivimos, debido al gran desarrollo actual, utiliza la tecnología más avanzada

para el análisis de las relaciones de todo tipo al igual que interpreta, valora y predice los

fenómenos que en él se manifiestan, o se pueden manifestar, a través de modelos matemáticos

que se describen con funciones.

Las palabras: función y relación implican la idea de una correspondencia entre los elementos de

dos conjuntos, es decir, la formación de parejas ordenadas de objetos cualesquiera: personas,

números, figuras geométricas y muchas más.

Las funciones1 sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o,

simplemente, para expresar relaciones matemáticas.

Generalmente se hace uso de las funciones reales2, (aun cuando el ser humano no es

consciente de su uso), para el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otras, debido

a que se están utilizando subconjuntos de los números reales.

7b.3 ALGUNOS EJEMPLOS DE FUNCIONES

Tanto en un contexto matemático, como en la vida cotidiana, nos encontramos a menudo con

funciones. Se pueden construir diferentes tipos de funciones, como por ejemplo:

1. La función que relaciona el año y la cantidad de habitantes del planeta, que se utiliza en las

estadísticas poblacionales.

2. En la industria, las funciones que expresan la producción alcanzada; por ejemplo la cantidad

de petróleo extraída en diferentes períodos de tiempo; o la cantidad de azúcar o de café que

se produce en el país, en un año.

3. En la industria farmacéutica, la cantidad de medicamentos que se producen en cada jornada

laboral.

4. La presión atmosférica es función de la altura, porque a cada altura le corresponde una

presión atmosférica.

1 La función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada un y sólo un valor de salida.

2Una función real de variable real es una aplicación f : A → B con A , B ⊆ R.


5. El peso medio de los adolescentes depende de la edad, esa es una función, porque a cada

persona le corresponde un peso corporal, y a cada persona le corresponde su edad.

6. La posición de un móvil es función del tiempo, porque a cada tiempo le corresponde un

espacio recorrido (a una velocidad determinada).

7b.4 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE UNA FUNCIÓN

El conjunto de valores posibles que puede tomar la variable independiente se llama dominio de

la función y los valores correspondientes de la variable dependiente forman el conjunto de

imágenes de la función o rango de la función. Ahora daremos algunas definiciones

importantes:

FUNCIONES: Dados dos conjuntos no vacíos A y B , llamamos función de A en B , a toda

relación que hace corresponder a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B y

nada más que uno. Se anota f: A → B y se lee “función del conjunto A en el conjunto B ”.

En la gráfica siguiente, se representa la función de A en B

Además, en ella, se tiene que:


f : es el operador, determinado por la formula, regla o ley que nos permite relacionar

los elementos del conjunto A con los del conjunto B .

A : es el dominio de la función que es igual al conjunto de partida.

B : es el codominio de la función o conjunto de llegada.

C : es el Rango o recorrido de la variable que es el conjunto formado por todas las

imágenes del dominio.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN: Sea f , una función de A en B , llamaremos dominio de f , al

conjunto de los elementos de A que están relacionados por f con un elemento de B . Su

notación, será: Dom (f ) y se define así: Dom ( f )={ x/ ∀ x∈A, ∃ y, y∈B∧x f⃗ y }

Ejemplo: Dados los conjuntos A={ 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } y B= {3,4 , 5 , 6,7 , 8 , 9 , 10 } Sea la funciónf ,

definida así: f ={(2, 4 ) ,(3 , 6 ) ,(4 , 8) ,(5 , 10 )} el dominio de f será: Dom( f )={2 , 3 , 4 , 5 }

Representamos el ejemplo con diagramas:

CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN: Llamaremos codominio, al conjunto de llegada, al conjunto

B . Su notación, será: Cod (f ) y se define así: C od ( f )= { y / y∈B } En el ejemplo anterior,

el codominio será: Cod ( f )= { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }

RECORRIDO O RANGO DE UNA FUNCIÓN: Llamaremos recorrido de f , al conjunto de los

elementos de B que son imágenes de los elementos de A . Su notación, será: Rec (f ) ó Ran

(f ) y se define así: Re c ( f )= { y, y∈B / y= f ( x ) } En el ejemplo anterior, el recorrido será:

Re c ( f )= { 4 , 6 , 8 , 10 }

7b.5 FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN


Una función se puede representar a través de maneras distintas, de forma: verbal (con una

descripción en palabras, o un enunciado), numérica (con una tabla de valores), visual (con una

gráfica o red de puntos), y algebraicamente (con una fórmula explícita o una ecuación).

Por ejemplos:

1. Verbal: (en un enunciado) por ejemplos: “A cada cuadrado le corresponde un área“, “a cada

alumno le corresponde una banca”, “a cada asignación le corresponde una calificación”, “a

cada artículo de un almacén, le corresponde un único precio”, “a cada automóvil le

corresponde un número de placa”, “a cada persona le corresponde un número de identidad

personal”, “a cada número le corresponde su cuadrado”, “a cada número le corresponde su

cubo”, etc.

2. Algebraica:(su expresión analítica o su fórmula o ecuación) por ejemplos: A=l2,

f ( x )=x2, C= puntos obtenidos

puntos totales×4+1

, f ( x )=x3 .

La expresión analítica es la forma más precisa y manejable de dar una función, pero a partir de

ella el estudio posterior y la obtención de su gráfica es una tarea minuciosa si se quiere obtener

una gráfica lo suficientemente real de la función.

3. Numérica: (a través de una tabla de valores) Por ejemplo representemos por y la distancia

en metros que una piedra desde un edificio en x minutos

x ( tiempo ) 0 1 2 3

y (dis tan cia ) 0 2 4 6

El valor de la variable y depende del valor de la variable x

Los datos recogidos en esta tabla podrían representarse en un sistema cartesiano y con ello

conseguir, al menos de forma aproximada, la gráfica de la función que mide los miles de bacterias

en cada hora.

1. Visual: (un diagrama o una gráfica) es

Diagramas de Venn – Euler Una gráfica


La gráfica muestra la función representada por la cotización en bolsa de un determinado producto

en los primeros 10 días en que se sacó a la bolsa. Como mejor podemos apreciar el

comportamiento global de una función es mediante su representación gráfica, por eso, siempre

nos será de mucha utilidad conseguir representar la función si no nos la dan ya representada.

La variable independiente sería el tiempo en días y la variable dependiente el valor de cotización

del producto en miles de Balboas.

Cuando una función se presenta en forma gráfica su dominio corresponde al intervalo del eje X

donde la función comienza hasta donde termina.

En este ejemplo, el dominio de la función sería el

intervalo comprendido entre - 3 y 5, lo que se

escribe así: Dom( f )= [−3 , 5 ] , con los corchetes van

hacia adentro, o sea cerrado, ya que esto indica que los

valores - 3 y 5 son parte del dominio. El

codominio o recorrido sería el intervalo

comprendido entre -1 y 3, esto lo escribimos, así:

Cod ( f )= [−1 , 3 ]

En este ejemplo el dominio son todos los números

reales (R) ya que la gráfica tiene flechas a cada

esquina lo que muestra que la gráfica es continua,

pero hay un tramo que no tiene grafica el tramo

entre el 0 y el 2 por lo que este intervalo no es

parte del dominio. Dom( f )=R− [ 0 , 2 ]

El codominio o recorrido sería en este caso desde


el -1 hasta el infinito positivo (ya que la gráfica

nunca termina y se extiende para el lado positivo

del eje X ) Cod ( f )= [ −1 , +∞)

En conclusión el dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de

tal forma que la función quede completamente definida, el codominio es el conjunto de valores

que, dependiendo de los valores de la variable x , puede tomar la función. El codominio o rango

de la función se puede determinar, también, utilizando la representación gráfica de la función.

Sean A y B dos conjuntos no vacíos.

Una función f de A en B (f : A → B ) es un conjunto de

pares ordenados tal que todos los elementos de A debe

tener un único elemento en B .

Por ejemplo:y = x3 + 1

En donde x es la variable independiente y la y es la

variable dependiente.

Dom f = {x / (x , y ) ∈ f }yCod f = { y / ( x , y ) ∈ f }

f = { ( x , y ) / x ∈ A ∧ y ∈ B }Entonces f = { (1 , 2 ) ; (2, 9 ) ; (3 , 28 ) ; (4 , 65 ) }

7b.6 LA NOTACIÓN FUNCIONAL

Con frecuencia es necesario representar las funciones por medio de símbolo de tal modo que

cuando ésta es nombrada sabemos a qué función nos referimos. El símbolo más usual para

representar una función es la letra f , y el símbolo f ( x ) se usa para representar el elemento

asociado a x que se lee “efe de equis ”; algunas veces se dice que f ( x ) es el valor de f en x .

También, es costumbre escribir la terna ( f , A , B ) por f : A → B o bien f : A →f

B tal que ∀ a ∈ A ,

∃ !b ∈ B : f ( a ) = b . Y las expresiones: f : A → B o bien f : A →f

B Se leen: “Función de A en

B”.

Gráficamente, tenemos:

No deben

confundirse

los

símbolos

f y f ( x ) ;


f representa la función no está ni en el dominio x ni

en el rango y . Sin embargo f ( x ) es un elemento de

y .

7b.7 ORIENTACIONES PARA IDENTIFICAR UNA FUNCIÓN

1. Analiza si lo que aparece indicado es una correspondencia de un conjunto X en un conjunto

Y .

2. Determina si para cada elemento del conjunto X le corresponde un único elemento del

conjunto Y .

Un ejemplo donde se establece la relación entre un número y su respectivo cuadrado, utilizando

la regla de correspondencia es: y = x2 o bien f ( x ) = x2

. El dominio de esta función es

A = {−2 , −1, 0 , 1 , 2 } de manera que las imágenes de los elementos del A se obtienen o expresan

como sigue: B = { 0 , 1 , 4 }

f (−2 ) = (−2 )2 = 4 y se lee: “cuatro es la imagen de menos dos”

f (−1 ) = (−1 )2 = 1 y se lee: “uno es la imagen de menos uno”

f (0 ) = (0 )2 = 0 y se lee: “cero es la imagen de cero”

f (1 ) = (1 )2 = 1 y se lee: “uno es la imagen de uno”

f (2 ) = (2 )2 = 4 y se lee: “cuatro es la imagen de dos”

7b.8 VALOR DE UNA FUNCIÓN

La notación para las funciones y = f ( x ) ; tiene su ventaja porque permite identificar claramente la

variable dependiente como f ( x ) ; al mismo tiempo que nos indica que x es la variable

independiente y que la propia función se denota así: “f ”.

La expresión: f ( x ) se lee: “efe de equis” y nos facilita ahorrar palabras cuando buscamos el

valor de la función, ya que en lugar de pedir “el valor de y ” que corresponde a x = 1 , podemos

decir “hallar f (1 ) ”, es decir, “hallar efe de uno”.

Para evaluar una función, escrita en forma de función, debemos generalmente aislar la variable

dependiente en la parte izquierda de la ecuación, por ejemplo: en x + 2 y = 3 , quedará así:

2 y = 3 − x entonces y = 3 − x

2 . Utilizando la notación de función será: f ( x ) = 3 − x

2 ésta notación


tiene una ventaja, porque facilita identificar claramente la variable dependiente f ( x ) y la variable

independiente x .

Evaluar numéricamente la función f ( x ) = 2x − 1 y en vez de pedir el valor de y que corresponde

a: x = 3 , podemos decir “hallar f (3 ) ”, quedando así:

f ( x ) = 2 x − 1f (3) = 2 (3 ) − 1f (3) = 6 − 1

f (3) = 5

Observación: Evaluar numéricamente una función es encontrar el valor de la función

para un valor numérico de sus variables. Para realizar la evaluación se sustituye el

valor numérico en cualquier parte de la función en que aparezca la variable y se

realizan las operaciones aritméticas necesarias.

Por ejemplos:

1) Dada f ( x ) = x4 + x3 − 11x2 − 9x + 18 , evaluar o hallar f ( 4 ) y f (−1 ) .Solución:

f ( x ) = x4 + x3 − 11 x2 − 9 x + 18f ( 4 ) = (4 )4 + (4 )3 − 11 (4 )2 − 9 (4 ) + 18f ( 4 ) = 256 + 64 − 11 (16 ) − 36 + 18f ( 4 ) = 256 + 64 − 176 − 36 + 18f ( 4 ) = 338 − 212f ( 4 ) = 126

f ( x ) = x4 + x3 − 11 x2 − 9 x + 18f (−1 ) = (−1 )4 + (−1 )3 − 11 (−1 )2 − 9 (−1 ) + 18f (−1 ) = (+1 ) + (−1 ) − 11 (+1 ) − 9 (−1 ) + 18f (−1 ) = 1 − 1 − 11 + 9 + 18f (−1 ) = 28 − 12f (−1 ) = 15

2) Dada g ( x ) = x2 + 4 , Hallar a) g (1 ) , b) g (0 ) , c) g (3a ) , d) g (a − 1 ) , e) g (2x ) , f) g (a + 2 ) , g)

g ( x + h ) , h)

g ( x + h ) − g ( x )h

h ≠ 0, i)

2g ( x + h ) + 2g ( x ) − g (2x ) − 122h

h ≠ 0.

Solución:

a) g (1 ) = (1 )2 + 4 = 1 + 4 = 5 b) g (0 ) = 02 + 4 = 0 + 4 = 4 c)g (3 a ) = (3 a )2 + 4 = 9 a2 + 4

d) g (a − 1 ) = (a − 1 )2 + 4 = (a2 − 2a + 1 ) + 4 = a2 − 2 a + 5 e) g (2 x ) = (2 x )2 + 4 = 4 x2 + 4

f) g (a + 2 ) = (a + 2 )2 + 4 = (a2 + 4a + 4 ) + 4 = a2 + 4 a + 8

g) g ( x + h ) = ( x + h )2 + 4 = ( x2 + 2 xh + h2 ) + 4 = x2 + 2 xh + h2 + 4


h )g ( x + h ) − g ( x )h

=( x2 + 2 xh + h2 + 4 ) − ( x2 + 4 )h

= x2 + 2 xh + h2 + 4 − x2 − 4h

= 2xh + h2

h

=h (2 x + h )h

= 2 x + h

i)2g ( x + h ) + 2g ( x ) − g (2x ) − 122h

=2 ( x2 + 2xh + h2 + 4 ) + 2 ( x2 + 4 ) − ( 4 x2 + 4 ) − 122h

= 2 x2 + 4 xh + 2h2 + 8 + 2 x2 + 8 − 4 x2 − 4− 122h

= 4 xh + 2h2

2h

=2h (2 x + h )2h

= 2 x + h

3) Dada h (x ) = 3 x − 5 , Hallar a) h (1 ) , b) h (0 ) , c) h (−1 ) , d) h (2 ) , e) h (2 x ) , f) h (−2 ) , g) h ( x + d ) , h)

h (3 a ) , i) h (a − 1 ) , j) h ( x + d ) − h ( x )

dd ≠ 0

, k)

2h ( x + d ) − 2h ( x )3d

h ≠ 0

Solución:

a) h (1 ) = 3 (1 ) − 5 = 3 − 5 =−2 b) h (0 ) = 3 (0 ) − 5 = 0 − 5 =−5

c) h (−1 ) = 3 (−1 ) − 5 =−3 − 5 =−8 d) h (2 ) = 3 (2 ) − 5 = 6 − 5 = 1

e) h (2 x ) = 3 (2 x ) − 5 = 6 x − 5 f) h (−2 ) = 3 (−2 ) − 5 =−6 − 5 =−11

g) h ( x + d ) = 3 ( x + d ) − 5 = 3 x + 3d − 5 h) h (3a ) = 3 (3a ) − 5 = 9a − 5

i) h (a − 1 ) = 3 (a − 1 ) − 5 = 3 a − 3 − 5 = 3 a − 8

j)

h ( x + d ) − h ( x )d

=(3 x + 3d − 5 ) − (3 x − 5 )

d= 3 x + 3d − 5 − 3 x + 5

d= 3d

d= 3

k)

2h (x + d ) − 2h ( x )3d

=2 (3 x + 3d − 5 ) − 2 (3x − 5 )

3d= 6 x + 6d − 10 − 6 x + 10

3d= 6 d

3 d= 2

7b.9 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

La Función Real es aquella función cuyo dominio y codominio (o recorrido) son

subconjuntos del conjunto de los números reales, tal que a cada elemento x de D le

corresponde uno y sólo un elemento y de R :f : D →R

x→ f ( x ) = y ; x de la variable independiente y y la variable dependiente.

Una función real de variable realf es una aplicación: f : R→R o bien de D en R ,

f : D→R siendo D un subconjunto de R distinto del conjunto vacío ( D≠φ ) .

Al conjunto D se le denomina dominio de la función f . Llamaremos Cod f ó Im f o recorrido

de f al conjunto siguiente: { f (x ) ∈R ; x ∈ D }. Evidentemente se verifica Im f ⊂ R . Además, una


función f queda determinada conociendo su dominio y su criterio de asignación de imágenes.

Sin embargo, en la práctica, al referirnos a una función, en muchas ocasiones indicamos

exclusivamente cuál es su criterio de asignación de imágenes. Cuando esto suceda, es decir

cuando al referirnos a una función no se indique cuál es su dominio, consideraremos que éste es

el más amplio posible, de acuerdo con el criterio de asignación de imágenes indicado. Por

ejemplo, si consideramos la función f ( x ) = √ x2 −5 x + 4 y no mencionamos su dominio, éste será

el más amplio posible, de acuerdo con el criterio de asignación citado. Es decir, estará formado

por todos los números reales tales que sustituidos en la x hacen que √ x2 −5 x + 4 sea un número

real. Por tanto el dominio de f será el siguiente conjunto: (−∞ , 1] ∪ [ 4 , +∞)

Observación: Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano,

utilizando un sistema de referencia.

7b.10 COMO QUEDA DEFINIDA UNA FUNCIÓN REAL

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

El conjunto inicial o dominio de la función.

El conjunto final o imagen de la función.

La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del

conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por: f :r →R

x→ x2

Asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado

cualquier número real x , siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro

número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de

un número siempre es positivo:Im f =R+

La regla de asignación es “dado cualquier número real x , calcular su cuadrado para

obtener la imagen”.

7b.11 EJEMPLOS DE HALLAR EL DOMINIO O CAMPO DE EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN

Sea y= f ( x ) una función. Llamamos dominio (o campo de existencia) de la función al conjunto

de todos los valores x para los cuales y= f ( x ) esté definida (sea un número real). Se le suele

escribir con la letra mayúscula D o simplemente: Dom

Para el cálculo del dominio de una función dada por su fórmula, hemos de tener en cuenta que:


1. No es posible la división por cero (0).

2. No es posible extraer raíces cuadradas, cuartas, sextas, etc., cuando el radicando es

negativo (pero sí es posible la raíz, cuando el índice es impar).

3. No es posible calcular el logaritmo de un número negativo, ni tampoco de cero (0).

Por ejemplos:

1. Hallar el dominio o campo de existencia de la función f definida por: f ( x )= 1

x−2

Solución: La función será un número real, si el valor de la expresión

1x−2 está definida para

todos los números reales, salvo para aquellos que anulen el denominador, puesto que la

expresión

10 no es un número real. El denominador x−2 se anula cuando x=2 . Por tanto,

el campo de existencia de la función es R−{ 2 } . Y su representación mediante

intervalos es Dom f =(−∞ ,2 ) ∪ (2 , +∞ ).

2. Hallar el dominio o campo de existencia de la función f definida por: f ( x )= 1

x2−4

Solución: La función f ( x ) sólo será un número real sí x2−4 , no es cero (o). Resolviendo la

ecuación x2−4=0 → x2= 4 → x=± 2 que son los valores que anulan al denominador.

Por tanto el dominio esD =R− {−2 , 2 } .

3. Hallar el dominio o campo de existencia de la función g definida por: g ( x )= √3 x+9

Solución: La función g ( x ) está definida sólo cuando sí 3 x+9 , es mayor o igual que cero (o).

Resolviendo la ecuación 3 x+9≥0 → 3 x≥ −9 → x≥− 3 de donde deducimos que el

dominio es Dom g =[−3 , ∞).

4. Hallar el dominio o campo de existencia de la función h definida por: h ( x )= √x−1 +√1 −x

Solución: La función h ( x ) está definida para aquellos x∈ R , que hagan los dos radicandos

no negativos: x−1≥0 y 1−x≥0 → x≥ 1 y x≤ 1 → x= 1 Por tanto el dominio de

la función está formado únicamente por Dom h = { 1 }.

5. Hallar el dominio o campo de existencia de la función p definida por: p ( x )= 1

x2− x−6


Solución: el valor de la expresión:

1

x2− x−6 está definida cuando el denominador no se

anula. Resolviendo:

x2− x−6=0 → x= 1 ± √1 +242

= x= 1 ± √252

→ x1= 3

x2= − 2

Por tanto, el campo de existencia de la función pertenecen todos los números reales excepto

el 3 y el -2, así: R−{−2, 3 } y su representación mediante intervalos es

Dom p =(−∞ , −2 ) ∪ (− 2 , 3 )∪(3 , +∞ ).

7b.12 TIPOS DE FUNCIONES

En los ejemplos tratados de funciones, observamos ciertas características que las hacen

distinguirse unas de las otras. Por ejemplo: a elementos diferentes del dominio le corresponden

diferentes imágenes, y a cada elemento del codominio es imagen de por lo menos un elemento

del dominio, o la combinación de ambas características. Esto nos indica que existen varios tipos

de funciones: inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y la función inversa.

1. Función inyectiva: una función f : A→B es inyectiva si ∀ a , b de A

implica que f ( a )≠f (b ) o lo que es lo mismo, sí f (a )= f (b ) ⇒a=b .

Dicho en otras palabras, una función es inyectiva si cada elemento del

codominio es imagen de, cuando más, un elemento del dominio.

A la función inyectiva también se le llama “función uno a uno”. Un ejemplo de función

inyectiva, es el que se muestra en el diagrama de la derecha.

Otros ejemplos:

a) Comprobemos que la función: f ( x )=3 x+4 es inyectiva

Solución: debemos verificar si f es inyectiva, porque cada preimagen (dominio) tiene una sola

imagen (codominio). Entonces eso implica que:f ( a )=f (b )

O sea: 3 a+4=3b+4 , ahora si restamos - 4 a ambos lados de la expresión, quedará: 3 a=3b

luego si dividimos por 3, nos resultará: a=b , es decir, f es inyectiva.

Observación: para que una función sea inyectiva, se debe demostrar que si dos

imágenes son iguales, las preimágenes también deben serlo. Para ello, la incógnita x se

reemplaza por una “a ” y esta se iguala a la misma función, y luego la incógnita es

sustituida por una “b ”. Después se despejan las nuevas incógnitas y si éstas son iguales,

como en este caso sucede, se concluye que la función es inyectiva.


b) Comprobemos que la función: g ( x )=x2−1 es inyectiva

Solución: debemos verificar si g es inyectiva, porque cada preimagen (dominio) tiene una sola

imagen (codominio). Entonces eso implica que:g (a )=g (b )

O sea: a2−1=b2−1 , ahora si sumamos 1 a ambos lados de la expresión, quedará: a

2=b2

luego si pasamos los términos al miembro izquierdo, nos resultará: a2− b2=0 , entonces se

trata de una diferencia de cuadrados, (a+ b ) (a− b )=0 en donde, a + b=0 y a − b=0 , lo

cual implica que: a = −b y a = b lo cual concluimos que g no es inyectiva.

Observación: aquí se realiza el mismo procedimiento anteriormente explicado, pero en este

caso las preimágenes tienen diferentes imágenes, por lo tanto la función “g ” no es inyectiva.

2. Función sobreyectiva: una función f : A→B es sobreyectiva o suprayectiva, si y sólo si

∀ b∈B , ∃ a ∈ A tal que: f ( a )=b , es decir, el codominio (recorrido) de f =B ó f ( a )=B , o

sea, una función es epiyectiva si y solo si su recorrido corresponde a todos los números

reales.

A la función sobreyectiva también se le llama “función sobre o

función epiyectiva”. Un ejemplo de función sobreyectiva, es el

diagrama, de la derecha.

Otros ejemplos:

a. Comprobemos que la función f ={ (a , y ); (b , x ) ; (c , z ) }es una función epiyectiva o

sobreyectiva. En efecto, si lo es, ya que el codominio, o rango, o imagen, o recorrido son

todos los elementos del conjunto de llegada, es decir las imágenes son:

Cod f = { x , y , z }

b. En el siguiente diagrama, el recorrido es: Cod f = { x , z } , entonces f

no es sobreyectiva.

c. La función f ( x )=x2no es una función sobreyectiva, porque su recorrido

ésta definido por Cod f =[0 , +∞)

d. La función g ( x )=x3es una función sobreyectiva, porque su recorrido ésta definido por

Cod g =(−∞ , +∞ )


3. Función biyectiva: una función f : A→B es biyectiva, si y sólo si es inyectiva y

sobreyectiva a la vez. A la función biyectiva también se le llama “función biunívoca”. Un

ejemplo de función biyectiva, es el diagrama, de la derecha

Las funciones biyectivas son aquellas que cumplen con ser inyectivas y sobreyectivas

simultáneamente.

Por ejemplos:

a. La función f ( x )=x3 es una función biyectiva.

b. La función g ( x )=x+3es una función biyectiva.

c. Todas las funciones lineales son biyectivas.

4. Función Inversa: sea la función f : A→B . Su inversa se designa por f−1 :B→A y se

define por:f−1= {( y , x )/ x∈ A∧ y∈B , f ( x )= y }

Observación: una función tiene inversa o es invertible si su inversa también es una función.

Ejemplos:

a) Sean A={ a , b , c , d , e , h } , B= { 1 , 2 , 3 , 4 } , se definef como:f ( a )=2 , f (b )=1 , f ( c )=2 ,

f ( d )=2 ,f ( e )=4 y f ( h )=4 , entonces:

f ={( a ,2 ) , (b ,1 ) , ( c ,2 ) , ( d ,2 ) , (e ,4 ) , ( h ,4 ) }

f−1 ( x )={(2 , a ) , (1 ,b ) , (2 , c ) , (2 , d ) , ( 4 , e ) , ( 4 , h ) }

Observación: Para que f−1

sea función debe suceder que f sea biyectiva. O sea, una

función posee inversa solo si es biyectiva.

b) Sean A={ a , b , c }, B= { m, n , r } , se definef como: f ( a )=m , f (b )=n , f ( c )=r ,

entonces es invertible, ya que: f ( m)=a , f ( n )=b , f (r )=c , f ={( a , m) , (b , n ) , (c , r ) } y

f−1 ( x )={(m , a ) , (n ,b ) , (r , c ) } lo cual demuestra que f−1 :B→A es también una función,

luego f es biyectiva si y sólo si es invertible.

Observación: Si f : A→B es invertible, entonces y=f ( x ) ⇔ x=f− 1 ( y ) .

c) Sea la función realf ( x )=3 x−2

Para encontrarf−1

se hace f ( x )= y . Esto es: 3 x−2= y , para luego despejar “x ”:

Así la función inversa es: 3 x = y+2

x = y+23


Luego, sustituyendo “ y ” por “x ”, se tiene: f− 1 ( x )= x+2

3

d) Sea la función realg ( x )=3 x+2 , encuentre g−1

y represente gráficamente g y g−1

en un

mismo sistema de coordenadas.

Solución: primero hallaremos a g−1

despejando a “x ”en la ecuación y=3 x+2 así:

3 x = y−2

x = y−2

3

Luego, intercambiamos las variables: y = x−2

3 por lo tanto g−1 ( x )= x−2

3 es la función inversa

de g ( x )=3 x+2

Observe en el gráfico siguiente que las curvas de g y g−1

son simétricas respecto a la bisectriz

del primer cuadrante.

7b.13 CARACTERÍSTICAS GLOBALES E IMPORTANTES DE LAS FUNCIONES

Cuando nos referimos a los aspectos globales de una función, estamos hablando de las

siguientes características: su dominio, codominio (contradominio, “rango o imagen”), sus

puntos de intersección con los ejes de coordenados, su curvatura, sus puntos de inflexión,

su continuidad, su monotonía, sus máximos y mínimos, su periodicidad, su simetría y sus

tendencias.

1. Ceros de una función: son los valores de x

que hacen que y sea cero. Los ceros de una

función f son las soluciones de la ecuación Material de Álgebra. Preparado por la Profesora: Xenia Batista para los grupos de 12º I.P.T.V. Santiago, 2013 16

f ( x )=0 . En la representación gráfica de una función, son los valores donde la curva “corta

o toca o intercepta” al eje de las X . Si en la gráfica de una función f , se corta al eje X

en el punto (a , 0 ) , entonces a se denomina un cero de f . En la gráfica, los valores - 2, 0, 3

y 5 son ceros de la función.

2. Simetría: una función es par ó simétrica respecto del eje Y sí f ( x )=f (−x ) . Una función

es simétrica respecto del eje Y cuando al plegarla por dicho eje el dibujo se superpone, es

decir, a cada valor de ''x '' y ''−x '' le corresponde el mismo valor de '' y ''.

Una función es impar ó simétrica respecto

del origen sí f ( x )=−f (−x ) . Una función es

simétrica respecto al origen de coordenadas

(0 , 0 ) cuando al plegarla primero sobre un

eje y luego sobre el otro, la gráfica se

superpone, es decir, al valor de ''x '' le

corresponde '' y '', y al valor de ''−x '' le

corresponde ''− y ''.

Una función que no es par ni impar se dice que es no simétrica.

Dos funciones f y g son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante si son

funciones recíprocas, es decir: f ( x ) y g ( x )=−f− 1 ( x ) .

3. Continuidad: una función es

continua cuando se puede dibujar sin

levantar el lápiz del papel, o dicho de

otra forma, la variable independiente

(la “x ”) puede tomar cualquier valor

numérico. En caso contrario se dice

que es discontinua.

4. Periodicidad: una función es periódica si su gráfica muestra un comportamiento en la que se

repite cada vez que la variable independiente “x ” recorre un cierto intervalo. A la longitud de ese

intervalo, se llama período.


5. Tendencia: la palabra tendencia en Matemática significa aproximarse progresivamente a

un valor determinado, sin llegar nunca a alcanzarlo. Este término se usa para referirse a

variables o a funciones (según el comportamiento de su gráfica). Hay funciones en las que,

aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del

intervalo en que han sido

estudiadas, porque tienen

ramas con una tendencia muy

clara. Estas ramas reciben el

nombre de asíntotas. Existen

tres tipo de asíntotas: Las

asíntotas verticales:x=a , las

asíntotas horizontales: y=b y las asíntotas oblicuas: y=mx+n

6. Curvatura y puntos de inflexión: una

función es cóncava si su gráfica queda por

encima de las rectas tangentes a cada uno de

sus puntos. Una función es convexa si su

gráfica queda por debajo de las rectas

tangentes a cada uno de sus puntos.

Pero las

funciones no siempre son cóncavas o convexas, sino que tendrán

tramos de una clase y de otra. Los puntos del dominio donde la

función cambia de curvatura, es decir, pasa de cóncava a

convexa o de convexa a cóncava, se les conoce como puntos de

inflexión.


7. Monotonía (Crecimiento y decrecimiento): una

función es monótona creciente cuando a medida que

aumentan los valores de ''x '', aumentan los valores

de '' y ''.

Una función es monótona decreciente cuando a

medida que aumentan los valores de ''x '',

disminuyen los valores de '' y ''.

8. Máximos y mínimos

Máximos: una función

presenta un máximo

absoluto en un punto

cuando es el valor más

alto de su representación

gráfica. Este punto debe

de ser del dominio.

Una función presenta un máximo relativo o máximo local en un punto cuando en dicho punto la

función pasa de creciente a decreciente. Este punto debe de ser del dominio.

Mínimos: una función presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el valor más bajo de

su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio.

Una función presenta un mínimo relativo o mínimo local en un punto cuando en dicho punto la

función pasa de decreciente a creciente. Este punto debe de ser del dominio.


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Unidad n°7 b las funciones (continuación), 12° 2013